基于博弈論和D-S證據理論的城市防洪標準方案決策優選方法

鄒　強，胡向陽，李文俊

(長江勘測規劃設計研究有限責任公司 水利規劃研究院，武漢 430010)

0　引　言

城市防洪是大多數城市防御自然災害面臨的首要問題，在海綿城市建設背景下，全國城市防洪安全問題受到密切關注，城市防洪標準確立及防洪工程體系構筑的重要性日益凸顯。城市防洪標準為系統運用工程措施和非工程措施后防御大洪水的能力，通常表達為所能防御的洪水頻率或其重現期[1]。而城市防洪標準方案決策優選是城市防洪規劃的首要問題，也是城市洪災風險管理的重要環節，其實質是遵循政治、社會、經濟和環境效益綜合最優原則來構建綜合評價指標體系，從有限的城市防洪方案標準集中選出相對最優方案[2,3]。該復雜決策過程呈現多目標、多階段、多層次特征，且指標體系存在模糊、隨機、未確知等不確定性，其關鍵在于指標權重的綜合確定和不確定性的有效處理[4-6]。

針對綜合權重的確定，常規計算手段是首先分別獲得反映決策者意念的主觀權重和反映數據分布規律的客觀權重，然后依據加法法則、乘法法則等處理基本主客觀權重，以獲得綜合權重[1,6]。但隨著研究的深入以及各種權重計算方法的提出，比如層次分析法[1]、二元分析法[3]及其改進等主觀權重計算方法，以及投影尋蹤[4]、熵值法[6]及其改進等客觀權重計算方法，不同權重賦值途徑各異，有必要針對不同方法的權重結果開展有效地博弈集結，來綜合利用各方面的指標權重信息[7]。而博弈論正好能較好地解決該問題，通過極小化綜合權重與各種基本權重之間的偏差，獲得較為一致的最滿意權重或綜合權重[7,8]。另一方面，城市防洪標準方案決策優選方法較多，如模糊綜合評價模型[2,3]、投影尋蹤模型[4]、最大熵評價模型[5]、熵權與改進理想解法耦合模型[6]等，各種方法都有各自的優點和不足。比如投影尋蹤模型中窗寬選取有進一步優化的空間；模糊綜合評價模型中隸屬度函數的選取具有人為主觀性；相關方法與智能優化算法結合時，不易編程實現；且上述方法都存在一定程度的不確定性，如何克服人為主觀的干擾、降低評估結果的不確定性亟待研究。而D-S證據理論可通過數據融合來充分利用各種信息，減少評價過程中的不確定性[9]，已成功應用到投資決策[10]、安全評估[11,12]和水庫調度評價[13]等決策問題。

為此，本文嘗試將博弈論和D-S證據理論應用到城市防洪標準方案優選中，來有效處理復雜決策過程中存在的權重計算、不確定性處理等難點，以提高評價信息的利用率和降低評價的不確定性，最終實現方案優劣排序。實例研究驗證了提出方法的適用性和有效性，提高了城市防洪標準方案決策優選的合理性和科學性，具有良好的理論意義和應用價值。

1　基于博弈論的綜合權重確定

首先，分別采用主觀、客觀共K種不同方法計算權重，得到m個評價指標的權重向量：

ωk=[ωk1,ωk2,…,ωkj,…,ωkm]

(1)

k=1,2,…,K,j=1,2,…,m

這樣可構造K種評價方法的權重矢量場{ω1,ω2,…,ωk}。現通過權重矢量場的任意線性組合系數α*=[α1,α2,…,αK]來獲得ω*，以有機集化、融合各種方法的權重信息：

(2)

然后，依據博弈論，在各種指標權重之間尋找協調、均衡、妥協，可使ω*與各種ωk之間的各自偏差達到最小。也就是說，必存在一個最滿意的線性組合，使得ω*與ωk(k=1,2,…,K)的離差最小，便可導出以下多目標博弈集合模型：

(3)

根據矩陣的微分性質，得到上述模型的最優化一階導數條件：

(4)

其次，為方便分析，式(4)對應的矩陣形式表達為：

(5)

求解式(5)，可得線性組合系數α*=[α1,α2,…,αK]。通常情況下α*均是正值；但若為負值，則將其取絕對值轉換為正值，并對作如式(6)的規格化處理[7]：

(6)

最終綜合權重計算公式如下：

(7)

2　D-S證據理論

2.1　D-S證據理論基本定義

D-S證據理論(Dempster-Shafer Evidence Theory)是一種不確定性處理方法，率先于20世紀60年代由Dempster提出，后來由其學生Shafer系統地補充和完善[9]。D-S證據理論的核心內容是可有效表征不確定事件的不確定性度量，并通過不確定性的推理和融合以達到降低不確定性、提高決策精度的目的[10-13]。以下給出D-S證據理論的相關概念[10]：

