一“數(shù)”獨秀也是春

數(shù)學恐怕是令無數(shù)學生都“焦頭爛額”的一門學科。可數(shù)學又無處不在，充滿了每個人的生活。馬克思曾說過：“一門科學，只有當它成功地運用數(shù)學時，才能達到真正完善的地步。”北京大學數(shù)學科學學院教授孫文祥就將這個“虐我千百遍”的學科運用得宜，一步步探尋著數(shù)學奧秘。

坎坷求學路

出生于1958年的孫文祥，高中畢業(yè)后被安排到農(nóng)村學校教書，但他始終放不下對知識的渴求，兩年后被保送進入河北師范學院（今河北師范大學）數(shù)學系學習。因大學入學時間推遲，孫文祥的本科學習時間只有兩年半。畢業(yè)后，他留校任教，1982年被派往河北師范大學進修碩士研究生，但僅作為進修生的孫文祥沒有機會獲得碩士學位。勤能補拙，工作幾年之后，孫文祥于1991年考取中山大學博士研究生，僅用兩年半的時間就取得了常人3年才能拿到的博士學位。孫文祥常說這是因為遇到了“好老師”，他在陳藻平先生、何連法教授和周作領教授的科研思路影響下，奠定了在數(shù)學領域的研究方向，也就是微分動力系統(tǒng)與遍歷論。

博士畢業(yè)后，孫文祥在北京大學做博士后研究，合作導師是在國際微分動力系統(tǒng)界獨樹一幟的廖山濤先生。此外，文蘭院士領導的微分動力系統(tǒng)研討班令孫文祥獲益良多；他和國際數(shù)學聯(lián)盟主席Palis領導的巴西動力系統(tǒng)學派還有定期的訪問合作。植根于深厚的研究沃土，孫文祥率領他的博士生和國外同行做出了獨特的系列研究成果。

洞悉“熵的黑洞”和“熵爆炸”

20多年來，孫文祥與團隊在微分動力系統(tǒng)的遍歷理論領域里兢兢業(yè)業(yè)，克服重重困難，在非一致雙曲系統(tǒng)的周期逼近和周期偏差課題，在帶奇點流的熵退化理論課題中取得30余篇科研成果論文，發(fā)表于Transactions AMS、Proceedings AMS、ETDS、CMP等國際著名數(shù)學綜合學術雜志和國際頂尖專業(yè)學術雜志上。

目前，團隊成員包括巴西學派的兩位教授和一位美國教授以及孫文祥指導的10余名博士生和碩士生，如今這些學生已經(jīng)有若干名成長為副教授、教授，在復旦大學和美國的密執(zhí)安州立大學等著名大學工作。

有了團隊的支撐，研究進行得如火如荼。微分動力系統(tǒng)的運動復雜性可以用非負實數(shù)——熵來量度。熵在物理、化學、信息學中表示系統(tǒng)的混亂程度和不確定程度，而動力系統(tǒng)里的熵則突出了這種混亂或不確定性與時間和運動的關系。0熵系統(tǒng)復雜度最低，正數(shù)熵系統(tǒng)則比0熵系統(tǒng)復雜程度高一個層級，且熵越大復雜度越大。無窮熵系統(tǒng)則是復雜的最高級別。

孫文祥團隊構造了一個四維流形（空間）和帶有一個固定奇點的向量場族，即一族微分動力系統(tǒng)。這族系統(tǒng)的運動軌道是一樣的，但運動速度不同。從一個熵很大很復雜的正熵系統(tǒng)開始，增大軌道在奇點附近的停留時間（等價于減小軌道在奇點附近的運動速度）進而減少向量場的熵值，達到的臨界系統(tǒng)是個0熵系統(tǒng)。這族系統(tǒng)的正熵退化為臨界系統(tǒng)的0熵，由此可以解釋為：系統(tǒng)族的全部熵都被奇點“吸收掉了”，或者說，臨界系統(tǒng)的全部熵集中在奇點上。這樣一來，臨界系統(tǒng)的奇點就好似一個“黑洞”，吸引了系統(tǒng)的全部“能量”—熵。孫文祥稱臨界系統(tǒng)的這個奇點為熵黑洞，上述例子則給出了熵黑洞的一種行成機制。

團隊構造的熵黑洞是無法接近的，究其原因，是因為在奇點，即熵黑洞周圍存在一個極小集合，其每個點的運動軌道在空間中稠密且全方位無限次逼近奇點。正是這個極小集合在熵黑洞外圍形成了“保護箱”，使得外面狀態(tài)點的軌道無法穿越這個箱子達到奇點。熵黑洞也是不能觀察的，原因是包括勒貝格測度在內(nèi)的、凡是隨軌道不變的測度都消失了，沒有運動著的觀察測度。熵黑洞還不能度量，是由于正熵系統(tǒng)的黎曼度量在達到臨界系統(tǒng)時退化為非黎曼度量。

