基于廣義最小二乘法的趨勢季節(jié)調(diào)整模型的構(gòu)建

董彥彥，邱祎

（1.鄭州大學(xué)體育學(xué)院，鄭州450044；2.河南財(cái)政金融學(xué)院學(xué)生處，鄭州451464）

0　引言

含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身是對周期性波動的數(shù)據(jù)和變量進(jìn)行觀察，并且對未來的變化進(jìn)行判斷的常見方法，但是由于這種方法本身將導(dǎo)致自回歸問題的出現(xiàn)，因此其預(yù)測結(jié)果往往存在方差較大，估計(jì)結(jié)果和真實(shí)結(jié)果之間存在著嚴(yán)重偏離的問題。該問題的產(chǎn)生根源在于觀測值之間存在的自相關(guān)問題，立足于自相關(guān)問題的檢驗(yàn)和解決方法，將可以對趨勢預(yù)測值進(jìn)行調(diào)整，并在繼續(xù)利用季節(jié)調(diào)整指數(shù)的前提下，對數(shù)據(jù)的趨勢性預(yù)測起到幫助作用。

1　含趨勢季節(jié)調(diào)整模型及其缺陷

包含趨勢的季節(jié)調(diào)整模型在經(jīng)濟(jì)管理活動當(dāng)中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。這一方法當(dāng)中包含著一元線性回歸的基本思想，也包含著季節(jié)調(diào)整指數(shù)的基本范疇。以時(shí)間作為解釋變量，以觀察值和預(yù)測值作為被解釋變量，做出線性回歸，并且計(jì)算觀測值和回歸值之間的變差并且通過這種變差的平均水平作為預(yù)測的依據(jù)是這一模型本身的核心內(nèi)容。但是僅以時(shí)間為變量進(jìn)行線性回歸的思路本身就包含著觀測值出現(xiàn)自回歸以及自回歸所帶來的方差變大問題的可能，從而導(dǎo)致整個(gè)預(yù)測結(jié)果的無效性。

1．1　含趨勢季節(jié)調(diào)整模型簡介

含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的應(yīng)用前提是模型本身呈現(xiàn)出一種周期性變化的特征，但是該模型的應(yīng)用對象必須是具有趨勢性的上升或者下降特點(diǎn)的數(shù)據(jù)。該模型首先要求以時(shí)間作為解釋變量，對作為被解釋變量的觀測值進(jìn)行一元線性回歸分析：

使用最小二乘法，可以輕易的推導(dǎo)出這一模型當(dāng)中的參數(shù)估計(jì)值：

根據(jù)參數(shù)估計(jì)值，可以較為輕易的得到觀測值所對應(yīng)的估計(jì)值：

由此可得觀測值和趨勢估計(jì)值之間的偏差：

在此基礎(chǔ)之上，可以求得處于各個(gè)不同周期的同一階段的變差的平均值：

但是該模型當(dāng)中的時(shí)間變量往往并直接代入具體的年份和月份，而將時(shí)間點(diǎn)按照先后順序進(jìn)行排序，直接將序號代入到模型的估計(jì)當(dāng)中。

1．2　含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的缺陷

含趨勢季節(jié)調(diào)整模型存在著多方面的問題，在傳統(tǒng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究當(dāng)中，對參數(shù)估計(jì)值要求其具有線性性、無偏性和最小方差性等內(nèi)在特征。這些內(nèi)在特征當(dāng)中，線性性根據(jù)模型的函數(shù)形式觀察即可發(fā)現(xiàn)可以得到滿足，因此對其無偏性和最小方差性應(yīng)當(dāng)進(jìn)行一定的考察。

無偏性的含義是參數(shù)估計(jì)值的平均值應(yīng)當(dāng)同真實(shí)值保持相等，其前提假設(shè)在于觀測值本身符合狹義最小二乘法要求的期望值為零的預(yù)定條件。對此，可以進(jìn)行如下論證：

