一種針對單快拍DOA估計的子空間搜索近似消息傳遞算法

曾令豪　劉靜　韓崇昭

波達方向(Direction of arrival,DOA)估計是陣列信號處理的關鍵問題,在雷達、紅外、聲吶和地震等領域有著廣泛的應用.以多重信號分類(Multiple signal classi fi cation,MUSIC)算法[1]和信號參數旋轉不變技術(Estimating signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)[2]為代表的空間譜估計方法突破了瑞利限,實現了目標DOA的超分辨估計.但這些方法是根據陣列接收信號的統計特性來估計目標的到達角,因此需要大量獨立同分布的量測數據.為了減少所需的測量數據,甚至實現單快拍DOA估計,近年來出現的壓縮感知(Compressive sensing,CS)技術[3]帶來了新的解決方案.當原始信號滿足一定稀疏性條件時,壓縮感知可以實現以遠少于經典采樣理論所要求的采樣數來精確重構信號.壓縮感知技術帶來的另一好處是可以實現相干信號的超分辨估計.目前,國內外已有不少基于壓縮感知的DOA估計的研究[4?8].

基于壓縮感知的DOA估計算法,大致可以分為以下兩類:

一類是將CS與傳統的空間譜估計相結合.文獻[4]首先將稀疏性引入DOA估計,提出了l1范數奇異值分解算法,該算法使用奇異值分解來降低重構的計算復雜度.文獻[5]提出了一種CS-MUSIC算法,利用多快拍數據與壓縮感知中多測量矢量模型結合進行DOA估計,該算法是先利用壓縮感知技術估計噪聲子空間,再使用MUSIC算法實現DOA的估計.由于該算法利用了壓縮感知技術減少了空間譜估計所需的量測數量,因此其計算復雜度相對較高,是一種在直接壓縮感知重構與空間譜估計之間權衡的算法.

另一類是將DOA估計看作壓縮感知的重構問題,直接使用壓縮感知重構算法來得到DOA估計.文獻[6]是在單快拍情況下直接使用壓縮感知重構算法得到DOA估計,并對幾種不同的壓縮感知重構算法的結果進行了比較.這類算法充分利用了壓縮感知技術能夠實現稀疏重構的特點,實現了單快拍DOA估計.但這類算法也存在固有的缺陷:1)DOA估計所使用的感知矩陣具有較高的相干性;2)現有大多數的壓縮感知算法對噪聲敏感.針對感知矩陣高相干性的問題,文獻[7?8]提出了一種廣義相似感知矩陣匹配追蹤算法,該算法利用構造相似感知矩陣來降低原感知矩陣的高相干性.然而由于相似感知矩陣的構造是預先確定的,其估計結果在有噪聲的情況下會出現一定的偏差.考慮到噪聲在DOA估計中是不可忽視的,算法的抗噪聲能力也是十分重要的的性能指標,因此需要對該算法進行改進.

一種被稱為近似消息傳遞(Approximate message passing,AMP)的算法由于抗噪聲能力強,且計算復雜度低而受到了關注.AMP算法是由Donoho等首先提出來的[9],它是由和積信度傳播算法推導而來,并被證明與基追蹤降噪(Basis pursuit denoising,BPDN)算法是等價的[10].文獻[11]分析了一大類被稱之為廣義AMP的算法,使用一個簡單的狀態演化方程描述廣義AMP算法在大的獨立同分布高斯變換矩陣下的漸進行為.而文獻[12]提出了一種針對原信號非零元素先驗分布未知的期望最大化高斯混合AMP算法.AMP算法在圖像處理[13?14]、醫學圖像處理[15]等領域已經得到了應用,并被證明是簡單有效的.然而將AMP算法用于DOA估計,也會受到感知矩陣高相干性的影響,無法得到分辨率較高的結果.

本文提出了一種基于AMP算法的子空間搜索近似消息傳遞(Subspace searching AMP,SSAMP)算法來解決感知矩陣高相干性與噪聲同時存在而產生的問題.該算法分為兩步:第一步,由AMP算法得到一個較粗的解.由分析可知,在噪聲較小時真實信號必然位于該粗解之中.第二步,在該粗解對應的子空間中進一步尋找精確解,從而實現超分辨估計.本文所提算法對粗解所對應的子空間的劃分,是以真實非零元素為中心的自適應的劃分,避免了預先劃分不當造成的損失.SSAMP算法繼承了AMP算法計算復雜度低、抗噪聲能力強的特點,同時又解決了AMP算法在感知矩相干性較高時所產生的問題.