(1)定義1(識別框架)。Θ為一識別框架，是關于命題的所有相互獨立的一個有限集合或可能答案，并且假設所有可能的答案中有且只有一個是正確的。

(4)定義4(證據合成法則)。對于?A?Θ，證據m1,m2,…,mn為Θ下的Mass函數，則對于兩個及多個Mass函數合成法則為：

(m1⊕m2⊕…⊕mn)(A)=

(8)

2.2　Mass函數的確定

Mass函數是D-S證據理論的運算基礎，本文結合灰色關聯法來計算Mass函數[11,13]。設城市防洪標準方案集共n個，記為X={A1,…,Ai,…,An}；各方案均有m個評價指標，記為I={I1,…,Ij,…,Im}；第i個方案的j指標的特征值為xij，則評價決策矩陣記為X={xij}n×m。由于各評價指標量綱各異，需對原始特征值xij進行規范化處理。若為效益型指標，采取式(9)；若為成本型指標，采取式(10)：

(9)

(10)

式中：yij為xij的規范化值，有0≤yij≤1，得到無量綱決策矩陣Y=(yij)n×m。在此基礎上，將博弈論確定的綜合權重ω*代入到Y，得到加權決策矩陣U=(uij)n×m：

(11)

以正理想方案A+和負理想方案A-作為灰色關聯分析的參考數列：

(12)

可見，正理想方案是指標均為最大值時的方案；負理想方案是指標均為最小值時的方案。進一步，根據灰色關聯分析，以正、負理想方案作為參考數列，將方案Ai作為被比較數列，構建Ai與A+和A-關于指標Ij的關聯系數分別為：

(13)

(14)

在正、負灰色關聯系數矩陣的基礎上，由式(16)得到綜合灰色關聯系數R=(rij)n×m為[11]：

(15)

指標j下的q階不確定度計算公式為：

(16)

式中，一般取q=2，rij為綜合灰色關聯系數。則各指標下不同方案的Mass函數為：

mj(i)=[1-DOI(Ij)]×uij

(17)

(18)

2.3　Mass函數的調整

確定Mass函數后，將依據證據合成法則式(8)進行融合推理。但由于證據集中各指標的權重各異，需理清關鍵指標和非關鍵指標的區別，而不能在證據合成時均等對待，即強化關鍵指標的作用，對證據引入可信度系數處理，來表征各項證據的可信程度，則修正調整的Mass函數為[12]：

(19)

(20)

最終應用證據合成法則對M進行融合，并依據信度函數對方案排序優選[10-13]。

3　基于博弈論和D-S證據理論的方案決策優選方法

結合博弈論確定綜合權重、D-S證據理論中Mass函數確定和融合的詳細過程，以下是基于博弈論和D-S證據理論的城市防洪標準方案決策優選的詳細步驟：

(1)依據城市防洪標準方案，確定評價決策矩陣X=(xij)n×m，并由式(9)或(10)對指標進行規范化處理，形成無量綱決策矩陣Y=(yij)n×m。

(2)由不同方法得到評價指標的主觀、客觀兩類權重，依據博弈論，由式(1)～(7)得到評價指標的綜合權重ω*。

(3)由式(11)得到加權決策矩陣U=(uij)n×m，并由式(12)得到正、負理想方案A+和A-。

(4)由式(13)和(14)得到正、負灰色關聯系數矩陣R+和R-，并由(15)得到綜合灰色關聯系數矩陣R，進而由(16)得到指標j下的不確定度DOI(Ij)。

(6)運用證據合成法則(8)，對所有Mass函數組成的矩陣M進行融合。

(7)依據融合后置信函數值對城市防洪標準方案集進行優劣排序。

4　實例研究

4.1　評價指標

為驗證提出方法的可行性和有效性，以中國南方某重點城市的防洪標準方案決策優選問題開展研究。該城市非農業人口共368萬人，在1915年曾發生過800年一遇的特大洪水，造成了非常嚴重的洪災損失。綜合考慮政治、社會、經濟和生態環境效益等多方面因素，建立了該城市200、300、500和800年一遇的防洪標準方案集，其評價指標體系及其規范化特征值詳見表1[4-6]。現給出基于博弈論和D-S證據理論的城市防洪標準方案決策過程。

