實(shí)變函數(shù)方法在經(jīng)典微積分中的應(yīng)用探究

王晨克

(北京交通大學(xué)理學(xué)院 100044)

實(shí)變函數(shù)方法能對(duì)相關(guān)定義進(jìn)行改造，并對(duì)其清晰表述.如：將實(shí)變函數(shù)方法應(yīng)用到微積分中，能對(duì)其概念進(jìn)行擴(kuò)展和延伸，也能使學(xué)生在學(xué)習(xí)中靈活應(yīng)用，是學(xué)生學(xué)習(xí)微積分知識(shí)中主要的研究工具，能展現(xiàn)其有效性.

一、實(shí)變函數(shù)方法在經(jīng)典微積分中的應(yīng)用

1.Riemann積分定義

實(shí)變函數(shù)方法的應(yīng)用，是在對(duì)舊知識(shí)分析以及借鑒相關(guān)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，產(chǎn)生一系列問題.將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)學(xué)科中，不僅能積極擴(kuò)展，也能對(duì)Riemann積分進(jìn)行延伸與改進(jìn).Riemann為對(duì)函數(shù)項(xiàng)在0和1區(qū)間上存在的dirichlet函數(shù).基于Riemann思想和定義，對(duì)Riemann定義域進(jìn)行分割，為當(dāng)前一種理論，能解決相關(guān)問題，也能對(duì)Riemann積分理論進(jìn)行改進(jìn).如：在實(shí)變函數(shù)中，實(shí)現(xiàn)對(duì)值域概念和理論的結(jié)合性，能促使其價(jià)值的充分發(fā)揮.

2.應(yīng)用在概率論和隨機(jī)分析中

將實(shí)變函數(shù)方法應(yīng)用到概率論和隨機(jī)分析中，具有十分重要的作用.對(duì)于概率論來說，可以將其應(yīng)用到金融專業(yè)學(xué)習(xí)中.因?yàn)樵谠撔袠I(yè)中，實(shí)變函數(shù)為基礎(chǔ)課程，如果與隨機(jī)分析進(jìn)行結(jié)合，實(shí)現(xiàn)抽象性分析，能對(duì)其充分理解.概率論和實(shí)變分析中，存在的概念比較多，應(yīng)用實(shí)變函數(shù)方法，能使學(xué)生深層次、多維度理解.比如：對(duì)lebesgue進(jìn)行分析的時(shí)候，Riemann和該積分之間的關(guān)系難以分析和理解，學(xué)生也無法對(duì)其充分應(yīng)對(duì)，尤其是對(duì)應(yīng)測(cè)度子集的可測(cè)問題、隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)、可測(cè)函數(shù)的測(cè)度等，都需要為其提供幫助.因此，引導(dǎo)學(xué)生掌握Riemann和lebesgue之間的關(guān)系，并基于發(fā)展角度詳細(xì)研究，將發(fā)揮良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值.

3.對(duì)外側(cè)度lebesgue定義

在對(duì)lebesgue概念進(jìn)行分析的時(shí)候，不僅直接給出，需要使用極限工具，對(duì)圓的面積公式做出分析.根據(jù)多邊形外切、內(nèi)接正多邊形面積的內(nèi)填面積，分析出圓的面積.根據(jù)能夠預(yù)測(cè)的結(jié)果，詳細(xì)研究數(shù)學(xué)問題中存在的微積分.在這種學(xué)習(xí)方式下，學(xué)生能分析內(nèi)填和外包區(qū)間，也能獲得外側(cè)度，達(dá)到問題的良好解決.

二、實(shí)變函數(shù)方法的有效教學(xué)策略

實(shí)變函數(shù)方法是現(xiàn)代的主要課程，為分析學(xué)中的一種理論工具.該思想具備的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性能促使廣泛應(yīng)用，也能使學(xué)生靈活理解微積分，并對(duì)其有效應(yīng)用.經(jīng)典微積分和實(shí)變函數(shù)具備較大創(chuàng)新性，加深對(duì)其思考以及更為緊密的進(jìn)行邏輯推理，是當(dāng)前基礎(chǔ)課程學(xué)習(xí)的主要目的.但是，在實(shí)際學(xué)習(xí)期間，由于該課程知識(shí)比較枯燥，無法充分理解其重要思想、實(shí)變函數(shù)存在較多概念，其定理具備的抽象性也更復(fù)雜，對(duì)其推理也比較復(fù)雜，無法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí).所以，在學(xué)習(xí)中，實(shí)現(xiàn)實(shí)變函數(shù)和經(jīng)典微積分的結(jié)合，并對(duì)其比較分析，在這種學(xué)習(xí)方式下，學(xué)生不僅能按照一定規(guī)律充分探究，領(lǐng)會(huì)其中的真理，也能在以后學(xué)習(xí)中獲得較大幫助.因此，針對(duì)對(duì)實(shí)變函數(shù)的理解，將其應(yīng)用到微積分中，保證在各個(gè)階段充分開展，以維護(hù)教學(xué)工作的有效發(fā)揮，增強(qiáng)整體的教學(xué)效果.