1　基于壓縮感知的單快拍DOA估計

1.1　單快拍DOA估計的稀疏化描述

本文考慮單快拍條件下的DOA估計,即在已知信號來波頻率的情況下,每一時刻僅利用單個量測數據進行DOA估計.假設有K個遠場窄帶信號,其載波波長為λ.接收端是由M個陣元組成的均勻線陣沿x軸排列,它們的間距為d=λ/2,每個陣元的接收噪聲是相互獨立的零均值高斯噪聲.定義入射角為波信號與y的夾角.在某一時刻,接收端得到的信號為

其中,e(t)表示接收端的噪聲,βk(t)表示第k個目標的復振幅,a(θk)表示相應來波角度θk的導向矢量,可表示為[16]

將整個監視區域離散化,并按角度等分為N份,用符號θi,i=1,···,N來表示.可以將式(1)寫成如下形式:

其中,β=[β1,···,βN]T表示相應角度上的信號復振幅,Φ=[a(θ1),···,aaa(θN)]是M×N維陣列流型矩陣,也稱感知矩陣.由于后續壓縮感知算法需要使用列歸一化的感知矩陣,因此將式(3)改寫為

其中按列歸一化的感知矩陣A的每一列為

在本文中稱x為信號的幅值,有并且假設e是M維獨立同分布的高斯白噪聲,其每一維的均值為0,方差為σ2.本文中對信噪比的定義為[17]

根據信號的稀疏模型可知,K個來波信號相對于整個監視區域可以認為是稀疏的,即K?N.這滿足了壓縮感知的使用條件,因此可以使用壓縮感知技術重構x,完成單快拍DOA的估計.將上述單快拍DOA估計描述為如下壓縮感知重構問題:

其中,‖x‖0表示向量xxx的非零元素數目.

1.2　AMP算法

在眾多壓縮感知重構算法中,一種被稱作近似消息傳遞的算法因為計算復雜度低以及具有良好的去噪聲能力而引起了人們的關注.AMP算法是一種軟閾值迭代算法,其迭代的初值選取為x0=0,z0=y,迭代公式如下所示[9]:

其中,A?表示A的共軛轉置,xt表示第t次迭代時原信號的估計值,zt表示第t次迭代的殘差.η(·)對x的每一維而言是一個標量非線性的閾值函數,它起到了在每次迭代中將結果導向更加稀疏的方向的作用.若去掉閾值函數該算法將收斂于式(8)的最小l2范數解[18].τt是第t次迭代時的閾值,η′(·)表示η(·)的導數,〈x〉表示向量x的平均值,δ=M/N.閾值函數的具體形式為[9]

其中,(z)+表示zzz大于0的部分.文獻[10]中給出了參數τ的各種選擇方法.若參數τ由迭代式(11)表示:

則AMP算法的迭代結果將收斂于如下被稱為BPDN問題的解[10].

其中,ρ是平衡參數.

2　感知矩陣的高相干問題

直接將AMP算法應用于單快拍DOA估計,無法得到一個令人滿意的結果.如圖1所示,AMP算法將原信號中的點狀非零元素重構成在一個區域,就如同在重構過程中將原信號的能量向其鄰域內“泄漏”.這樣,我們無法直接得到一個精確的DOA估計結果.本節將分析造成該現象的原因.

其中,‖·‖表示向量的模,“?”表示共軛轉置.當i=j時有gii=1,此時被稱為自相干;當i=j時有gij=gji＜1表示矩陣A的列互相干系數.令μ(A)=maxi=j(gij)表示最大列互相干系數.

文獻[19]給出了無噪聲時保證閾值算法性能的充分條件:

定理1[19].對于式(4)定義的線性系統方程y=Ax,如果存在一個解x,其最大非零值為‖xmax‖,最小非零值為‖xmin‖滿足:

圖1AMP算法重構結果Fig.1Reconstruction result of AMP algorithm

定義矩陣的列相干系數:

則可以保證閾值算法能找到這個解.