4.2　計算分析

(1) 由表1，該城市防洪標準方案集包括4個方案，12個評價指標，即n=4，m=12，形成無量綱決策矩陣Y=(yij)4×12。

(2) 通過廣泛查閱該實例研究的研究文獻并歸納匯總，獲取了層次分析法(AHP)[4,5]、二元對比法[5,6]、基于加速遺傳算法的改進層次分析法(AGA-AHP)[1,4,5]、基于加速遺傳算法的投影尋蹤模型(AGA-PP)[1,4]、熵權法[6]共5種不同方法的權重，詳見表2。

表1　城市防洪標準方案集及其規范化評價指標一覽表Tab.1 Urban flood control standard schemes and their standardized evaluation indexes

表2　不同方法的評價指標權重Tab.2 Weights of the evaluation indexes by different methods

由表2可知，既有AHP、二元對比法和AGA-AHP這3個主觀賦權方法，又有AGA-PP、賦權法這2個客觀賦權方法。顯然，指標權重直接影響決策優選結果，如果只是采用上述一種方法而忽視了其他評價方法的計算權重，評價結果有失全面性和科學性，尚需開展以上多種權重結果的有效融合，為此，本次采用博弈論來確定綜合指標權重，以有機結合和全面利用各種權重信息。

由式(5)和(6)得到線性組合系數：

α*=[α1,α2,…,α5]=

[0.140 7, 0.324 9, 0.277 1, 0.115 0, 0.142 3]

可通過α*線性組合賦權方式(7)，最終的綜合權重為：

ω*=[0.103, 0.093, 0.111, 0.114, 0.150, 0.059,

0.071,0.068,0.062,0.062,0.058,0.047]

(3) 由式(11)～(12)確定正、負理想方案A+和A-：

(4) 由式(13)～(16)得到各指標的不確定度：

DOI(I1)=0.133,DOI(I2)=0.139,DOI(I3)=0.132,

DOI(I4)=0.138,DOI(I5)=0.134,DOI(I6)=0.221,

DOI(I7)=0.135,DOI(I8)=0.133,DOI(I9)=0.145,

DOI(I10)=0.126,DOI(I11)=0.132,DOI(I12=0.127)

(5) 由式(17)～(20)，形成方案集決策優選的Mass函數矩陣M：

其中，整體不確定度的Mass函數為：

(6) 令識別框架Θ={A1,A2,A3,A4}，并取2Θ={{A1},{A2},{A3},{A4},{A1,A2,A3,A4}}，依據式(8)的證據合成法則，得到合成后Θ內各子集的信度函數分別為：

bel(A1)=(m1⊕m2⊕…⊕m12)(A1)=0.161 4

bel(A2)=(m1⊕m2⊕…⊕m12)(A2)=0.215 9

bel(A3)=(m1⊕m2⊕…⊕m12)(A3)=0.220 4

bel(A4)=(m1⊕m2⊕…⊕m12)(A4)=0.383 6

bel(A1,A2,A3,A4)=

(m1⊕m2⊕…⊕m12)(A1,A2,A3,A4)=0.018 7

根據信度函數最大化原則，對4個城市防洪標準方案A1,A2,A3,A4，其決策優選排序結果為A4>A3>A2>A1。這與模糊綜合評價模型[2,3]、投影尋蹤模型[4]、最大熵評價模型[5]、熵權與改進理想解法耦合模型[6]等方法的排序結果是完全一致的，均認為方案4為最佳方案，即該城市防洪標準應確定為800年一遇。

進一步，分析比較可知，在信息融合過程中，整體不確定性的信度值由最初的平均值54.77%降低到1.87%，表明通過D-S證據理論處理方案集決策優選問題時，可顯著降低信息的不確定性，提高科學決策水平，具有很好的可行性和有效性。

5　結　論

本文提出了一種基于博弈論和D-S證據理論的城市防洪標準方案決策優選方法，具有兩方面優勢：①兼顧主、客觀兩類權重的優點，引入博弈論將多種主客觀權重結果進行均衡融合，使得評價指標的綜合權重更具科學性和全面性；②將D-S證據理論應用于決策優選過程中，通過不確定信息的精確描述和推理合成，來顯著降低信息的不確定性和提高決策的科學合理性，并依據可信度函數來實現決策排序。實例研究驗證了該方法的可行性和有效性，為城市防洪標準方案決策提供了一種科學合理而又行之有效的工具。

當然，建立具有普適性且能全面貫徹海綿城市建設要求的城市防洪標準綜合評價指標體系，一直是學術界和工程界的難點問題，將在下一步重點研究；隨著D-S證據理論研究的不斷深入，應針對證據高沖突下證據合成法則有效改進開展具體研究，以進一步提高對不確定性的診斷能力。

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