橢圓積分在理論力學中的應用

張存　劉建林　陳立明

【摘 要】橢圓積分表達形式優美而簡練，是開展力學、物理理論研究的重要工具之一。在理論力學、大學物理等本科課程中也存在很多問題可用橢圓積分進行精確求解。其中大學物理相關實例已有大學物理教育工作者對其進行了總結。而對于理論力學中的相關實例，其精確解答多出現在分析力學、非線性動力學等專著中，在理論力學教材中卻鮮有討論。本文對理論力學教材中涉及橢圓積分的相關動力學問題進行了系統總結，并利用橢圓積分給出了相應的解析解。然后從橢圓積分定義出發，給出了一類可用橢圓積分表示的動力學方程。這一總結有助于我們深刻認識這些動力學模型的物理本質，同時也為理論力學課程開展研究性學習提供有益參考，并且激發學生進行科學探索的好奇心。

【關鍵詞】橢圓積分；單擺；復擺；圓輪滾動；直桿滑落

中圖分類號： O411 文獻標識碼： A 文章編號：2095-2457（2018）04-0022-003

Applications of Elliptic Integrals in Theoretical Mechanics

ZHANG Cun1 LIU Jian-lin2 Chen Li-ming3

（1.Department of Engineering Mechanics， Shijiazhuang Tiedao University， 050043 Shijiazhuang， China；

2.College of Pipeline and Civil Engineering， China University of Petroleum （East China）， 266580 Qingdao， China；

3.College of Aerospace Engineering， Chongqing University， 400030 Chongqing， China）

【Abstract】Elliptical integrals are very useful in the theoretical study of mechanics and physics. In fact， many problems in the undergraduate courses "theoretical mechanics"， can be solved analytically using elliptical integrals. In this paper， these cases have been summarized， whose solutions are expressed with elliptical integrals. Meanwhile， a type of typical dynamics systems are discussed， whose solutions can be described using elliptical integrals. This study may be helpful in understanding the physical nature of these above nonlinear dynamics systems， and could be used as teaching materials for the inquiry-based learning in theoretical mechanics.

【Key words】Elliptical integral； Simple pendulum； Compound pendulum； Cylinder rolling on a cylindrical surface； Falling rod

0 前言

橢圓積分是一類重要的特殊函數，其結構簡練、優美，因而在力學、物理等領域中得到了廣泛應用，受到很多學者的青睞[1-3]。例如材料力學中細長桿發生彈性大變形的形貌[4-6]、表界面力學中固體表面上液滴的輪廓形狀[4-7]、非線性動力學中彈簧振子的非線性振動[8]，以及電磁學[9]等各類問題中都成功應用了橢圓積分。本文作者也利用橢圓積分開展了一系列關于表界面力學方面的研究工作，主要包括：劉建林等人給出了單根碳納米管在范德華力作用下截面的坍塌形貌[6]、張存等人給出了粘附碳納米管的半坍塌構型以及坍塌構型[5]；……