視線角約束自適應(yīng)滑模中制導(dǎo)律

呂壽坤, 周　荻, 孟克子, 王子才

(1. 北京電子工程總體研究所, 北京 100854; 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0　引　言

中遠(yuǎn)程攔截中,常采用“中制導(dǎo)+末制導(dǎo)”的制導(dǎo)體制,因攔截導(dǎo)彈高速飛行,氣動產(chǎn)生的熱量易對導(dǎo)引頭的探測產(chǎn)生干擾。側(cè)窗探測導(dǎo)引頭應(yīng)運(yùn)而生。側(cè)窗探測要求中末制導(dǎo)交班時(shí)刻的視線方向滿足特定約束條件。應(yīng)用視線角約束還可帶來中末制導(dǎo)段彈道過渡平滑的好處,同時(shí)可使導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段以最佳角度毀傷目標(biāo),戰(zhàn)斗部殺傷效能得到最大發(fā)揮。此外,在中末制導(dǎo)交班時(shí)刻,如視線角速率趨于零,導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段將以準(zhǔn)平行彈道飛向目標(biāo)[1]。因此應(yīng)在中制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中考慮此類約束。當(dāng)前,視線角約束滑模末制導(dǎo)律是研究熱點(diǎn),攻擊角/落角約束研究也可稱為視線角約束,對攻擊角約束的目的一般是要使導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部效能最大化。文獻(xiàn)[2-4]研究了基于滑模控制的攻擊角度約束制導(dǎo)律,文獻(xiàn)[4]還討論了制導(dǎo)算法有限時(shí)間收斂特性。文獻(xiàn)[5]綜合最優(yōu)控制、滑?？刂坪蛷较蚧瘮?shù) (radial basis function,RBF)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了變結(jié)構(gòu)增益項(xiàng)可調(diào)節(jié)的落角約束最優(yōu)滑模導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[6]提出了針對空地制導(dǎo)武器的最優(yōu)滑模攻擊角度約束導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[7-10]則考慮導(dǎo)彈自動駕駛動態(tài)特性,設(shè)計(jì)了攻擊角度約束導(dǎo)引律,其中文獻(xiàn)[7]采用的是滑模與backstepping綜合控制方法;文獻(xiàn)[8]采用的是滑模與動態(tài)面綜合控制方法;文獻(xiàn)[9]考慮了視線角速率及視線角的有限時(shí)間收斂特性,采用的是積分滑?？刂品椒?文獻(xiàn)[10]針對靜止目標(biāo)、恒速目標(biāo)及機(jī)動目標(biāo)設(shè)計(jì)導(dǎo)引律,以實(shí)現(xiàn)全方位攔截。文獻(xiàn)[11]針對不考慮攻擊角約束和考慮攻擊角約束兩種情況,設(shè)計(jì)二階滑模導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[3-6,9]中的攻擊角/落角約束等同于視線角約束,文獻(xiàn)[2,7-8,10-18]中攻擊角度約束也是通過對視線角的間接控制實(shí)現(xiàn)的。

末制導(dǎo)階段,如視線角被控制至期望值,則視線角速率將不斷變化。因此,導(dǎo)彈與目標(biāo)無法形成準(zhǔn)平行接近,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)最佳的碰撞幾何,末端脫靶量勢必會增大。實(shí)際使用中,應(yīng)在中制導(dǎo)段完成視線角約束,在末制導(dǎo)過程中要使視線角基本保持不變。基于上述考慮,同時(shí)還要達(dá)到中末制導(dǎo)交班時(shí)刻彈道平滑過渡和側(cè)窗探測的要求,基于目標(biāo)與導(dǎo)彈相對運(yùn)動方程,設(shè)計(jì)了基于滑?？刂频囊暰€角約束自適應(yīng)魯棒中制導(dǎo)律。該中制導(dǎo)律所需信息輸入少,便于工程實(shí)現(xiàn)。

1　目標(biāo)-導(dǎo)彈相對運(yùn)動方程

目標(biāo)和導(dǎo)彈相對運(yùn)動方程為

(1)

設(shè)中末制導(dǎo)交班時(shí)刻視線角的期望值為qd,選取狀態(tài)變量

則視線角約束下的制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(2)

?t>0

(3)

為了便于滑模中制導(dǎo)律的分析,引入如下引理:

引理1[19]假設(shè)存在連續(xù)正定函數(shù)V(t)滿足

?t>t0

(4)

那么V(t)可在有限時(shí)間ts內(nèi)收斂至原點(diǎn),且ts滿足

(5)

式中,β>0;λ>0;0<γ<1。

2　自適應(yīng)滑模中制導(dǎo)律

滑?？刂埔褟V泛應(yīng)用于制導(dǎo)與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,其對參數(shù)攝動及干擾具有很好的魯棒性及自適應(yīng)不變性。以下采用滑?？刂苼碓O(shè)計(jì)視線角約束的中制導(dǎo)律。

針對制導(dǎo)系統(tǒng)式(2),選取滑動模態(tài)面為

(6)

自適應(yīng)滑模趨近律選取為

k2=const.>0,ε=const.>0

(7)

式(7)的物理意義是:制導(dǎo)系統(tǒng)趨近滑模的速率隨r的變化進(jìn)行調(diào)節(jié)。當(dāng)r較大時(shí),趨近速率較慢;當(dāng)r→rc時(shí),趨近速率快速增大。這種趨近速率調(diào)節(jié)有益于抖振的抑制。

(8)

根據(jù)式(7)和式(8)并結(jié)合式(6),可得視線角約束的滑模中制導(dǎo)律為

(9)

實(shí)際中,如果目標(biāo)機(jī)動,則其機(jī)動加速度aT難以獲得,可以將其視為系統(tǒng)的擾動。但考慮到目標(biāo)可用過載等因素的限制,aT一定是有界的,假設(shè)aT滿足

|aT|≤f=const.

