由線性代數中幾道題目引出的教學探討

趙侯宇

【摘 要】線性代數是理工科專業學生的必修課程之一，具有內容抽象、推理嚴謹等特點，對培養學生的邏輯、推理能力具有不可替代的作用。文章分析了線性代數中出現的幾道題目，為該課程的進一步教學改革和實踐提供了一點思考。

【關鍵詞】線性代數；教學改革

中圖分類號：G624 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）04-0059-001

Teaching From Several Topics in Linear Algebra

ZHAO Hou-yu

（School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University，Shapingba 401331，China）

【Abstract】Linear algebra is one of the compulsory courses for science and engineering majors. It has the characteristics of abstraction and precise reasoning， which plays an irreplaceable role in cultivating students' logical and reasoning ability. The article analyzes several problems that appear in linear algebra， and provides some reflections on the further teaching reform and practice of this course.

【Key words】Linear algebra； Teaching reform

線性代數是大學理工科專業學習的一個重要組成部分，占據著重要位置[1-2]。在實際教學中，許多學生的解題能力得不到提高，對于線性代數概念定義較多，解題方式多樣，導致學生產生厭學情緒，究其原因，是學生解題的思維能力沒有得到很好的鍛煉，或者說，學生沒有很好地掌握所學的解題知識。因此，教師在實際的教學活動中，應多一些點撥和提醒，讓學生在明白一道題目的解法時對解題關鍵的思想和方法也要掌握，明白具體思路，達到舉一反三的目的。下面，我們將就幾道具體例子[1]，說明解題思想在教師授課過程中的重要作用。

例1設P-1AP=∧，其中P=-1 -4 1 1，∧=-1 0 0 2，求A11.

分析：此題是學生學習了矩陣及其運算之后的一道計算題。主要考查學生對矩陣相似和對角矩陣性質的掌握程度，特別是注意到對角矩陣的有限次方只需要對處于對角線處的數字進行有限次方運算這個特點。如果學生掌握了這些，按照題目要求，學生應該能夠順利做出。

解：由題目可知A=P∧P-1，又因為A11=P∧11P-1，注意到∧11=-1 0 0 2048，因此

例2設

（2-λ）x+2x-2x=1，2x+（5-λ）x-4x=2，-2x-4x+（5-λ）x=-（λ+1），

問λ為何值時，此方程組有唯一解、無解或有無限多解？并在有無限多解時求其通解。

分析：此題是在學完矩陣的初等變換與線性方程組后的一道題目。教師在課堂上應重點講解n元線性方程組Ax=b有解和無解的充分必要條件是什么，特別要針對該定理的應用進行重點講解，通過幾道例題加深該定理的理解。如果學生掌握了這些，那么本題便易于解決，主要應用n元線性方程組有解與無解的充要性定理完成。

解：對增廣矩陣B=（A b）作初等行變換把其變成行階梯形矩陣，有

當λ≠1且λ≠10時，R（A）=R（B）=3，方程組有唯一解；

當λ≠10時，R（A）=2<3=R（B），方程組無解；

當λ≠1時，R（A）=R（B）=1<3，方程組有無限多個解， 這時

B1 2 -2 10 0 0 00 0 0 0

由此得

x1=1-2x2+2x3，

其中x2，x3為自由變量，即xxx=c-2 1 0+c201+100，c，c為任意實數。

例3設n階矩陣A滿足A2=A，E為n階單位矩陣，證明：R（A）+R（A-E）=n.

分析：此題是在學完矩陣的秩和向量組的線性相關性后的一道題目。教師在課堂上講解矩陣的秩的時候，對于矩陣的秩的幾個性質應加以重點解釋和介紹。此題用到了矩陣和的秩小于等于矩陣秩的和，此外還用到若兩個矩陣的乘積是n階零矩陣，則這兩個矩陣的秩的和小于等于n這個性質。學生在掌握了這些，便可從這兩個性質入手證明此題。

證明：由已知A2=A有A（A-E）=0，利用若兩個矩陣的乘積是n階零矩陣，則這兩個矩陣的秩的和小于等于n，即R（A）+R（A-E）≤n.

又因為A+（E-A）=E，利用矩陣和的秩小于等于矩陣秩的和有

n=R（E）≤R（A）+R（E-A）=R（A）+R（A-E）.

因此R（A）+R（A-E）=n.

通過上面幾道例題的分析，我們可以看到對于線性代數這門課程解題的一些重要技巧和方法都是在熟練掌握線性代數課程內容的基礎知識、基本概念后才能夠實現的，這需要教師在課堂講解時針對定理、概念進行細致分析、重點把握、積極引導，不斷強化學生對具體定理、概念的理解和運用，使學生在解決問題時能有的放矢。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系編.工程數學線性代數（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]北京大學數學系前代數小組.高等代數（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2013.