由此可得，根據(jù)含趨勢季節(jié)調(diào)整模型計(jì)算而得參數(shù)估計(jì)結(jié)果，具有無偏性。

關(guān)于最小方差性的判斷可以通過如下推導(dǎo)加以驗(yàn)證：

在不同時(shí)間節(jié)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)之間存在著相互影響的自相關(guān)關(guān)系的情況下，Cov(u,ui)將不會為零，在此時(shí)，整個(gè)參數(shù)估計(jì)值的方差會具有和自變量之間的函數(shù)關(guān)系，自變量數(shù)量的增加，將直接導(dǎo)致整個(gè)參數(shù)估計(jì)值的方差存在一種數(shù)量上的增減關(guān)系，由此，參數(shù)估計(jì)值的方差大小不會穩(wěn)定的作為一個(gè)定制存在，伴隨著樣本數(shù)量的增多，參數(shù)估計(jì)值的方差將會逐步增大，進(jìn)而給整個(gè)估計(jì)帶來誤差逐步增大的問題。這一問題的最終結(jié)果就是參數(shù)估計(jì)值的無效性。

含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身非常容易導(dǎo)致自相關(guān)問題的產(chǎn)生。因?yàn)楹厔菁竟?jié)調(diào)整模型主要依賴以時(shí)間為解釋變量，以觀測值為被解釋變量的一元線性回歸模型，這一模型限定了整個(gè)模型的數(shù)學(xué)形式的多樣性，錯(cuò)誤的設(shè)置數(shù)學(xué)形式將直接導(dǎo)致自回歸問題的發(fā)生。與此同時(shí)，含趨勢季節(jié)調(diào)整模型能夠很好的將不同時(shí)間點(diǎn)上的數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系囊括到自己解釋的范疇當(dāng)中。在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域，趨勢預(yù)測本身就隱含著不同時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)之間在一定的慣性和相關(guān)性的制約之下，呈現(xiàn)出穩(wěn)定的增長或者下降趨勢的問題。這將會直接導(dǎo)致含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的各個(gè)觀測值之間存在變量內(nèi)部的相互關(guān)系。在一些經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域，一種趨勢的產(chǎn)生可能較短時(shí)間內(nèi)難以受到其他因素的影響，因此具有強(qiáng)大的慣性。以固定資產(chǎn)投資為例，一旦一種固定資產(chǎn)投資決策做出，企業(yè)就必然面臨著固定資產(chǎn)的回收期較長，在一定的時(shí)間內(nèi)，這種追加投資不會伴隨著企業(yè)的經(jīng)營環(huán)境的短時(shí)間的改變而改變，從而造成觀測到的數(shù)據(jù)非常依賴前一期的數(shù)據(jù)而不是模型的外生變量，從而給模型帶來了嚴(yán)重的自相關(guān)問題。

與此同時(shí)，含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身包含著比較嚴(yán)重的解釋變量偏少的問題。這本身也造成自相關(guān)問題的潛在發(fā)生的可能性的存在。趨勢性預(yù)測的應(yīng)用本身說明研究者本身難以對影響觀測變量的所有解釋變量進(jìn)行系統(tǒng)性的把握，因此只能通過趨勢形態(tài)的變動進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測，那么模型本身的隨機(jī)干擾項(xiàng)就會產(chǎn)生異常的波動狀況，從而產(chǎn)生自相關(guān)和參數(shù)估計(jì)值不平穩(wěn)的問題。

2　廣義最小二乘法應(yīng)用于含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的前提條件

經(jīng)過前文的分析，含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身容易產(chǎn)生自相關(guān)的問題，并且最終導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)值由于方差伴隨解釋變量的增加而放大的問題而偏離于真實(shí)值，從而造成模型本身的失效。因此，本文將通過解決自回歸問題，使用廣義最小二乘法的方法對模型進(jìn)行調(diào)整和重新構(gòu)建。但是這種構(gòu)建工作的前提在于含趨勢季節(jié)調(diào)整模型確實(shí)存在自相關(guān)問題。因此本文首先提出對自相關(guān)問題的檢驗(yàn)方法，以此作為基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的構(gòu)建基礎(chǔ)。

