面板數(shù)據(jù)復(fù)合分位數(shù)回歸模型的估計(jì)

徐潔，楊宜平

（重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400067）

0　引言

目前，在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域經(jīng)常遇到面板數(shù)據(jù)，對(duì)該類(lèi)數(shù)據(jù)的研究也取得了一系列的進(jìn)展。武大勇[1]介紹了個(gè)體固定效應(yīng)模型中基于最小二乘法參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題。申敏等[2]基于面板數(shù)據(jù)對(duì)我國(guó)省級(jí)行政區(qū)企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新產(chǎn)出彈性結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。楊慧敏[3]采用混合最小二乘法對(duì)公司的股權(quán)結(jié)構(gòu)、治理以及績(jī)效進(jìn)行回歸分析等。

上述研究在建立面板數(shù)據(jù)模型分析時(shí)，均采用最小二乘回歸法估計(jì)模型中的參數(shù)。最小二乘法局限性較大，外部條件較為嚴(yán)格，如回歸模型中模型誤差項(xiàng)滿足方差相同、服從正態(tài)分布等。最小二乘估計(jì)穩(wěn)健性也較差，當(dāng)數(shù)據(jù)中存在異常點(diǎn)時(shí)，最小二乘估計(jì)可能會(huì)表現(xiàn)得很糟糕。Koenker和Bassett[4]提出的分位數(shù)回歸方法成為了最小二乘估計(jì)的有力補(bǔ)充和推廣。已有一些學(xué)者將面板數(shù)據(jù)和分位數(shù)回歸結(jié)合對(duì)變量之間的關(guān)系進(jìn)行分析。李群峰[5]以固定效應(yīng)面板模型為例，通過(guò)迭代求解估計(jì)了不同分位數(shù)回歸方程的參數(shù)并對(duì)最小二乘法同分位數(shù)回歸法做比較分析，發(fā)現(xiàn)后者不僅能測(cè)度自變量對(duì)因變量在某個(gè)特定分位數(shù)下的邊際效果，還能提高參數(shù)的顯著性。

分位數(shù)回歸提供了不同分位點(diǎn)處的估計(jì)結(jié)果，對(duì)模型假定較少且具有穩(wěn)健性等優(yōu)良統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，但其回歸系數(shù)總隨著分位數(shù)的變化而變化。能否將多個(gè)分位數(shù)回歸模型的信息綜合起來(lái)，得到回歸系數(shù)一個(gè)更有效的估計(jì)呢？Zou和Yuan[6]提出了復(fù)合分位數(shù)回歸方法，它綜合了多個(gè)分位數(shù)處的分位數(shù)回歸得出回歸系數(shù)更有效的估計(jì)。該方法既保留了分位數(shù)回歸的穩(wěn)健性，又通過(guò)復(fù)合的方式改進(jìn)了估計(jì)的效果，可以成為最小二乘估計(jì)的可靠替代。然而到目前為止還沒(méi)有文獻(xiàn)討論面板數(shù)據(jù)的復(fù)合分位數(shù)回歸，因此促使本文考慮面板數(shù)據(jù)復(fù)合分位數(shù)回歸模型。

本文考慮個(gè)體固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型，為了避免參數(shù)禍根問(wèn)題，引入一個(gè)冪等矩陣消除個(gè)體效應(yīng)項(xiàng)。然后采用Zou和Yuan[6]提出的復(fù)合分位數(shù)回歸方法估計(jì)回歸系數(shù)，并證明了其漸近性質(zhì)。

1　回歸系數(shù)估計(jì)

考慮如下面板數(shù)據(jù)個(gè)體效應(yīng)模型：

其中xit=(xit,1,xit,2,...,xit,p)T是p維外生解釋變量,Yit是響應(yīng)變量,αi是不可測(cè)量的個(gè)體效應(yīng),uit是相互獨(dú)立的模型誤差。在固定效應(yīng)模型中,要求個(gè)體效應(yīng){αi}與解釋變量{xit}是相關(guān)的，并且具有未知的相關(guān)結(jié)構(gòu)。為了模型的可識(shí)別性，假定

