在整合中合理拓展，讓思維走向多維
——人教版二下“推理”拓展教學實踐與思考

□ 李國娟

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式?！蓖评砟芰σ彩菍W生所應具備的核心素養之一。人教版教材二年級下冊“數學廣角”專門安排了以“推理”為主題的學習內容，教材設計了例1與例2兩個例題、兩次“做一做”與一次練習，篇幅雖不多，卻承載著培養與提升學生推理能力的重任。但一線教師在執教過程中總會有撲朔迷離的感覺，那么在教學中會遇到哪些問題？如何通過教學培養學生的推理能力？我們從整合與拓展的角度作了拓展嘗試，讓學生的思維從一維走向多維。

一、“推理”一課教學現狀剖析

（一）兩例割裂教學，弱化思維提升

在現實教學中，90%的低段教師沒有將例1和例2兩個例題聯系在一起教學，他們認為是孤立分開的，沒有將兩者打通，就題依題進行教學，所以學生的思維是支離破碎的，無法舉一反三。更值得注意的是低段數學教師多是語數包班，他們本身就存在思維的單一以及在教學中多維思維的缺失等問題。如教學“例1有語文、數學和品德與生活三本書，下面三人各拿一本。小剛拿的是什么書？小麗呢？”絕大部分教師喜歡用語言描述推理過程；也有教師考慮到二年級學生年齡較小，光用語言表達不夠直觀，會借助連線表示；只有小部分教師鼓勵學生利用表格行和列的分析幫助學生推理，認識到這種方法不僅直觀，還能使每位學生的推理過程更加清晰。但即便使用了“列表法”，教師并不知道將例1（選言推理）和例2（數獨）打通的最好方法是“列表法”，從而讓學生的思維從一維上升到二維。

（二）思維方式僵化，無法舉一反三

在一次數學拓展課程實踐專題研討會上，出示：在下面的方格中，每行、每列都有1～3這三個數，并且每個數在每行、每列中都只出現一次。A應該是幾？怎樣填？用什么方法？指名某老師（低段數學老師）答：第一行第二個空格數是2，因為第一行應該是1、2、3三個數，現在已經有1、3兩個數了；也可以抓住第三列第二個空格數是1……抓住一行一列中都有兩個不同的數；也就是在“3×3”的填數中，思考經驗為：每行每列上出現兩個不同的數，就能填出第三個數。用找準突破口的經驗進行解決問題時，盡管同行、同列中數字的特點注意起來了，但是思維還是停留在一維，沒有從行與列交叉處進行思考，如第一列與第三行交叉的格子可以填3（第一列與第三行交叉處這個思考突破口一下子找不出來），我們教師的思維也沒跳出來……所以必須抓住第一節課例1的列表法分析，讓教師有這方面的意識，因為思維力的提升是最重要的。

更有許多教師不知道“列表法”與“數獨”在“方格、行、列”等組成元素上是相通的；它們在解題方法上都采用“排除法”，可謂是形似神更似，有些教師愈加不領會。

二、拓展教學的理念與嘗試

（一）教學理念：注重思維積累，立足從一維走向多維

一維思維，是一種直線的、單向的、單維的、缺乏變化的思維方式，即把認識停留在對事物的抽象而不是本質的抽象，并以這樣的抽象為認識出發點的、直線直觀的思維方式。盡管線性思維點狀化、碎片化，但小學生學習數學的起始階段這個基礎還是要打扎實的。因為把思維過程用線性來進行描述，目的就是為了使原本抽象的思維過程變得更為形象可感，從而使思路更加清晰，使思維更加開闊、更加靈活，再經過長時間的鍛煉，進而培養出更為良好的思維習慣，增強思維能力。

而塊狀思維則是抓住問題的框架結構，形成可以整體遷移的立體的塊狀思維，以過程思維塊、結構思維塊、整體思維塊呈現的。

基于教材的相通性、解題方法的一致性以及師生的思維現狀，有必要增加思維訓練，讓師生共同成長、發展。于是，我們對教材例1、例2進行了改編，并增設了例3的教學素材。

（二）教學嘗試

1.拓展“例1”，滲透列表法推理，初悟思考維度拓展。

（1）教材拓展

上圖是原“例1”改編之后的拓展教材，它對原教材中選言、連線的方法進行拓展，在編寫時添上了“小精靈推薦的一種列表法”,并在小紅這一行、語文這一列交叉的地方打了一個“√”，目的是為讓一部分學生能拓寬思維維度。

這樣的教材，學生馬上能體驗到：肯定一項能否定多項，那么，小紅這一行、數學這一列交叉的地方只能打“×”；同理：小紅不拿品德與生活書以及小麗、小剛不能拿語文書……

（2）教學嘗試

?一、游戲教 教 教教教 導學 學 學學學 入內 目 重難環 ，容 標 點點節揭示主題“12學 對1學老師老2..唯..初通小出習 表 不師兩師一步結過 用 格上示上門各”學：對推 表 行什語游學上 什教習表斷 格 與么文戲科一 么師用格 法 列課課：“，門 叫行表“李行 進 的 。有 學為”格推與 行描 老猜語 科法理列 推述 師一文 ，進”的 理 ， 和李猜進 、行，描數方老方進 行推二 述 行有理思達 同驗下 ， 有序幫思什考桌列序 推助考么表互并思 理學過叫法說用“考“生程推，推推通有因理學理理（ 條過為生”自 理分…行編 地享…為拓 進思所展 行考以課 推過…程 理程…教 敘”，材表體述） ，激過使培學用活養生語學學理言生生教解表有線學“述序意性 推推思圖理思理考”維過，。進程行通，