(10)

則工程中易于實(shí)現(xiàn)的滑模中制導(dǎo)律為

(11)

證明將中制導(dǎo)律式(11)代入式(8)中,可得

(12)

定義Lyapunov函數(shù)為

V=S2

(13)

式(13)相對時(shí)間求導(dǎo)并將式(12)代入其中,同時(shí)考慮到ε=f+α和|aT|≤f,可得

(14)

考慮式(3),進(jìn)一步可得

(15)

根據(jù)式(15)和定理1可知,制導(dǎo)系統(tǒng)可在有限時(shí)間ts內(nèi)收斂至滑動模態(tài)面S=0,且ts滿足

(16)

當(dāng)制導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)入滑動模態(tài)面后有

(17)

根據(jù)式(17),可得

?

(18)

其中

(19)

考慮到r(tc)=rc,可得

(20)

根據(jù)式(20),可得

(21)

由式(18)和式(21),可得

(22)

結(jié)合式(22)和式(17)很容易得到

(23)

證畢

通過用函數(shù)S/(|S|+δ)代替函數(shù)sgnS,可消除式(11)中開關(guān)函數(shù)項(xiàng)sgnS在制導(dǎo)系統(tǒng)中產(chǎn)生的抖動，即

(24)

針對三維空間中的攔截問題,將導(dǎo)彈和目標(biāo)的運(yùn)動分解到縱向平面和側(cè)向平面內(nèi),根據(jù)中制導(dǎo)律式(24)的推導(dǎo)與分析,視線俯仰通道和偏航通道中視線角約束中制導(dǎo)律的表達(dá)式為

(25)

其中

(26)

由式(25)可知,在中末制導(dǎo)交班時(shí)刻亦即r等于rc時(shí),制導(dǎo)指令會出現(xiàn)奇異現(xiàn)象,為了保證中末制導(dǎo)平滑過渡,這顯然是不允許的。為了避免奇異的產(chǎn)生,當(dāng)r接近rc時(shí),將式(25)中aMε和aMβ的后3項(xiàng)分母中的rc替換為rc-Δrc,其中Δrc>0為隨著r趨于rc而逐漸增大的量。但是,式(26)滑動模態(tài)面S1和S2中的rc值保持不變。由于S1和S2本身是開關(guān)函數(shù)的變量,式(26)將開關(guān)函數(shù)替換為連續(xù)函數(shù)Si/(|Si|+δi),i=1,2以削弱抖動,其在交班時(shí)刻不會產(chǎn)生奇異。這樣處理既可避免交班時(shí)刻制導(dǎo)指令奇異,也能滿足交班精度要求。

3　仿真驗(yàn)證

圖1　視線角

圖2　視線角速率

圖3　導(dǎo)彈加速度指令

圖4　滑動模態(tài)面

由圖1～圖4可知,在所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的作用下,滑動模態(tài)面可在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零附近的微小鄰域內(nèi),如圖4所示；視線角漸進(jìn)收斂至期望值,如圖1所示；視線角速率向零附近收斂,如圖2所示。由于導(dǎo)彈可用過載的限制,導(dǎo)彈加速度指令出現(xiàn)了局部飽和的現(xiàn)象，如圖3所示,盡管如此,制導(dǎo)精度依然滿足要求。

中末制導(dǎo)交班誤差如表1所示。

表1　中末制導(dǎo)交班誤差

據(jù)表1可知,中末制導(dǎo)交班時(shí)刻視線角的收斂誤差小,視線角速率接近于零。同時(shí),由于對中制導(dǎo)律進(jìn)行了奇異處理,中末制導(dǎo)交班時(shí)刻導(dǎo)彈加速度指令并未出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。

4　結(jié)　論

設(shè)計(jì)了視線角約束滑模中制導(dǎo)律。該中制導(dǎo)律能使制導(dǎo)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至滑動模態(tài)面,且在中末制導(dǎo)交班時(shí)刻能夠?qū)崿F(xiàn)視線角速率趨零,同時(shí)保證視線角趨于給定的期望值。另外,該中制導(dǎo)律對目標(biāo)機(jī)動具有較強(qiáng)的魯棒性,且交班誤差小。最后,該中制導(dǎo)律中需要的變量僅有導(dǎo)彈與目標(biāo)相對距離、導(dǎo)彈與目標(biāo)接近速度及視線角和視線角速率,因此設(shè)計(jì)的中制導(dǎo)律易于工程實(shí)現(xiàn)。

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