該定理使用了最大互相干系數描述了感知矩陣與算法性能之間的關系.因此,需要分析單快拍DOA估計所知用的感矩陣的相干性.

與壓縮感知常用的隨機矩陣不同,單快拍DOA感知矩陣是一個確定性的矩陣.在DOA估計中,將相同的監視區域劃分得越細(N越大)估計結果就越精確.但與此同時,就會帶來的感知矩陣的高相干性問題.若用G=A?A表示矩陣A的格拉姆矩陣,則定義感知矩陣A的列相干系數矩陣C=‖A?A‖,即C的元素Ci,j就表示矩陣的第i列與第j列的相干系數.

圖2和圖3分別展示了DOA感知矩陣與隨機感知矩陣的相干系數矩陣.圖中可以看出隨機感知矩陣列的最大互相干系數一般較小,并且最大互相干列的位置是隨機的.而DOA感知矩陣的最大互相干系數與自相干系數十分接近,且相距越近的列其互相干系數越大,相距較遠的列相干程度較低.

圖2　DOA感知矩陣的列相干系數矩陣Fig.2Coherent coefficient matrix of DOA sensing matrix

圖3　隨機感知矩陣的列相干系數矩Fig.3Coherent coefficient matrix of random sensing matrix

研究AMP算法的迭代公式(式(8)和(9)),利用感知矩陣A的格拉姆矩陣G,可以將式(8)改寫為

其中,I表示N維的單位矩陣,x表示原信號,=xt?x,δt=〈η′(xt?1+A*zt?1,τt?1)〉/δ.

文獻[9?10]推導AMP算法迭代公式是基于假設M→∞.當其他條件不變時,若M→∞則G→I,此時由式(15)可以看出xt→x.文獻[9]又指出當M較大(102～103)時,AMP算法依然有效.然而在本文的應用場景中M表示陣元數量,這是客觀限定的,一般不能滿足上述假設,因此AMP算法不能得到較好的結果.

3　SSAMP算法

3.1　算法思路

研究圖4所示的DOA感知矩陣列的相干系數,發現該相干系數可以被分為兩個部分:一部分是相干系數較大且較為集中的列,被稱為高相干列,即圖4中“主瓣”相應的部分,且相距越近相干系數就越大;另一部分是相干系數較小且更為分散的列,被稱為低相干列.通過對比圖1所示的AMP算法重構結果與圖4所示的列相干系數,可以發現AMP算法的重構結果對應于原信號支撐集的高相干列.

圖4　DOA感知矩陣某一列的相干系數Fig.4The coherence coefficient of one column in sensing matrix

雖然AMP算法在感知矩陣相干程度較高時不能得到一個精確的重構結果,但是其重構結果的支撐集包含了原信號的支撐集及其高相干列.從這一點出發,可以考慮利用AMP算法的重構結果進行更進一步的精確求解.

因此我們提出了一種基于AMP算法的子空間搜索近似消息傳遞(SSAMP)算法.SSAMP算法的求解過程總體上分為兩步:第一步由AMP算法求得粗解;第二步在粗解的支撐集中找出精確解.在不考慮噪聲以及低相干列的影響時,每一步迭代結果中的局部最大值就對應原信號的支撐集.而噪聲會使迭代中局部最大值偏離原信號的支撐集.但是可以發現當信噪比大于某一水平時,就能保證粗解的支撐集包含原信號的支撐集.將AMP算法得到的粗解記為由其支撐集Supp劃分出若干子空間.進而在這些子空間中,利用殘差最小原則尋找原信號的支撐集,并求得精確解.由于AMP算法本身的計算復雜度較低,同時這些子空間相對較小,因此該算法的計算效率也較好.值得說明的是這種子空間的劃分不是預先設定的,而是由量測驅動的自適應劃分.

3.2　閾值的選擇

AMP算法是一種迭代閾值算法,閾值初值設置過大會導致幅值較小的信號被去除,而閾值初值設置較小會使收斂速度降低.閾值初值的選取原則應當是在保證算法速度的前提下盡可能的小.我們通過仿真的方式來分析不同的閾值初值的選擇對AMP算法收斂速度的影響.假設信號的幅值x=1,閾值初值選擇從0.001到0.3,圖5顯示了1000次蒙特卡洛仿真中AMP算法收斂的平均迭代次數.從圖5中可以看出閾值初值選擇在大于0.05時,迭代次數幾乎不變.

