關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程　促進(jìn)思維發(fā)展
——以“雞兔同籠”的教學(xué)為例

浙江杭州市蕭山區(qū)新塘小學(xué)（311200）

“雞兔同籠”是我國(guó)古代著名趣題之一。以前，雞兔同籠問(wèn)題只是作為小學(xué)奧數(shù)的常見(jiàn)題型。新課改后，不少版本的教材都新增了一個(gè)教學(xué)內(nèi)容——“雞兔同籠”。人教版教材在六年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角》中詳細(xì)介紹了“雞兔同籠”問(wèn)題的出處、幾種典型解法及實(shí)際應(yīng)用，突出“解決問(wèn)題策略的多樣化”。在北師大版教材中，“雞兔同籠”是作為研究問(wèn)題的載體，意在讓學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過(guò)程，體會(huì)解決問(wèn)題的一般策略——列表。教材不僅呈現(xiàn)了“雞兔同籠”的情境和出處，還給出了三個(gè)表格，第一張表格是逐一列表法，第二張表格是跳躍列表法，第三張表格是取中列表法。下面就說(shuō)說(shuō)如何借助“雞兔同籠”這一載體，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

一、任務(wù)導(dǎo)向，啟迪思維

通過(guò)課前調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有少數(shù)學(xué)生在課外就已經(jīng)接觸過(guò)“雞兔同籠”問(wèn)題，能用假設(shè)法解決問(wèn)題，但大部分學(xué)生都沒(méi)接觸過(guò)。這樣一來(lái)，如果讓全體學(xué)生都用列表法解題，已經(jīng)學(xué)過(guò)的學(xué)生就會(huì)說(shuō)：“我會(huì)用假設(shè)法解決問(wèn)題，多快！何必用列表法。”是呀，為什么一定要用列表法呢？雖然這節(jié)課的一個(gè)教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用“嘗試與猜測(cè)”解決問(wèn)題，但是強(qiáng)迫學(xué)生用列表法解題，學(xué)生只會(huì)是為了列表而列表，會(huì)失去解題的動(dòng)力。從大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)考慮，教學(xué)目標(biāo)“結(jié)合解決‘雞兔同籠’的問(wèn)題，借助列表法體驗(yàn)嘗試與猜測(cè)的解題策略”沒(méi)有錯(cuò)，但面對(duì)學(xué)習(xí)起點(diǎn)不一樣的學(xué)生，如何預(yù)設(shè)課堂，才能讓每個(gè)學(xué)生都能主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，思考問(wèn)題呢？

分析假設(shè)法和列表法，我們不難發(fā)現(xiàn)，列表法是先假設(shè)雞或兔的腿數(shù)，再一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行嘗試和推算；假設(shè)法是先假設(shè)全是一種動(dòng)物，再根據(jù)腿數(shù)的差距，求出只數(shù)。細(xì)細(xì)想來(lái)，假設(shè)法也是“先假設(shè)——調(diào)整——結(jié)論”，和列表法是在“做”一樣的事，從思維層次上講：假設(shè)法是列表法的一種表現(xiàn)形式，假設(shè)法可以看成是對(duì)列表法的進(jìn)一步抽象和提升，而列表法在本質(zhì)上就是假設(shè)法，列表過(guò)程的每一步都是假設(shè)。

于是，我先讓會(huì)用假設(shè)法解決問(wèn)題的學(xué)生思考問(wèn)題：“能不能把用假設(shè)法解題的過(guò)程記錄在表格里呢？”學(xué)生對(duì)這個(gè)新任務(wù)很感興趣，在表格里嘗試記錄假設(shè)法解題的思考過(guò)程，不敢懈?。ㄈ绫?）。接著，讓學(xué)生介紹自己的方法，解釋為什么這么快就能找到正確答案?！?0-54=26（條），多了26條腿說(shuō)明兔子多了13只，也就是雞要增加13只”。學(xué)生在介紹方法的過(guò)程中就能感悟到：假設(shè)法和列表法這兩種方法是有聯(lián)系的，在列表法中也能找到假設(shè)法的影子。

表1

這樣的處理方式，既可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使他們能夠主動(dòng)地參與課堂學(xué)習(xí)，也點(diǎn)破了列表法和假設(shè)法之間的關(guān)系，可謂一舉兩得。

