船體除銹機(jī)械手的干擾抑制軌跡跟蹤控制

王　眾　焦曉紅　程明星,3

1.燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院,秦皇島,0660042.北京恒進(jìn)博力液壓科技有限公司,北京,1001763.凱邁(洛陽)機(jī)電有限公司,洛陽,471000

0　引言

隨著高空作業(yè)車在船舶領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，針對(duì)船體的修補(bǔ)、除銹、噴漆等人工作業(yè)將逐漸被高空作業(yè)車改裝的噴涂機(jī)器手取代[1]。為保證噴涂均勻，搭載在機(jī)械臂上的噴頭需勻速按照一定軌跡運(yùn)動(dòng)，而在車載機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中，其特有的柔性特性會(huì)在負(fù)載的作用下產(chǎn)生變形和抖動(dòng)，該變形和抖動(dòng)會(huì)導(dǎo)致柔性臂末端的實(shí)際位置偏離期望位置，所以柔性機(jī)械臂的軌跡跟蹤問題成了國內(nèi)外學(xué)者的一個(gè)研究方向。

為實(shí)現(xiàn)精確、快速響應(yīng)軌跡跟蹤，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)液壓機(jī)械臂系統(tǒng)中的靜態(tài)變形和抖動(dòng)進(jìn)行了研究。PILTAN等[2]針對(duì)非線性不確定性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種基于FPGA技術(shù)的滑模控制器，該控制器很好地解決了系統(tǒng)非線性不確定性問題以及系統(tǒng)的抖動(dòng)現(xiàn)象。JOEL等[3]在PID控制器的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，該控制器對(duì)機(jī)械臂的軌跡跟蹤有良好的效果。MANCHESTER等[4]提出一種線性控制器和非線性補(bǔ)償器的控制算法，應(yīng)用到一種農(nóng)業(yè)起重機(jī)上，可使其末端執(zhí)行器能夠準(zhǔn)確跟蹤參考軌跡。而在針對(duì)直臂式高空作業(yè)車軌跡研究中，CAO等[5]、王欣等[6]針對(duì)直臂式高空作業(yè)車進(jìn)行了直線軌跡研究，都是采用前饋補(bǔ)償和PID控制器復(fù)合矯正，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度并改善了系統(tǒng)對(duì)控制信號(hào)的跟隨性。王碩等[7]沒有考慮機(jī)械臂柔性變形的影響，采用直線插值算法，并通過PID控制器控制機(jī)械臂的軌跡運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)作業(yè)平臺(tái)的軌跡跟蹤控制。YUAN等[8]以高空作業(yè)車為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)出一種時(shí)變性的輸入信號(hào)生成器從而補(bǔ)償臂架撓度變形，實(shí)現(xiàn)了工作平臺(tái)的垂直升降運(yùn)動(dòng)，其變形量是理論推導(dǎo)的，由于臂架安裝、加工精度等原因，現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試過程中，需要實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，修正撓度因子。

本文通過對(duì)機(jī)械臂在垂直方向上的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，以高空作業(yè)機(jī)械手的變幅油缸和伸縮油缸的位移為控制量，針對(duì)系統(tǒng)中存在的非線性、大臂撓度擾動(dòng)和伺服閥油缸狀態(tài)量不完全可測(cè)等情況，通過設(shè)計(jì)基于降維觀測(cè)器的干擾抑制控制器來實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂末端的軌跡跟蹤控制，并進(jìn)行了仿真和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)。

1　高空作業(yè)機(jī)械手垂直軌跡系統(tǒng)模型

高空作業(yè)機(jī)械手在垂直軌跡跟蹤過程中，不必考慮機(jī)械臂的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，給定速度后，根據(jù)垂直軌跡勻速運(yùn)動(dòng)的控制要求，計(jì)算出變幅油缸和伸縮油缸位移的實(shí)時(shí)給定量Y1d、Y2d，并且記錄機(jī)械臂初始的長度值Y2init和變幅油缸長度值Y1init，通過Y1init計(jì)算出機(jī)械臂俯仰角度初始值θinit，考慮撓度干擾w1、w2對(duì)機(jī)械手臂變幅位移和伸縮位移的影響，通過控制器控制變幅油缸和伸縮油缸的位移。控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖見圖1。

圖1　垂直軌跡控制框圖Fig.1　Block diagram of vertical trajectory control

1.1　給定計(jì)算

圖2為高空作業(yè)機(jī)械手垂直軌跡計(jì)算簡圖[9]，Y1、Y2分別為變幅油缸和伸縮油缸長度。a為變幅油缸根鉸點(diǎn)與臂架根鉸點(diǎn)的距離，a=1.005 m；b為變幅油缸端鉸點(diǎn)與臂架根鉸點(diǎn)的距離，b=2.57 m；θ是機(jī)械臂變幅角度,-13°≤θ≤75°。大臂傾角角度θ與變幅油缸長度Y1的關(guān)系為