圖5　閾值選擇與迭代次數關系Fig.5　The iteration number versus threshold value

因此,若已知信號的幅值的水平為x,則建議閾值初值設置為略大于0.05x.若信號幅值水平未知,已知信號個數K,則可以估計信號幅值水平x=‖y‖/K.本文仿真實驗中閾值初值的選擇為τ0=0.1x.

3.3　算法描述

為了解決高相干性對AMP算法造成的影響并保留AMP算法在計算復雜度和抗噪聲能力上的優勢,本文提出了一種基于子空間搜索近似消息傳遞(SSAMP)算法.SSAMP算法需要已知感知矩陣A、量測y、初始閾值τ0和信號數K,最終得到重構結果.共分為如下5個步驟:

步驟1.求粗解

根據AMP算法式(8)～(11)迭代計算直到得到一個收斂的結果或者得到一個是殘差最小的結果,并將其記為粗解

步驟2. 子空間劃分

/=0,子集數r=1,并將其指標1放入子集Supp1.

這樣可以提取出NR個子集(子空間),分別記為Suppr,r=1,···,NR.將各子集的中位元素作為該子集對應的嘗試解支撐元素位置的初值,并將它們合并為初始嘗試解的支撐集S.

步驟3.求精確解1

按順序選擇每一個子集,保持嘗試解支撐集S中其他子集對應的元素不變,用該子集中的每一個元素替換S中該子集相應的元素Sr.用AS表示A中與S相應的列組成的矩陣,根據

求出嘗試解,并找出使殘差

最小的支撐集Sr作為該子集的一元最優解.當NR=K時,說明一個子集只包含一個非零元素即一元解.此時所有子集的一元最優解的集合就組成了精確解的支撐集S.

步驟4.求精確解2

當NR＜K時,說明在某些子集中存在多個非零元素.因此在每個子集中尋找最優解就需要考慮最多存在Nsol=k?NR+1個非零元素的情況.假設第r個子集中非零元素的個數p,遍歷該子集中所有p元組合構成的備選集合T.用p個元素替換Sr,按式(16)和式(17)計算得到p元最優解和相應的殘差res(p).從p=2開始,如果res(p)＞res(p?1)則說明該子集中只有p?1個非零元素,并用替換Sr得到新的S.更新Nsol=K?size(S)+1.直到size(S)=K.

步驟5.求最終解

根據步驟3和步驟4得到的支撐集S和式(16)求出最終解.

SSAMP算法的偽代碼描述見表1.

4　 單快拍DOA估計應用的仿真

本節將利用仿真實驗來分析討論SSAMP算法在單快拍DOA估計應用中的表現.由于DOA估計對算法的抗噪聲性能和超分辨性能有著特殊的要求,因此將通過兩組仿真來驗證SSAMP算法在單快拍DOA估計應用中的性能,并與經典的DOA估計MUSIC算法[1]、ESPRIT算法[2],壓縮感知類的SP[20]、OMP 算法[6]、SSDOA-L1 算法[6]、SSDOA-RFOCUSS算法[6]以及GSSMP算法[8]進行了比較.值得注意的是,MUSIC算法以及ESPRIT算法是無法實現單快拍DOA估計的,因此在仿真2中這兩種算法均使用了10個快拍的數據來得到估計的結果.

表1　SSAMP算法偽代碼Table 1　SSAMP algorithm pseudocode

4.1　仿真1

仿真場景1的設置如下:接收陣列有M=30個陣元沿x軸呈直線排列,其陣元間距為半波長.監控角度的范圍為θ∈[15°,60°],將上述監控區域按等角度分為N=200個分辨單元.設信號數目為K=1,其幅值設為xi=1,其方位角θi在上述監控區域內隨機均勻分布.將信噪比范圍設置為從?20dB到70dB.一共進行了500次蒙特卡洛仿真實驗.仿真硬件環境為:Matlab R2011b,Windows 7 64bit,Intel Core i5-4570 CPU 3.20GHz,RAM 4.00GB.

設置該場景的目的是比較不同壓縮感知算法在單快拍DOA估計中的性能,即在不同的信噪比條件下對比SP、OMP、SSDOA-L1、SSDOARFOCUSS、GSSMP與SSAMP算法的單信號DOA估計誤差和運行時間.