孫文祥團隊進一步就一般的熵黑洞揭示了特征。下面幾個特征條件單獨成立，即滿足其一就能形成熵黑洞：

1.軌道在奇點附近的停留時間太大超過了“極限線性”；

2.軌道在奇點附近的速度太小超過了“極限線性”；

3.所有隨軌道不變的測度包括勒貝格測度全部消失，即沒有了“運動著的”觀察測度；

4.黑洞形成過程是相對論中黎曼度量變化的過程，臨界系統(tǒng)對應的是黎曼度量破裂成非黎曼度量。

依據(jù)3和4，熵黑洞是無法觀察到、無法度量的。只能用數(shù)學方法證明其存在。

孫文祥團隊證明，不帶奇點的向量場不會出現(xiàn)熵黑洞，帶奇點的向量場如果奇點不是很特殊，也不會出現(xiàn)熵黑洞。于是，熵黑洞出現(xiàn)是很少的現(xiàn)象。然而，他們又證明這種帶有“熵黑洞”的系統(tǒng)并非個例，如果所有系統(tǒng)放在一起構成一個集合，則具有熵黑洞的系統(tǒng)構成的子集合是具有無限維數(shù)的。

除此之外，團隊還構造了具有無窮層保護箱的熵黑洞?！霸谝痪S流形和二維流形上不會產(chǎn)生熵黑洞，四維以上流形可能產(chǎn)生熵黑洞?！睂O文祥介紹。據(jù)悉，“三維流形上能否產(chǎn)生黑洞”是孫文祥仍在研究的課題之一，未解之謎正在逐一得到解答。

如果說物理黑洞是“物質的”——奇點吸引了周圍的質量、光或熱量，那么孫文祥團隊的熵黑洞則是關于運動復雜程度的數(shù)量的“非物質”黑洞。

團隊取得的眾多成果中不得不提的還有一個逆向成果——熵爆炸。團隊構造了一個拓撲空間和一族動力系統(tǒng)，這族系統(tǒng)的運動軌道是一樣的，但運動速度不同。從一個0熵即沒有復雜性系統(tǒng)開始，減小軌道在奇點附近的停留時間（等價于增大軌道在奇點附近的運動速度）進而增大系統(tǒng)的熵值，達到的臨界系統(tǒng)是個無窮大的熵系統(tǒng)，即軌道相同的一族系統(tǒng)熵值從0增大爆炸成為無窮熵。

雖然有巴西學派的數(shù)學家Gelfert和美國西北大學物理學家Mortter在孫文祥團隊之后獲得了1項研究論文，但總體來講，研究尚沒有引起國際上更多數(shù)學家和物理學家的關注。團隊的研究仍然是孤軍奮戰(zhàn)?！把芯渴加?997年，共發(fā)表9篇研究論文，每過一兩年當我們有新想法時，就證明出新定理，研究就往前推進一步”，孫文祥如是說，“不緊不慢，孤獨前行，也享受這種過程?！?/p>

傳遞數(shù)學之美

在數(shù)學研究同時，孫文祥還注重培養(yǎng)年輕人。他著有我國第一本研究生教材《遍歷論》，該書第一次系統(tǒng)介紹了遍歷論的基本知識、基礎技術以及團隊新成果。

在孫文祥看來，做學問的過程中，也是有層次性可分的：一個是知識，一個是學問，再者就是知識和學問不能分離，要將其結合起來，找到解決問題的關鍵思路。細細說來，在引領課題或者某個研究方向時，也許技術就足以解決很多問題，但真正限制研究的卻是思路，一旦科研思路清晰明了，就算研究再復雜難解，終會找到突破口。

孫文祥經(jīng)常強調的還有思路的獨特性。當問題出現(xiàn)時，人們總是習慣于用“老”知識來衡量“新”問題的對錯，卻很少想要開創(chuàng)性地去研究這個新問題?！蔼毜揭娊馐亲鰧W問的最高層次。”孫文祥表示。

日常教學中，孫文祥總是保持著高度熱情，不止要把所教的內(nèi)容講清、講明白，還要講透徹。教學中他還特意放慢速度，留給學生充足的思考時間。他的數(shù)學教學得到學生好評，2015年被選為“北京大學十佳教師”。

孫文祥就是這樣一步步證明著，在數(shù)學學習研究中，即便開頭難，但只要有肯攀登的決心，成功并不是遙不可及。而在教學中，孫文祥同樣帶領學生們用開拓的思路領悟著數(shù)學的浪漫與美感。