挖掘“數列”探究價值，促進學生思維發展

□ 邵漢民

等差數列、等比數列和裴波那契數列是三種常見的數列，在生活中可以找到它們的現實原型，如堆成三角形或梯形的圓木堆可以看作等差數列的原型，做拉面時師傅不斷地對折拉面的過程中，拉面根數增加的情況就是一個等比數列，而大自然中大多數花朵的花瓣數，如果從少到多排列起來，居然會是一組裴波那契數列。同時，關于這三個數列，都有一些數學故事，等差數列有高斯求和的故事，等比數列有達依爾的麥粒故事，裴波那契數列有兔子繁殖的故事。如何利用好這些現實原型，并充分挖掘這些故事的數學內涵，讓學生經歷這些數列的抽象過程，促進學生的思維發展？對此，筆者進行了教學思考與實踐。

一、等差數列——初步感受數學化的過程

利用等差數列求和這一數學知識培養學生良好的數感，是“等差數列”學習價值的體現。但是，作為小學生，如果我們單純地讓學生求等差數列的和，掌握它的計算公式：和=（首項+末項）×項數÷2，似乎還沒有真正挖掘出“等差數列”的教學價值。如何通過找尋“等差數列”與現實模型、圖式模型之間的聯系，體驗數學與現實之間的內容聯系？如何通過“等差數列求和”的簡便算法的探究與圖式變換之間的比較，形成數形結合的思維習慣？如何淡化數學形式化思維，讓學生從數學的本質出發理解解題的思路？出于對以上問題的思考，我們基于二下年級學生的學習基礎，開展把等差數列求和轉化為三角形點子圖的研究。具體安排以下三個教學環節。

（一）經歷從“等差數列”的現實模型到圖式模型再到數學表達的過程

1.引入主題：看照片回憶周日愉快的親子活動（掰玉米、摘黃瓜）。然后出示下面圖片。

2.引導觀察：說一說它們是怎么擺放的？

3.指導概括：能用最簡潔的符號把這些形狀描述下來嗎？

通過以上三個層次的引導，形成以下數學抽象的過程。

（二）探索從數學計算到圖式變換再到數形結合的歷程

1.提出問題，自主探究：一共有多少個點子？

2.交流匯報，理清思路。

1+2+3+4+5+6=（1+6）+（2+5）+（3+4）=7×3=21

（三）經歷從變式練習到特征比較再到拓展練習的進程

弗賴登塔爾曾明確指出:“毫無疑問學生也應該學習數學化，當然從最低的層次開始，也就是先從非數學內容進行數學化，以保證數學的應用性，同時還應該進到下一層次，即至少能對數學內容進行局部組織。”以上三個環節的教學設計，體現了弗賴登塔爾的這一數學教學思想。由此，我們在對如“數列”這樣一些高度抽象的數學化材料的處理上，不能只囿于數學公式的推理，而應該從更普遍意義上來理解，即如何讓學生經歷數學思維的全過程。

二、等比數列——進一步感受數學化的過程

不熟悉“幾何級數”的變化特點，茫然地做出承諾，就會釀成大錯，這樣的事例，我們可以從一些數學科普讀物中找到，如下面列舉的“達依爾的麥子”就是一個很好的教學材料。

相傳古印度人達依爾發明了國際象棋而使當朝的國王十分開心，國王便決定重賞他。

“我不要您的重賞，陛下。”達依爾接著說，“我只要您能在我的棋盤上賞些麥子：在第一格放一粒，第二格放2粒，第三格放4粒，以后每格放的麥粒都比它前面一格多一倍，我只求能放滿64格就行了。”

“區區小數，幾粒麥子，這有何難，……”國王未加思考立即允道。

有句話叫作“君無戲言”。如果國王的賞賜真的要實現，那么就算國王傾全國的財富，也滿足不了對達依爾的賞賜。

對于這樣一則數學故事，如果將其轉化成教學過程，把目標停留于求解，那么就變得太難了，對于六年級的小學生來說不免顯得力不從心，也沒有必要。但如果除去這種純粹難度外，這里包含著太多的數學化的過程。如果從這個角度來思考，等比數列的教學目標不只是為了求出問題的解，而是在求問題解的過程中，經歷數學化的過程。

（一）從數的表達到式的表達

小學計算中一般以數為基本單位，因此由題意可以分析得出每格中所放的麥子數依次為1，2，4，8，16，32……一直到第64格上放的麥子數這樣一組等比數列。這樣的表示方法可以讓人明顯地感受到數的大小變化，但是越往后數的位數越來越多，書寫越來越不方便。能否用更簡捷的方法來表示結果？從分析數的特征入手，從4開始，每個數都可以表示成若干個2相乘的形式。如下圖。

這個規律可以有兩種表達，即用乘法的形式表示和用冪的形式表示。通過以上三種表示每格中麥子數的方法的比較，既可以發現它們之間的聯系，更可以體會到數學表達的優化過程。

誠然，對于六年級的小學生來說，也只學到平方數與立方數的表達，對于如63個2相乘的運算用冪的形式來表示，還是很陌生。但是，如果我們能運用遷移的思路，讓學生理解平方數與立方數的基本結構，類比“乘方”這種運算形式簡寫式an,也是可以實現的。