續表

將所有已知信息與推理結果呈現在一張表上時，再讓學生看看表中信息，進行交流時，就很方便了，如李老師不上語文課，就上數學課；也可以知道方老師上語文課，無形之中將行與列“二維”思維滲透在這里面了，并且感受到了信息與結論的清楚、明白又簡潔。讓所有學生眼前一亮，立馬喜歡上了“表格法”推理。表格呈現信息形象、直觀，為培養學生捕捉信息的能力以及語言表達的能力都帶來便捷。

李老師方老師語文× √數學√ ×

2.改編“例2”，引入數獨法推理，經歷多維度思維。

（1）教材改編

本例是基于“列表法推理”的基礎上進行創編，通過幾個小朋友想象、創造將表格改變成數獨的雛形，經歷解決“表格中的A是幾”這一游戲，使學生的思維有所提升。

為了能夠讓學生更清楚地表達表格中的某一個格，采用微課的形式，向學生介紹如何去表達以及介紹數獨的起源，而本節課的重點在于讓學生的思維得到提升，所以，在教學時不要忙于讓學生去解決表格中的A是幾，而是讓學生能夠找到突破口，即第一次能填出哪幾個數。

（2）教學嘗試

這節課以承接例1的表格展開，呈現例1課尾的表格。在這張表格中是帶有表頭的，即“姓名”與“書本名”。接著教師借“優秀學生”的作品呈現出簡化后的表格供學生欣賞，引導學生發現其特殊之處，構建“數獨”雛形，為打通“例1”與“例2”教學奠基。將“例1”的表格去除表頭、改“√”“×”為數字，即成“數獨”，水到渠成。

?教學內容 二下自編教材——3×3數獨1.初步學習用數獨法進行推理，獲得一些簡單推理的經驗教學目標2.通過對空格行與列的描述，找到第一次能解決的空格即解題的突破口，培養學生有序地全面思考問題的能力教學重點 學習用數獨法進行推理，進行有序思考推理教學難點 數獨法推理依據的敘述，進行有序思考推理教學環節 教師行為 學生行為 教學意圖一、復習導入（一）復習表格法 出示上節課研究成果——表 讀表、交流 將學生思維聚集到行與列格。引導學生觀察、讀表 的交叉處抓住“小紅拿了語文書”這一（二）復習列表推理的方法 個信息就可以推理出什么？ 交流，復習列表法推理 為引出“數獨”鋪墊提出：若第三行第三列交叉的地方是空格，該怎樣推理？二、新授知識1.出示表格（一）初步感知數獨，揭示欣賞，發現表格變化之處 感悟“數獨”雛形主題2.介紹“數獨” 通過對“數”與“獨”的釋義，神奇的數字，每行每列都只能 理解“數獨”的規則 幫助學生理解“數獨”的出現一次，這就是“獨”的意思 規則——數獨出示例題： 讀題：每行、每列都有1～3（二）學生嘗試數獨法推理這每次。三行A個、應每數該列，并是都且幾只每 ？出個 四現數 人在一小核心問題引領學生思考第一次抓住哪個空格作為解 組交流題突破口?為什么?以“小老師”的身份匯報： “小老師”與“學生”間的互（1）第一行與第二列交叉 動，通過質疑、追問等手段誰愿意上來做小老師說一說?的空格 幫助學生理解解決數獨問除了從這個空格可以開始研（2）第二行與第三列交叉 題的一般方法與特殊方法，究之外，還有沒有別的空格可 的空格 將學生的思維從一維引向以第一時間開始研究的?（3）第三行與第一列交叉 多維。通過討論，讓學生獲引導學生把行和列連在一起 的空格 得“推理時在行和列中找到觀察 重點交流：第一列已有1，兩個數字，就可以把空格推（三）學生交流想法 第三行已有2，所以交叉的 理出來”的體驗，拓展思維空格是3維度通過比較，讓學生認識到前剛剛這個數獨出來的時候你 一次（僅依據某一行或某一在填，現在你又在填，前后兩 體會在解決數獨問題過程 列）與后一次（同時關注某次填寫有沒有不一樣?哪里不 中前后發生的變化 一行與某一列）兩種思維的一樣？ 變化，幫助學生積累解決問題的經驗，同時進一步激發解決新問題的興趣我們是怎樣思考的？我們如何 讓學生也能體悟到“這跟我（四）回訪數獨法推理的過 去找第一次下手的空格？我 回憶根據兩個數推理出剩 們第一節課研究的方法是程及方法 們要去找幾個數字？ 余的一個數的思考過程 一樣的”，這樣就把例1與例2兩個例題打通了