DOA估計誤差將由500次蒙特卡洛仿真實驗的均方根誤差來表示.

其中,θ,分別表示真實來波方向與估計來波方向.

圖6展示了幾種壓縮感知算法來波方向估計均方根誤差的比較結果.特別指出的是,為了結果在對數坐標顯示的方便,圖6中10?9即對應RMSE為0.

圖6　角度估計的RMSE與信噪比關系Fig.6　RMSE in angle estimation versus SNR

當信噪比＞20dB 時,SSAMP、OMP、SSDOA-L1與SSDOA-RFOCUSS算法單信號DOA估計的RMSE為0,意味著這些算法此時能完全抵消噪聲的影響實現精確的DOA估計.SSDOA-RFOCUSS算法在小于20dB時,SSAMP算法在小于5dB時,OMP算法在小于3dB時以及SSDOA-L1算法在小于?16dB時,不能保證精確的DOA估計結果.其余幾種算法則一直不能得到精確的DOA估計結果,但當信噪比＞5db時RMSE一直在10?2的水平左右.大多數算法在信噪比從5dB下降到?15dB時,RMSE(Root mean suare error)從10?2增加到10?1.當信噪比小于?19dB左右時,全部算法的RMSE都跳變到了101的水平.

圖7展示了SSAMP與其他幾種算法在不同信噪比條件下運行時間的比較結果,結果是500次蒙特卡羅仿真結果的平均.特別指出的是SSDOA-L1算法使用的時CVX工具包求解.

可以看出SSAMP、OMP、SP三種算法的運行時間較小,而其余三種算法的運行時間要大得多.SSAMP算法的運行時間在大部分情況下優于其他幾種算法的,僅略高于OMP算法.當信噪比小于?15dB時,SSAMP算法運行時間會略為增加.

圖7　運行時間與信噪比關系Fig.7　Execute time versus SNR

4.2　仿真2

仿真2的目的是為了對比幾種經典算法與壓縮感知類算法在不同信噪比條件下可以分辨的最小角度.

仿真2的設置與仿真1的主要區別在于仿真2中設置的信號數K=2,其幅值均設為1.信號1的方位角θi1為隨機變量,在監控區域內均勻分布,信號2的方位角θi2為在監控區域內與θi1相差一個固定的角度間隔?θ.

在每一次重復的仿真實驗中,?θ從22.5°逐漸減小到0.225°,即間隔的分辨單元從100依次減小到1.當估計結果中兩個信源的估計誤差分別都小于2°,則認為分辨成功;否則,認為該分辨失敗.當某一算法不能成功分辨一個角度時,則認為上一個角度間隔為其最小可分辨角度.記錄下在不同信噪比條件下,各個算法能分辨的最小角度.仿真結果是500次蒙特卡羅仿真中最小可分辨角度的平均值.特別說明當在最大角度間隔時,某一算法仍無法有效分辨兩個來波信號,則將其最小分可辨角度記為22.5°.

圖8展示了信噪比與該算法能分辨的最小間隔角度的關系.可以看出SSAMP算法與GSSMP算法在信噪比大于?2dB時,以最小可分辨角度定義的分辨性能要好于其他算法.ESPRIT算法認為不能分辨相干信號.MUSIC算法與OMP算法最小可分辨角度大約等于3°.MUSIC算法分辨性能幾乎不隨信噪比改變.OMP算法信噪比大于?5dB時,分辨性能幾乎不隨信噪比改變.SSAMP、GSSMP、OMP以及SSDOA-RFOCUSS算法在?5dB到0dB時,分辨性能急劇下降.

圖8　最小分辨角度與信噪比的關系Fig.8　Minimum resolution angle versus SN

4.3　仿真結果分析

從單信號DOA估計的均方根誤差角度看SSDOA-L1算法是最優秀的,然而其使用二階錐規劃方法求解使其運行時間較高.同時其最小可分辨角度仿真結果也較差.這可能是由于其分辨兩個信號時得到的結果具有隨機性,即使相距角度較大也不能保證100%的概率.而仿真2的結果說明的是一個算法能夠穩定得到的最小可分辨角度,在這個意義上SSDOA-L1算法性能較差.