二、聚焦策略，提升思維

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑，都是由自己去發(fā)現(xiàn)、探究，因?yàn)檫@種理解最深刻，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。”因此，教師要有效引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，讓學(xué)生在觀察、辨析、判斷、分析、抽象、概括等具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)思考的能力。

在引導(dǎo)學(xué)生借助表格進(jìn)行猜測(cè)與嘗試解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，除了給出教材上介紹的三種方法“逐一列表法、跳躍列表法、取中列表法”，還可介紹三步列表法（如表2）：先假設(shè)雞有1只，再假設(shè)雞有2只，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律“每增加一只雞，減少一只兔，腿數(shù)會(huì)著減少2條。而76比54多了22條腿，所以要增加11只雞”。

表2

分析這幾種列表方式，發(fā)現(xiàn)它們的思維含金量是不一樣的。逐一列表法是學(xué)生一個(gè)一個(gè)去嘗試，學(xué)生有沒(méi)有根據(jù)前一次猜測(cè)的腿數(shù)對(duì)雞和兔的只數(shù)進(jìn)行調(diào)整呢？我采訪(fǎng)過(guò)幾位學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們不是在調(diào)整，只是在一個(gè)一個(gè)地嘗試，進(jìn)行地毯式的搜索，尋找答案；對(duì)于跳躍列表法，學(xué)生會(huì)根據(jù)腿數(shù)的多少進(jìn)行調(diào)整，相差大，調(diào)整的幅度就大些，相差小，調(diào)整的幅度就小些，其思維含金量不言而喻——比逐一列表法要高；而取中列表法是學(xué)生對(duì)題中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，再對(duì)答案進(jìn)行估計(jì)：可能雞兔的只數(shù)相差不大，所以從中間開(kāi)始猜測(cè)，再進(jìn)行調(diào)整；最后一種是三步列表法，它要求學(xué)生利用“每增加一只雞，減少一只兔，腿數(shù)會(huì)著減少2只”這個(gè)規(guī)律，一步調(diào)整到位。

在分析學(xué)生可能出現(xiàn)的幾種思考方法后，我就可以做到有的放矢，由淺入深地組織學(xué)生學(xué)習(xí)。在組織交流逐一列表法時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生思考：“你是怎么猜測(cè)的?”重點(diǎn)觀察雞的只數(shù)、兔的只數(shù)及相應(yīng)的腿數(shù)的變化規(guī)律。在組織交流跳躍列表法時(shí)，讓學(xué)生通過(guò)思考“腿數(shù)是多了還是少了”“說(shuō)明了什么”“怎么調(diào)整”“為什么調(diào)整幅度這么大”“調(diào)整幅度怎么變小了”這幾個(gè)問(wèn)題，進(jìn)一步學(xué)習(xí)“調(diào)整”的策略。在組織交流“取中列表法”的過(guò)程中，學(xué)生就能感悟到：各種方法不是孤立的，要綜合運(yùn)用，才能更快地解決問(wèn)題。

三、辨析錯(cuò)誤，矯正思維

一節(jié)課只有40分鐘，對(duì)于學(xué)生的一些錯(cuò)誤，教師可以“放大”處理：拋出錯(cuò)誤，讓學(xué)生在討論和爭(zhēng)辯中矯正思維，加深理解。在用列表法解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，如何根據(jù)已有猜測(cè)進(jìn)行調(diào)整是教學(xué)難點(diǎn)，為了幫助學(xué)生把這個(gè)內(nèi)容“踩實(shí)”，教師就要及時(shí)捕捉學(xué)生的錯(cuò)誤，把其作為教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生在辨析錯(cuò)誤的過(guò)程中鞏固正確認(rèn)知。

有位學(xué)生給出了如表3所示的方法：在進(jìn)行第二次猜測(cè)“雞有5只，兔有15只”時(shí)，他算出腿有70條，這70條說(shuō)明腿多了。因此，在進(jìn)行下一輪猜測(cè)時(shí)，就應(yīng)該減少兔的只數(shù)，增加雞的只數(shù)，但這位學(xué)生還要增加兔的只數(shù)，顯然，他的調(diào)整是不恰當(dāng)?shù)摹?/p>

表3

我對(duì)這位學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行了放大處理?！?0說(shuō)明了什么？接著你又假設(shè)雞有4只，兔有16只，為什么這么調(diào)整？你是怎么想的？”這樣的問(wèn)題，能讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到：腿多了，說(shuō)明兔多了，應(yīng)該要增加雞的只數(shù)，減少兔的只數(shù)。