由于面板數(shù)據(jù)觀測(cè)個(gè)體比較多，數(shù)據(jù)容量較大。觀測(cè)個(gè)體的增多會(huì)引起估計(jì)參數(shù)αi的增多，這樣則會(huì)引起參數(shù)禍根問(wèn)題。為了避免參數(shù)αi的估計(jì)，本文引入一個(gè)冪等矩陣來(lái)消除個(gè)體效應(yīng)項(xiàng)αi。

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，令Yi=(Yi1,Yi2,...,YiT)T是T×1向量，xi=(xi1,xi2,...,xiT)T是T×P矩陣，ui=(ui1,ui2,...,uiT)T是T×1向量，eT是所有元素為1的T×1向量，則模型（1）可表示為矩陣形式：

令Q為一個(gè)T×T冪等矩陣且滿足QeT=0，在模型（2）中兩邊乘以Q得：

顯然，QeT=0有效地消除了未知的個(gè)體固體效應(yīng)αi。

滿足條件的矩陣Q并不唯一，在這里取：Q=IT-

對(duì)模型（4），采用Zou和Yuan[6]提出的復(fù)合分位數(shù)方法構(gòu)造回歸系數(shù)β的估計(jì)。

2　漸近性質(zhì)

（C2）xit具有有界支撐；

（C3）密度函數(shù)f(?)有大于零的下界，一階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)且一致有界。

定理1：如果條件C1至C3成立β0,aτk0是參數(shù)真值，則有：

證明：記β0，aτk0是參數(shù)真值，令下式的最小化解。

其中

根據(jù)Knight[7]中等式（2-13）：

因此，Ln可以表示為：

因此：

由于Ln是凸函數(shù)，有：

同時(shí)：

那么，由中心極限定理可得定理1。

3　結(jié)束語(yǔ)

本文考慮面板數(shù)據(jù)回歸模型，提出了回歸系數(shù)的復(fù)合分位數(shù)估計(jì)。在構(gòu)造估計(jì)量時(shí)，為了避免估計(jì)個(gè)體效應(yīng)項(xiàng)所帶來(lái)的維數(shù)禍根問(wèn)題，通過(guò)對(duì)面板數(shù)據(jù)回歸模型乘一個(gè)冪等矩陣消去固定效應(yīng)部分。在一些正則條件下，證明了所提出的估計(jì)量漸近于正態(tài)分布。本文提出的復(fù)合分位數(shù)估計(jì)，不僅保留了分位數(shù)回歸的優(yōu)點(diǎn)，而且還綜合了多個(gè)分位點(diǎn)的信息。

參考文獻(xiàn)：

[1]武大勇.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的面板數(shù)據(jù)模型分析[D].武漢：華中科技大學(xué)碩士論文,2006.

[2]申敏,吳和成,華海嶺.技術(shù)創(chuàng)新產(chǎn)出彈性結(jié)構(gòu)分析——基于面板數(shù)據(jù)聚類(lèi)分析和偏最小二乘回歸[J].技術(shù)經(jīng)濟(jì),2014（,1）.

[3]楊慧敏.股權(quán)結(jié)構(gòu)、公司治理與公司績(jī)效[D].天津：天津大學(xué)碩士論文,2007.

[4]Koenker R,Bassett G W.Regression Quantiles[J].Econometrica,1978（,46）.

[5]李群峰.基于分位數(shù)回歸的面板數(shù)據(jù)模型估計(jì)方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2011（,17）.

[6]Zou H,Yuan M.Composite Quantile Regression and the Oracle Model Selection Theory[J].The Annals of Statistics，2008.

[7]Knight K.Limiting Distributions forl1Regression Estimators Under General Conditions[J].The Annals of Statistics,1998（,26）.