首先，使用假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法，應(yīng)當(dāng)對存在自相關(guān)問題的情況提出假設(shè)如下：

做出這一假設(shè)的出發(fā)點(diǎn)在于，一旦出自相關(guān)狀況，則不同階段的隨機(jī)干擾項(xiàng)ui之間將存在如下的函數(shù)關(guān)系形式：

只有符合原假設(shè)時(shí)，整個(gè)自回歸問題才會并不存在。

在此基礎(chǔ)之上，可以給出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

值得強(qiáng)調(diào)的是，此處的R2并不是原回歸模型=a+t的判斷系數(shù)，因?yàn)樵匠痰呐袛嘞禂?shù)值的大小僅僅能說明擬合結(jié)果相對于真實(shí)值之間的解釋程度。此處的R2是如下方程的判斷系數(shù)：

該假設(shè)檢驗(yàn)過程的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)是χ2(n)，由于該統(tǒng)計(jì)量客觀上符合χ2分布，因此其置信水平一定的情況下，應(yīng)當(dāng)以需要檢驗(yàn)的自回歸的階數(shù)作為選擇判斷的臨界值的標(biāo)準(zhǔn)。該檢驗(yàn)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的右單側(cè)檢驗(yàn)，因此僅選擇一個(gè)臨界值。

該檢驗(yàn)的判斷標(biāo)準(zhǔn)為當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量TR2小于臨界值χ2(n)的情況下，則接受原假設(shè)，如果統(tǒng)計(jì)量TR2的計(jì)算結(jié)果超過臨界值χ2(n)則接受原假設(shè)。一旦接受原假設(shè)，則可以判斷含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身并不存在自回歸問題，則并不需要構(gòu)建起廣義最小二乘模型，從而對原有的模型進(jìn)行調(diào)整，如果拒絕原假設(shè)，則需要采用一定的方法解決自回歸問題所產(chǎn)生的影響，從而避免自回歸帶來的參數(shù)估計(jì)失真的問題。

3　基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型改進(jìn)

經(jīng)過上文的分析，含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的問題和檢驗(yàn)方法已經(jīng)得到了探討，對含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的自回歸問題的檢驗(yàn)是基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的構(gòu)建前提。在此背景之下，本文將構(gòu)建相應(yīng)的方法，在發(fā)揮季節(jié)指數(shù)法的長出的同時(shí)，避免含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的自回歸問題所產(chǎn)生的估計(jì)失真的問題。

首先，在經(jīng)過檢驗(yàn)，模型當(dāng)中確實(shí)存在自相關(guān)問題之后，應(yīng)當(dāng)首先確定自回歸的階數(shù)和不同隨機(jī)干擾項(xiàng)之間的線性關(guān)系的參數(shù)的大小。對此，可以使用DW統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算自回歸系數(shù)的大小：

其次，在得出自回歸系數(shù)的數(shù)值之后，對原模型進(jìn)行廣義差分變換：

由此可得：

此時(shí)，整個(gè)模型當(dāng)中的被解釋變量、解釋變量乃至于參數(shù)的含義都將發(fā)生改變。被解釋變量當(dāng)中，-i-1將會獨(dú)立的作為被解釋變量，其含義為在觀測值在一定自回歸關(guān)系制約之下的增量，可以將其簡稱為自回歸增量。而解釋變量(t-ti-1)則可以作為在一定自回歸關(guān)系制約之下的時(shí)間跨度而存在。對于這一模型的估計(jì)，可以在直接進(jìn)行變量替換的前提之下，使用最小二乘法。其參數(shù)估計(jì)的表達(dá)式如下：

由于Cov(v,vi)=0，該模型將直接具有無偏性和最小方差性，從而獲得統(tǒng)計(jì)意義上的有效性。在此基礎(chǔ)之上，對原模型可以進(jìn)行如下修正：

