基于廣義延拓逼近的GPS衛星信號多普勒頻移估計方法

唐青松 王兆瑞

摘 要：對并行碼相位捕獲GPS衛星信號時多普勒頻移的柵欄效應進行研究。為了減小柵欄效應的影響，提高多普勒頻移的捕獲精度，提出用廣義延拓逼近法來提高多普勒頻移的估計精度，并在不增加算法運算量的基礎上，對此方法進行優化，進一步降低了噪聲對捕獲多普勒頻移精度的影響，仿真結果驗證了該方法的有效性。

關鍵詞： 柵欄效應； 多普勒頻移； 廣義延拓逼近； GPS； 衛星信號； 捕獲精度

中圖分類號： TN911.7?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）07?0024?05

Doppler shift estimation method of GPS satellite signals

based on generalized extended approximation

TANG Qingsong1， 2， WANG Zhaorui2

（1. University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100012， China；

2. National Astronomical Observatories， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100012， China）

Abstract： The picket?fence effect of Doppler shift when the parallel code phase is utilized to capture the GPS satellite signal is studied. In order to reduce the influence of picket?fence effect and improve the acquisition precision of Doppler shift， a generalized extended approximation method is proposed to improve the estimation accuracy of Doppler shift. The method is optimized while maintaining the algorithm computation amount to further reduce the impact of noise on the acquisition accuracy of Doppler shift. The simulation results verify that the method is effective.

Keywords： picket?fence effect； Doppler shift； generalized extended approximation method； GPS； satellite signal； acquisition precision

0 引 言

為了提高計算效率，通常采用FFT算法對采樣信號的頻譜進行計算，設數據點數為[N=Tdt=Tfs，]則計算得到的離散頻率點為[X（fi）， fi=ifsN，i=0，1，2，…，N2，]這樣就只能看到頻譜的一部分，因此會使一部分有用的頻率成分被漏掉，此種現象被稱為柵欄效應。在導航信號的并行捕獲中，實際的多普勒頻移值不會恰好在信號的采樣點上，由于柵欄效應的影響，實際的多普勒頻移值會被漏過去，在對采樣信號做FFT變換時就必然會產生較大誤差，影響最后多普勒頻移的估計值。廣義延拓逼近法是一種綜合了插值法和擬合法優點、具有約束條件的數值逼近方法，本文嘗試將此方法應用于捕獲過程中對多普勒頻移的精確估計，同時在基本廣義延拓逼近方法的基礎上，為了進一步降低噪聲對捕獲精度的影響，提出一種優化的廣義延拓多普勒頻移估計方法，實現了對多普勒頻移的精確捕獲。

1 廣義延拓逼近法

廣義延拓逼近法由施滸立首先提出[1]，在隨后的發展中得到不斷完善，文獻[2?5]分別將廣義逼近法用于GPS導航的高程擬合、定位增強和精密星歷等方面。相比于插值法和擬合法，其主要優點是在分段邊界點上滿足插值條件，使得分段之間的變化具有一定的協調性，另外又利用分段周圍節點（包括內點）將每個分段進行延拓，實現分段最佳擬合，從而可以吸取插值法和擬合法的優點，將兩者結合起來，提高數值逼近精度。

已知函數[u]的一組離散數據[uj，xjuj=u（xj），xj∈Ω，][j =1，2，…，n，]運用分片逼近的思想，將[Ω]劃分為[m]個互不重疊的子區域[Ωe，]子區域有[r]個節點。在[Ω]上構造一個近似函數[U，]滿足條件[U（X）=ui，i=1，2，…，n。]根據廣義延拓的思想，將單元域[Ωe]進行延拓，得到延拓域[Ω′e。]設延拓域[Ω′e]內有[s]個節點，其中屬于單元域[Ωe]內的有[r]個節點，且[r

[Ue（x）=j=1tkejbej（x）] （1）

式中：[be1，be2，…，bet]是[Ωe]上的一組基函數；[ke1，ke2，…，ket]為待定系數；[t]為逼近函數項數，且[r

式中：[bij=bj（xi）；η]為[r]個拉格朗日乘數法參數列向量；[k]為[t]個待定參數列向量；[u]為廣義延拓域內[s]個節點的值組成的列向量；[uI]為單元域內[r]個節點值組成的列向量。

對式（4）進行矩陣求逆運算，可以解出逼近函數中的待求系數，確定單元域上的插值函數，之后在單元域內進行插值計算。對每個子區域[Ωe]均按上述方法求解，最后將各個分片函數拼接起來，就可以得到總域上的逼近函數[U（X）。]

2 基于廣義延拓逼近的多普勒頻移估計方法

2.1 算法思想

由對頻偏進行一維搜索的精捕獲可以看到，要逼近的圖形接近一個拋物線，不失一般性，可以假設廣義差值函數為二次型[6]：

最后得到總域的逼近函數為：

由粗捕獲可以得到誤差較大的多普勒頻移值[fr，]然后在臨近的區域[fr-500 Hz， fr+500 Hz]內選取[f0=fr-500， f1=fr-250， f2=fr， f3=fr+250， f4=fr+500，]分別設為[xi-2，xi-1，xi，xi+1，xi+2，]分別計算對應的相關值[y（xi-2），y（xi-1），y（xi），y（xi+1），y（xi+2），]如圖1所示，以單元域[Ω]為例，在單元域[Ω]上的點為[xi，xi+1，]在擴展域[Ω]上的點為[xi-1，xi+2，]根據廣義延拓逼近函數的定義可知，所求函數[Ui（x）]在單元域[Ω]上的延拓需要滿足以下條件：