（二）從按運算順序直接計算到用遞推法找規律簡算

在計算其結果時，一般我們用邏輯推理的形式來進行教學。

設：達依爾得到的麥子數為S，那么S＝1+2+22+23+……+263,2S=2+22+23+……+264。

S＝2S－S＝264-1。

得到S=264-1之后，再借助于計算器計算出具體的得數。

方法一：在原有的式子前加上1變為：1+1+2+22+23+……+263=264，所以原式可以簡寫成264-1。

方法二：用遞推法找到和的變化規律。

1+2=1+2=3

1+2+22=1+2+4=7

1+2+22+23=1+2+4+8=15

1+2+22+23+24=1+2+4+8+16=31

……

從以上列舉中發現，“前幾項的和等于后一項的數減1”，所以棋盤上64格上的麥粒數的和等于第65格上的麥粒數減1，即264-1。

就數學思維而言，以上解決問題的形式是一種數學演算的過程，是解決等比數列的一種解題過程。如果從方法論的角度來思考，解決這一個問題可以用方法一、方法二進行簡化計算。

以上三種方法，從計算的簡捷性來看，當然是前兩種方法更加優越，但從小學生的可接受性來說，方法二更好。因此，在實際教學中我們要引導學生用方法二來思考。

可以直接提出要求：現在請同學們計算出結果。1分鐘之后，請學生匯報計算情況，從學生的匯報中得到方法二中的學習材料，再組織學生討論。

（三）從計算出結果到感受大數

最后結果的計算，可以借助于計算器。這些麥粒的總數為 1+2+22+23+……+263=264-1=18446744073709551615粒。

一個20位數，這么多麥粒究竟有多少？光看這個數，可能并不能感受到有多少。就如我們人的聽覺，當聲音的頻率過高與過低時都不可能聽清楚一樣，當一個數過大或過小時，我們也不可以用具體的表象進行感知。

那么，如何讓學生感知到這個數的大小？

方法一是把單位變大，如20000粒左右的麥子大約是1千克，那么一噸麥子就是20000000粒，這樣一除，18446744073709551615粒麥子大致上是922 327 203 685噸。

第二種方法是進行形象化的描述，也就是說大約需要九千二百二十三億噸麥子才能滿足達依爾的要求。這大約是全球兩千年所產小麥的總量。

這讓區區一個印度國王如何賞得起呢？

三、斐波那契數列——培養學生的數學反思習慣

在數學史料中，有許多數學家編制過數學題，其中有一些題目，如果從自然現象與自然規律來看，是不符合客觀規律的，甚至是十分荒唐的，如“雞兔同籠”問題，雞和兔關在同一個籠子里，這是不合常理的。那么數學家為什么要編制這樣的題目，其真正的價值是怎樣的？我們可以從對斐波那契數列的分析中找到答案。

假定一對剛出生的小兔一個月后就能長成大兔，再過一個月便能生下一對小兔，并且此后每個月都生一對小兔。一年內沒有發生死亡，問一對剛出生的兔子，一年內能繁殖多少對兔子？

如果從生物學的角度來看待這個問題，這是一件十分荒唐的事情，小兔子一個月后并不能變成大兔，母兔一般一次可以生育5～6只小兔。總之，兔子不會按斐波那契所說的這樣有規律地生長與生育。這也正是這道名題受到人們質疑的原因，因為它所展現的情境不符合實際。

如果從數學的角度來講，問題情境有兩個用途，一是體現數學的實用價值，二是為數學知識構建一個現實原型。當然兩者能夠兼顧更好。斐波那契數列中的問題情境，顯然是后者。數學家編制這樣一個問題，是讓解題者感受到，在解決紛繁復雜的問題時，如果能找到規律，就可以根據規律進行推理。斐波那契數列的教學價值就在于此。

下面是我們設計的教學過程。

1.理解題意，獨立解答。

教師談話引入題目，請學生讀題，說說題目的意思。然后請學生獨立解答。

2.交流方法，發現規律。

一般學生會有以下三種基本思路。

（1）圖示法

我們用◎表示一對大兔，用○表示一對小兔，逐月統計兔子的對數：

第1月底

第2月底

第3月底

第4月底

第5月底

第6月

……

（2）列表法

小兔大兔合計1月 1 1 2月 1 1 3月 1 1 2 4月 1 2 3 5月6月7月8月9月10月11月12月

（3）列舉法

一月，只有1對小兔，大兔為0對，合計1對；

二月，1對小兔長成1對大兔，小兔變為0對，大兔1對，合計1對；

依此類推：

三月：小兔有1對；大兔有1對；合計1+1=2（對）；

……

不論用哪一種方法，只要花時間，學生均可以推導出最后的結果。但這并不是本題在小學教學中的真正用意。本題的真實用意應該是培養學生的反思意識，能從前幾個月結果之間的關系，發現規律。

因此，可以讓學生解決到中途，或有個別學生解答出結果時，讓學生停一停，反思自己已知的結果，從中找一找規律。如果發現了規律，可以根據規律推導出下一個結果，并用原來的方法進行驗證。這是解決問題時很重要的思維習慣。通過觀察學生找到了規律：

第三個數起，后一個數都是前兩個數的和。即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……

為了紀念這位數學家，這個數列后來便以斐波那契的名字命名，叫作斐波那契數列。數列的每一項，則稱為“斐波那契數”。第十二位的斐波那契數，即為一對剛出生的小兔，一年內所能繁殖的兔子的對數，這個數為144。前面的幾個斐波那契數分別是1，1，2，3，5，8，13，21，34……

3.聯系自然，感受神奇。

接著可以結合圖示向學生展示自然界中的斐波那契數。

斐波那契數列在它誕生的近800年間，由于它的神奇，引來無數的“斐迷”，驅使他們不僅在數學領域研究它，更有人從自然領域、化學領域和科學領域去探究它的奇妙。

綜合以上的思考與教學，當我們在指導學生進行課外閱讀或進行數學課外延伸教學的時候，不要只是從知識的層面來看某些內容可用還是不可用，而要深入到其中的思維層面，看其是否能促進學生的思維發展。