由此可得觀測值和趨勢估計(jì)值之間的偏差：

在此基礎(chǔ)之上，可以求得處于各個(gè)不同周期的同一階段的變差的平均值：

并且根據(jù)這一平均值可以求得估計(jì)值：

由于這一模型需要對原函數(shù)進(jìn)行還原，并且在廣義差分變化的背景下，估計(jì)值將相對于真實(shí)值存在一定的數(shù)量上的增減，因此該模型的主要適用范圍是具有更大的數(shù)據(jù)樣本空間的觀測值得預(yù)測。此時(shí)，參數(shù)估計(jì)值本身的含義也將發(fā)生變化，這一數(shù)值將不僅反應(yīng)時(shí)間的變化和被觀測值之間的一元線性函數(shù)關(guān)系，也反映出來被觀測值的增量和時(shí)間的增量之間的對應(yīng)關(guān)系。因此，此時(shí)擬合產(chǎn)生的參數(shù)估計(jì)值可以用于對彈性的計(jì)算。這在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域具有重要意義。

與此同時(shí)，使用本文構(gòu)建的基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型，將可以不必對時(shí)間變量進(jìn)行全新的排序和標(biāo)記，由于模型本身計(jì)算的時(shí)間的增量，將原有的年份、月份和季度等變量直接帶入到模型當(dāng)中，也并不妨礙模型的估計(jì)。這將最終降低使用者的應(yīng)用難度和在數(shù)據(jù)處理方面所花費(fèi)的時(shí)間和精力。

4　結(jié)論

以時(shí)間作為解釋變量，以觀察值和預(yù)測值作為被解釋變量，做出線性回歸，并且計(jì)算觀測值和回歸值之間的變差并且通過這種變差的平均水平作為預(yù)測的依據(jù)是這一模型本身的核心內(nèi)容。這一模型限定了整個(gè)模型的數(shù)學(xué)形式的多樣性，錯(cuò)誤的設(shè)置數(shù)學(xué)形式將直接導(dǎo)致自回歸問題的發(fā)生。趨勢預(yù)測本身就隱含著不同時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)之間在一定的慣性和相關(guān)性的制約之下，呈現(xiàn)出穩(wěn)定的增長或者下降趨勢的問題。含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身包含著比較嚴(yán)重的解釋變量偏少的問題。因此，含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身非常容易導(dǎo)致自相關(guān)問題的產(chǎn)生。

本文首先提出對自相關(guān)問題的檢驗(yàn)方法LM檢驗(yàn)法，以此作為基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的構(gòu)建基礎(chǔ)。在構(gòu)建基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型時(shí)，本文使用DW統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算自回歸系數(shù)的大小，在得出自回歸系數(shù)的數(shù)值之后，對原模型進(jìn)行廣義差分變換。在此基礎(chǔ)之上，可以求得處于各個(gè)不同周期同一階段的變差平均值，并且根據(jù)這一平均值可以求得估計(jì)值，估計(jì)值將相對于真實(shí)值存在一定的數(shù)值增減，因此該模型主要適用于在更大的數(shù)據(jù)樣本空間基礎(chǔ)上進(jìn)行的預(yù)測。

參考文獻(xiàn)：

[1]桂文林.季節(jié)調(diào)整與環(huán)比增長率測算最新進(jìn)展及比較[J].統(tǒng)計(jì)研究,2013,30(7).

[2]劉建平,王雨琴.季節(jié)調(diào)整方法的歷史演變及發(fā)展新趨勢[J].統(tǒng)計(jì)研究,2015,32(8).

[3]桂文林.子年度經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列季節(jié)調(diào)整模型與應(yīng)用研究[D].廣州:暨南大學(xué)博士論文,2011.

[4]張巖.結(jié)構(gòu)時(shí)間序列模型在季節(jié)調(diào)整中的理論分析與應(yīng)用研究[D].天津:南開大學(xué)博士論文,2013.

[5]賀鳳羊,劉建平.如何對中國CPI進(jìn)行季節(jié)調(diào)整——基于X-12-ARIMA方法的改進(jìn)[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2011,(5).