而在最小可分辨角度性能中較好的GSSMP算法,但單信號DOA估計的RMSE較大.GSSMP算法也是一種針對感知矩陣高相關問題的算法.與本文所提SSAMP算法類似,GSSMP算法也是先求粗解再進行精細解的尋找的兩步式算法.但GSSMP算法處理高相干感知矩陣問題與本文所提算法的不同.GSSMP算法先將感知矩陣的高相干列進行合并形成一個互相干度較低的相似感知矩陣.而后通過相似感知矩陣求出粗解,進而通過粗解對應的高相干列尋找出精確解.然而由于其對高相干列的劃分是預先確定的,不能夠保證非零元素位于高相干列組成的子空間的中心.若非零元素恰好位于子空間的邊緣,由于噪聲的影響會出現粗解錯誤的指向與非零元素相鄰的子空間,因而無法找出正確的解.因此GSSMP算法無法得到如本文所提算法在高信噪比條件下RMSE=0的情況.

SSDOA-RFOCUSS算法仿真中表現的性能與文獻[6]中的結論有較大差距.在本文給出的仿真條件下,SSDOA-RFOCUSS算法迭代公式中的AA?這一項是不滿秩的,其逆不存在,只能使用偽逆代替.這可能是SSDOA-RFOCUSS在本文仿真中性能較差的原因.

OMP算法在運行時間、單信號DOA估計RMSE和最小可分辨角度三項性能指標的比較中綜合性能較好.本文所提SSAMP算法與其比較.在運行時間和單信號DOA估計RMSE的比較中,OMP算法略微好于SSAMP算法.而在最小可分辨角度的比較中,當信噪比大于?5dB時SSAMP要明顯優于OMP算法.SP算法在各種性能指標上均要差于SSAMP算法.因此SSAMP算法在綜合性能上具有一定的優勢.

5　SSAMP算法性能分析

由仿真結果圖6至圖8可以看出SSAMP算法有3個特點:1)在SNR＜?19dB時,其單信號估計的RMSE和運行時間惡化;2)在SNR＞5dB時,其單信號估計的RMSE為0;3)在SNR＜?2dB時,其分辨能力大幅下降.下面將通過分析上述現象產生的原因進而分析SSAMP算法的性能.

5.1　SSAMP算法有效的條件

本節通過分析SNR＜?19dB時DOA估計的RMSE惡化與運行時間增加的原因來找出SSAMP算法有效的信噪比條件.

由AMP算法迭代公式(式(8)～式(11))可以看出所有包含噪聲的項都位于閾值函數之中,可以考慮分析在x

x的每一維噪聲對閾值函數的影響來解釋算法失效的原因.假設噪聲為高斯白噪聲,并記為ε.由于ε是一個隨機變量,因此我們分析它對閾值函數的期望造成的影響.設閾值τ＞0,那么根據式(10)則閾值函數的期望可以表示為

其中,f(ε)表示噪聲的分布函數,其累積分布函數用F(ε)表示.將式(19)積分展開可得

為了進一步量化分析噪聲對閾值函數的影響,我們定義一個等效閾值的概念.

等效閾值.=sup(E(η(x,τ))＜∈).其中,∈表示一個接近零的較小的正數(10?4).

圖9展示了在不同信噪比條件下的等效閾值變化的情況.閾值函數的作用就是將小于閾值的量直接設置為0,從而實現噪聲的消除和迭代結果的稀疏化,而噪聲的出現使得閾值函數的這種作用變弱.當信噪比在?20dB到?15dB時,閾值函數作用下降明顯.因此,此時SSAMP算法的性能會明顯下降.

圖9　不同噪聲水平下的等效閾值Fig.9Equivalent threshold under different noise levels

當信噪比小于?19dB時,利用AMP算法得到的子空間未必包含真實的非零元素解,此時SSAMP算法得到的DOA估計結果誤差將會大幅增加.同時根據文獻[9]的結論,此時AMP算法的結果趨近于最小l2范數解.粗解的稀疏性大幅降低,由此得到的子空間數量會大幅增加,此時SSAMP算法的運行時間也會增加.

5.2　SSAMP算法精確重構的條件

精確重構是指算法重構的RMSE=0.通過尋找仿真1中SNR＞5dB時的DOA估計RMSE為0的原因來得到確重構的條件.