式（8）可以采用拉格朗日乘數法，即求解帶條件約束的極值。

即：

2.2 算法的優化

經過精確捕獲后的相關函數值與頻率誤差的關系是辛格函數[6]，在最大值周圍的函數圖形是凸函數，峰值點落在樣值點的最大值和次大值點之間[7?8]。由于噪聲的存在，樣值點的取值一定會存在誤差，如果嚴格通過存在誤差的點，會降低結果的精度。由于只是求最大值，所以只要求在最高值點左右兩個單元域內構造的函數平滑不出現斷層即可。可以讓求取的逼近函數[Ui（x）]只通過最大值點，這樣雖然會使左右單元域和其他單元域的連接處產生斷層，但最大值點左右兩側的單元域內構造的函數依然平滑，不影響對峰值點的估算，而且這種改進會降低噪聲對構造函數的影響，提高峰值點的估算精度。

優化后的廣義延拓進行逼近需滿足如下條件：

式中[xmax]是所有樣值點中[y（x）]取得最大值的頻點。

3 數字仿真實驗

3.1 運算量的對比分析

目前，GPS接收機中精捕獲的方法最有代表性的有：加長數據FFT法和相位檢測法，按照復數乘法的次數進行運算量對比[9]。

在仿真中，1 ms中采樣[N=]5 000點的數據。

1） 由于之前的粗捕獲已經計算過[f0=fr-500， ][f2=fr， f4=fr+500]的值，所以廣義延拓逼近只需要計算[f1=fr-250， f3=fr+250]兩個頻點的值即可。復數乘法的次數是[2N=]10 000次。

2） 加長數據FFT法，為了達到想要的估計精度，必須將粗捕獲的步長進行細化，要達到10 Hz的分辨率需要100 ms的連續數據。在1 ms中采樣5 000點的數據，100 ms中包含500 000個數據點，在末尾添上24 288個0，構成[N=524 288]長的序列。所需復數乘法運算次數為[N2log2N=]4 980 736。

3） 相位檢測法：該方法所需復數乘法次數為[8N=]40 000次。

三種精捕獲方法的計算量見表1。

由表1可見，基于廣義延拓逼近的多普勒頻移估計方法的運算量比目前常用的兩種方法都要少，如果以1 ms采樣5 000點的數據為例，可以得到其減少比例分別為498倍和4倍，計算效率提高得非常明顯。

3.2 仿真實驗

由于對頻偏進行一維搜索的精捕獲雖然計算量很大，不適合用于真正的接收機，但是由于這種方法可以通過控制步長從而控制得到多普勒頻移值的估計精度，所以將這種方法設為廣義延拓插值法的對比組。對PRN#2的衛星信號進行仿真，在信噪比SNR=-20 dB的情況下，對標稱[Fif=]2 MHz的中頻信號進行精捕獲，設置多普勒頻移為4 859.3 Hz。圖2為在最大樣值點左右兩個單元域內用廣義延拓逼近法構造的函數圖形。

分別對頻偏一維搜索的精捕獲（步長為10 Hz）、廣義延拓逼近法精捕獲、優化的廣義延拓逼近法精捕獲仿真100次，并分別計算與真實多普勒頻移的誤差、方差等，結果分別如圖3和表2所示。

通過圖3和表2可知，優化后的廣義延拓逼近法誤差值遠低于以10 Hz為步長對頻率進行一維搜索的誤差值，且得到的估計頻率能夠使衛星信號落到跟蹤環路的搜索范圍內。

信噪比為-20 dB時，在0～10 kHz的多普勒頻移中隨機選取20個值，并分別對這些多普勒頻移值進行100次估計，結果取與真實多普勒頻移誤差的絕對值的均值，其仿真結果如圖4所示。信噪比從-25～-10 dB變化時，分別對上述三種精捕獲方法進行100次仿真，取結果絕對值的均值，其仿真結果如圖5所示。

由圖4和圖5可以看到多普勒頻移值在0～10 kHz隨機變化，信噪比在-25～-10 dB隨機變化時，優化后的廣義延拓逼近法得到的多普勒頻移估計值的誤差最小。

4 結 語

本文針對并行捕獲多普勒頻移存在的柵欄效應，采用廣義延拓逼近法提高捕獲的多普勒頻移的精度，在不增大運算量的基礎上對廣義延拓逼近算法進行優化，降低了噪聲對捕獲精度的影響。并對優化前后的兩種方法進行仿真，仿真結果證明了廣義延拓逼近方法得到的估計頻率能夠使衛星信號落到跟蹤環路的搜索范圍內，而且優化后方法的抗噪聲能力得到了較大的增強。

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