1.課程首次開展

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)實(shí)變函數(shù)方法進(jìn)行應(yīng)用，要保證教學(xué)任務(wù)的充分完成.在學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候，針對(duì)數(shù)學(xué)具備的嚴(yán)密性和更為抽象的思維能力，很多學(xué)生接觸學(xué)習(xí)的時(shí)候較畏懼，對(duì)該學(xué)科學(xué)習(xí)沒有產(chǎn)生更大興趣.針對(duì)這種現(xiàn)象，需要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生對(duì)該課程產(chǎn)生興趣.學(xué)習(xí)微積分知識(shí)，也能為物理知識(shí)學(xué)習(xí)提供幫助.如：對(duì)于一些區(qū)域問題，對(duì)函數(shù)區(qū)域進(jìn)行分析，需要對(duì)其深度分析和講解.在第一節(jié)課學(xué)習(xí)的時(shí)候，學(xué)生能否對(duì)課程產(chǎn)生興趣是非常必要的，為了使學(xué)生愿意學(xué)習(xí)，并將其應(yīng)用到各個(gè)發(fā)展領(lǐng)域中解決問題，一定要引導(dǎo)學(xué)生更有興趣地學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)知識(shí)，使學(xué)生努力探索實(shí)變函數(shù)，系統(tǒng)地對(duì)知識(shí)總結(jié)，保證在微積分學(xué)習(xí)中，實(shí)變函數(shù)成為更為有效的教學(xué)手段.

2.準(zhǔn)備討論課程

在微積分知識(shí)學(xué)習(xí)中，對(duì)實(shí)變函數(shù)方法進(jìn)行應(yīng)用，需要在工作中為其做好準(zhǔn)備，促進(jìn)討論課程的積極開展.針對(duì)教材和學(xué)科中的知識(shí)，可以對(duì)其粗略分析.在對(duì)lebesgue積分性質(zhì)學(xué)習(xí)的時(shí)候，其具備的積分范圍更廣，學(xué)生在相互討論與分析中，能激發(fā)其主動(dòng)性，也能使所有學(xué)生積極探索，保證獲得更為有效的方法.還要對(duì)相關(guān)資料進(jìn)行查詢，借鑒相關(guān)書籍，保證對(duì)lebesgue計(jì)算的時(shí)候更方便.學(xué)生也能主動(dòng)對(duì)lebesgue積分操作進(jìn)行分析，促進(jìn)積分求和定理的靈活應(yīng)用，也能解決微積分缺點(diǎn)，明確推理和原因，也能基于相關(guān)原因，分析lebesgue的不可積分情況，以保證在最大程度上激發(fā)學(xué)生興趣.

3.解決問題

在微積分學(xué)習(xí)中，對(duì)實(shí)變函數(shù)方法進(jìn)行應(yīng)用，能使學(xué)生理解其重點(diǎn)，也能分析其存在的問題，促進(jìn)探究學(xué)習(xí)和研究學(xué)習(xí)的形成.從問題的提出到問題的解決，整個(gè)過程都需要使用實(shí)變函數(shù)方法解決，保證解決方案以及相關(guān)技巧的應(yīng)用更合理.在學(xué)習(xí)和教學(xué)的時(shí)候，教師和學(xué)生都需要將其應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域中，重點(diǎn)分析實(shí)變函數(shù)方法，以保證在整體上達(dá)到合理的應(yīng)用價(jià)值.

基于分析發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用實(shí)變函數(shù)方法能實(shí)現(xiàn)各個(gè)環(huán)節(jié)知識(shí)的系統(tǒng)化.學(xué)生利用實(shí)變函數(shù)方法分析微積分，對(duì)其解題和應(yīng)用，能對(duì)知識(shí)充分了解，也能將知識(shí)相互聯(lián)系，加深對(duì)問題的思考，保證各項(xiàng)能力的有效訓(xùn)練.

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