設ζ=xi(Ai?gtiAt)表示了向量xi=xiAi與向量At正交的分量.同理設表示了噪聲向量e與向量At正交的分量.結合式(21)與式(22)可得:

對rest=i根據三角不等式有:

若要RMSE=0必須有rest=i＞rest=i即

假設出現極端情況即e=?ζ時,有 ‖e⊥t‖=‖e‖,‖e⊥i‖=gti‖e‖.此時式(25)變為

由此得到SSAMP算法RMSE=0的充分條件為

代入具體的仿真參數max{gti}=0.9964,得到的信噪比應大于12.67dB.

然而由仿真得到的結果為SNR＞5dB倒推得到的‖e‖要比理論值大2.24倍.必須要考慮到eee是一個每一維獨立同分布且均值為0、方差為σ2的M維高斯隨機向量.因此E(ζ?e)=0,說明ζ與e在大多數情況下接近正交.而在上述假設出現的極端情況下,ζ與e是平行的.同時又因為ζ與e的維數M=30,所以在有限次的仿真實驗中很難取得這種極端的情況.因此可以認為實驗的結果與理論分析是一致的.

5.3　SSAMP算法信噪比與分辨能力的關系

分辨能力的下降主要是因為當噪聲水平增加時,二元真實解的殘差大于一元解的殘差.設真實的非零元素位置為i1,i2,有Ax=xi1Ai1+xi2Ai2.一元解及其殘差由式(21)和式(22)求得.根據仿真2的設置,有xi1=xi2=x.用一個合成向量來表示這個二元真實解,即v=x(Ai1+Ai2).則真實解的殘差可以表示為resv=‖ee⊥v‖.這樣處理后,該問題變得與上一節的情況相似,可以由式(26)直接得到一個相似的結果:

將最小可分辨角度為1.125°時相應的參數gtv=0.9675代入式(29),可得對應的信噪比的下界是0.04dB.而圖8中與該最小分辨角度對應的信噪比為?1dB.因此可以認為上述關于信噪比與最小可分辨角度的分析是有效的.

5.4　信號數未知時SSAMP算法的擴展

本文所提的SSAMP算法是在信號數K已知的基礎上設計的.然而在實際的DOA估計應用中,信號數已知的前提有時難以滿足.因此本節將討論SSAMP算法能否擴展應用于信號數未知的情況.

本文所提算法使用信號數的地方有兩處:確定初始閾值和求精確解.在確定初始閾值時需要使用來波信號的幅值水平.當來波信號的幅值水平未知時,使用x=‖y‖/K進行估計以便確定初始閾值.若信號數未知時,沒有辦法按照第3.2節中的建議選擇初始閾值.為了保證幅值較小的信號能被正確重構,需要選擇足夠小的初始閾值.根據圖5所示,這樣做會大幅降低AMP算法收斂的速度,增加程序運行時間.在求取精確解的過程中若信號數K已知,每個子集中最多可能存在的信號數Nsol=K?NR+1就已知,這會使算法計算量較低.當信號數K未知時,如果存在多個信號位于一個子空間中的情況,為了在所有子集中遍歷全部可能的解,會使算法計算量大大增加.

綜上所述,本文所提SSAMP算法在信號數未知時也可以擴展使用.但此時算法的運算量會大幅增加,這意味著算法可以通過增加計算量來彌補信號數未知的信息損失.

6　結論

本文通過分析AMP算法得到的粗解與感知矩陣高相干列的關系,提出了一種SSAMP算法.該算法利用分步求解的思想,首先利用AMP算法求出粗解,然后在粗解所對應的子空間中進一步尋找精確解.該算法保留了AMP算法計算復雜度低以及相對于其他壓縮感知類算法具有抗噪聲能力強的優勢,同時又解決了AMP算法在感知矩陣相干系數較高時無法精確求解的問題.仿真實驗通過對比SSAMP算法與一些經典的壓縮感知算法在單信號RMSE、運行時間和最小可分辨角度上的性能,驗證了SSAMP算法在綜合性能上要優于其他算法.最后本文在理論上分析了SSAMP算法有效范圍、精確重構條件以及信噪比與最小分辨角度的關系,并討論了信號數未知時算法的擴展.在下一步的工作中,可以考慮將目標狀態估計與本文所提算法相結合,使用目標狀態估計的結果作為先驗信息來進一步降低單快拍DOA估計算法的計算復雜度.

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