“第一次抓住哪個空格?為什么以此作為解題突破口？”教師循循善誘，以這二問為核心問題統領后續教學，扎實有效地開展數獨教學，“小老師”匯報時抓住“第三行與第一列交叉的空格”這一思考核心，不斷將學生的思維從“一維”引向“多維”。

3.創編“例3”，引入“宮”的教學，提升思維品質。

（1）創編新例題“宮”

宮：由一組被粗線劃分的2×2格子圍成的區域，用中文數字區分它們的位置，如一宮；

用1～4這4個數字填入以上的方格中，使每一行、每一列、每一宮都有1～4這4個數字，且不重復，B是幾？并把四宮數獨填完整。

本例是讓學生在了解了數獨游戲的規則和常用名詞（行、列、格）后，在學生原有經驗的基礎上，全面觀察線索，尋找突破口，引導學生重視“宮”，形成塊狀思維，即只要行、列和宮出現三個不同的數，就能找到“突破口“，從而展開高效的推理過程。這樣就使學生的思維更多維，解決數獨游戲更簡單，激起學生進一步解決數學問題的欲望。

（2）教學嘗試

教學內容教學目標二下自編教材——四宮數獨1.借助四宮數獨，讓學生認識和了解數獨行、列、宮的基本情況2.通過練習，讓學生了解數獨宮的游戲規則，會用規則來進行推理

續表

如果說“例2”的教學，學生在思考數獨問題時大多是依據“行”與“列”數字的特點，仍有停留在“線性思維”之嫌的話，創編“宮”這一例題并實施教學，則推陳出新，可謂引導學生邁向“多維思維”的利器。

教學之初，學生依舊緊緊抓住“行”與“列”來思考解決問題的突破口。為讓學生感悟“宮”的塊狀思維，教師先讓學生通過“摸一摸”“看一看”“選一選”，初步認識“宮”，并將學生的視線慢慢引向盯住“宮”內數字特點不放松，從而使學生的思維聚焦于“宮”，實現“線性思維”邁向“多維思維”的跨越，達成共識后又緊鑼密鼓地引導學生依據“宮”內數字的特點嘗試“數獨”問題的新解法，積累學生解決“數獨問題”的經驗，提升與拓展思維的深度與廣度。

三、“推理”一課拓展教學的價值與反思

（一）用“打通”的眼光妥善處理例1與例2的教學

看似迥異的兩個例題實則“貌離神合”?！袄?”的選言推理與“例2”的數獨法推理看上去是兩個獨立的例題，一個側重解決生活問題，另一個是純粹的數學問題，但“列表法”與“數獨法”在“方格、行、列”等組成元素上是相通的；它們在解題方法上都采用“排除法”，而引入“數獨”，則順利搭建了打通例題間教學的橋梁，促思維教學潤物無聲，進一步突顯了“數學廣角”的教學價值。

為了打通例1與例2，拓展教學分三步走。

（1）開課就出示例1研究后形成的表格，并要求學生仔細觀察表格，找到哪些信息？表格中的小紅拿語文書，小麗拿品德書，小剛拿數學書，三人各拿一本書，與題意吻合；為等會兒的“每行每列1～3只能出現一次”打下伏筆。

（2）將第三行第三列交叉處隱去，可以根據表格中的經驗推理出來嗎？為什么？為引出“行和列已有兩個數字，推理空格是（？）”做好認知上的準備。

（3）將表格“演變”成格子以及將標記符號再繼續“演變”成行和列9個空格；如果在空格中填上一些有趣的數字就可以進行思維訓練了……在這里完成了“表格”與“數獨”組成元素的相通性，都有格、行與列；當然隨著課堂的深入，讓學生感悟到解題方法的一致性，即均用“排除法”。

（二）從“整合”的角度實現學生思維“維度”的拓展

思維按其廣度與深度來說具有多個維度，思維的多維性是指能靈活地運用不同的形式和方法,從不同角度去思考問題。多維是敏捷、準確、創造的保證,培養思維的多維性對培養學生優良的思維品質具有核心意義。

此次拓展教學，通過改編與創編例題，借數獨穿針引線，將培養學生的推理能力與提升學生的思維維度整合在一起。

如何讓學生的思維由“線性思維”上升到“塊狀思維”，是整合教學中需要關注的重點之一；講究方式方法達到自覺過渡，就能增強學生的思維體驗，從而實現學生思維的多維性。

如右圖，教師要求學生獨立思考，第一次找到解題突破口的空格是哪一個？理由是什么？先獨立思考后與同桌交流再全班指名小老師上臺與大家分享，在分享的過程中，讓學生經歷“宮”的塊狀思維，并感受到塊狀思維帶來的優勢，從而積累如下思考經驗：①找到數字最多的“宮”；②兼顧行與列的數字特點；③利用排除法，B填2或3；④一下子就確定“宮”內數字，B為2。

通過此次對“推理”一單元的拓展教學，不僅提升了學生的思維品質，使學生思維更敏捷、更靈活、更高效；同時也轉變了教師的教學觀念：多揣摩編者的意圖，不斷地用“打通”“整合”的眼光審視教材，讓學生越來越聰明，這必定是每位教師努力追求的目標。