做教師要細(xì)心，做數(shù)學(xué)教師更要細(xì)心，要關(guān)注到學(xué)生解題背后的思考過(guò)程“這樣的思考過(guò)程對(duì)不對(duì)，這樣的思考過(guò)程是否簡(jiǎn)潔”，只有深入分析學(xué)生的思考過(guò)程，才能糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，才能發(fā)展學(xué)生的思維。

四、建構(gòu)模型，拓展思維

一節(jié)好的數(shù)學(xué)課應(yīng)該讓學(xué)生懂得一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，獲得一種思想，積累一類(lèi)問(wèn)題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)要讓學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)模型過(guò)程中，思維品質(zhì)得到發(fā)展，思維能力得到拓展。在學(xué)生掌握了列表法之后，教師應(yīng)從問(wèn)題出發(fā)，提煉出“雞兔同籠”問(wèn)題的基本模型，再帶領(lǐng)學(xué)生將這一簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到各種問(wèn)題情境中，完成數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與應(yīng)用。

師：“雞兔同籠”問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在日本也有此類(lèi)問(wèn)題的研究，日本人稱(chēng)它為“龜鶴問(wèn)題”。

師（出示龜鶴問(wèn)題的圖片）：日本人說(shuō)的“龜鶴”和我們說(shuō)的“雞兔”有聯(lián)系嗎？

生1：有聯(lián)系，龜相當(dāng)于兔，都是四條腿，鶴相當(dāng)于雞，都是兩條腿。

師：像四條腿和兩條腿的，假如不叫它“雞兔同籠”，也不叫“龜鶴問(wèn)題”，是否還可以取個(gè)其他名字？

生2：人狗問(wèn)題。

生3：鴨貓問(wèn)題。

……

師：看來(lái)，“雞兔同籠”可以換成烏龜和仙鶴，人和狗等問(wèn)題，但歸根結(jié)底，它們也是“雞兔同籠”問(wèn)題。其實(shí)“雞兔同籠”問(wèn)題只是這一類(lèi)問(wèn)題的模型。在生活中也有許多類(lèi)似于“雞兔同籠”的問(wèn)題。

（1）三輪車(chē)和自行車(chē)共11輛，總共有25個(gè)輪子。三輪車(chē)和自行車(chē)各有多少輛？

（2）樂(lè)樂(lè)的儲(chǔ)蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚，總值5.1元，1角和5角的硬幣各有多少枚？

師：這些問(wèn)題和“雞兔同籠”問(wèn)題有關(guān)聯(lián)嗎？

生4：第（1）題里的自行車(chē)相當(dāng)于2條腿的雞，三輪車(chē)相當(dāng)3條腿的兔。

生5：第（2）題里的1角相當(dāng)于雞，而5角就相當(dāng)于兔，27枚相當(dāng)于頭數(shù)，5.1元相當(dāng)于腿數(shù)。

師：看來(lái)，在生活中有很多類(lèi)似的問(wèn)題都可以看成是“雞兔同籠”問(wèn)題。

在這樣一個(gè)建構(gòu)與應(yīng)用中，學(xué)生明白了“雞兔同籠”問(wèn)題只是一個(gè)簡(jiǎn)單的“數(shù)學(xué)模型”，雖然問(wèn)題的情境在變化，但問(wèn)題的本質(zhì)是沒(méi)有變，學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中逐漸形成“雞兔同籠”問(wèn)題的解題思路和策略。

通過(guò)教學(xué)“雞兔同籠”這個(gè)內(nèi)容，我深刻地認(rèn)識(shí)到：教師要為學(xué)生的思維發(fā)展而教！數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，作為一名數(shù)學(xué)教師，要把握課堂的每一個(gè)細(xì)節(jié)，尋找行為背后的原因，思考結(jié)果背后的過(guò)程，為提升學(xué)生的思維能力而努力。當(dāng)然，提高學(xué)生的思維能力是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，“冰凍三尺，非一日之寒”，如果能帶著“發(fā)展學(xué)生思維”的理念展開(kāi)教學(xué)，相信我們的數(shù)學(xué)課堂一定會(huì)實(shí)現(xiàn)更大的效能！