(1)

其中，θ0為54°。

圖2　作業(yè)臂垂直方向動(dòng)作簡圖Fig.2　Simplified sketch of manipulator’s vertical motion

速度設(shè)定vd給定后，發(fā)送啟動(dòng)信號(hào)，大臂可從任意位置開始，此時(shí)記錄初始值Y1init、Y2init。通過式(1)可計(jì)算得到θinit。根據(jù)圖2可得

(2)

由式(1)和式(2)可得

(3)

同樣，由圖2計(jì)算可得初始值時(shí)臂架根鉸點(diǎn)O到工作面C點(diǎn)的距離：

d=Y2initcosθinit

(4)

為了保證機(jī)械手臂在勻速上升或下降過程中，臂頭P點(diǎn)始終保持在工作面上，也需要同時(shí)控制變幅油缸和伸縮油缸協(xié)調(diào)動(dòng)作。由式(2)和式(4)可得

(5)

由式(3)和式(5)可得，變幅油缸和伸縮油缸的位移給定量Y1d、Y2d是關(guān)于速度給定值和油缸初始位置值的非線性函數(shù)，并且隨著時(shí)間的變化而變化。

1.2　大臂撓度干擾

如圖3所示，由于加載不同噴涂設(shè)備，機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)產(chǎn)生變形，造成其末端位置的抖動(dòng)和位移干擾[10]。

圖3　機(jī)械臂撓度示意圖Fig.3　Sketch of manipulator deflection

通過圖3可以看出柔性變形偏差是大臂變幅角度和大臂長度的函數(shù)，由于臂架安裝和制造加工精度以及負(fù)載變化等原因，該函數(shù)是一個(gè)有界函數(shù)。因此，可將其考慮為分別附加在機(jī)械手變幅位移Y1和伸縮位移Y2上的屬于L2擴(kuò)展空間的外部干擾，記為：w=[w1w2]T。

1.3　比例閥控液壓缸傳遞函數(shù)

由于比例放大器的轉(zhuǎn)換頻率比系統(tǒng)頻率高得多，所以可以近似為比例環(huán)節(jié)[11]：

(6)

式中，I(s)為輸出電流；U(s)為輸入值；Kc為比例增益。

比例換向閥是將電信號(hào)轉(zhuǎn)換成液壓信號(hào)的元件，在高空作業(yè)機(jī)械手上，大臂變幅和伸縮油缸均是采用電液比例閥來控制。不考慮死區(qū)情況下可將其等效成一個(gè)二階環(huán)節(jié)，即

(7)

式中，QL(s)為負(fù)載流量；Kq為比例閥增益系數(shù)；ωv為比例電磁鐵的固有頻率；ξv為比例電磁鐵的阻尼比。

液壓缸為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，采用非對(duì)稱液壓油缸。本文假定忽略管道中的壓力損失和管道動(dòng)態(tài)特性，且液壓缸各個(gè)腔內(nèi)壓力相等，油溫和體積彈性模量為常數(shù)。被控對(duì)象視為積分與二階環(huán)節(jié)的組合，其傳遞函數(shù)為

(8)

式中，ξh、ωh分別為液壓阻尼比和固有頻率；A1為油缸的有效作用面積。

由式(6)～式(8)可得比例閥控液壓缸傳遞函數(shù)[12]:

(9)

以變幅油缸為例，選取狀態(tài)變量為

X=[x1x2x3x4x5]T=

則可建立機(jī)械手變幅油缸系統(tǒng)的狀態(tài)方程:

(10)

B=[0000b]TB1=[00001]T

基于系統(tǒng)狀態(tài)空間模型(式(10))設(shè)計(jì)圖1中的控制器1，它應(yīng)為一維狀態(tài)反饋控制器，形如：

U1=R-K1X

(11)

其中，R為期望的系統(tǒng)輸出量，對(duì)于機(jī)械手變幅油缸系統(tǒng)R=Y1d;K1∈R1×5為待設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋增益矩陣。

為設(shè)計(jì)增益矩陣K1，考慮狀態(tài)變量誤差量：

Xe=X-Xr

其中，Xr為各狀態(tài)的期望量，得到系統(tǒng)(式(10))的誤差方程：

(12)

另外，在整個(gè)實(shí)際系統(tǒng)中，只有油缸變幅長度Y1可以通過傳感器測(cè)得，即只有狀態(tài)x1可以獲得。因此，在控制器設(shè)計(jì)前，需要設(shè)計(jì)一個(gè)降維觀測(cè)器，對(duì)系統(tǒng)中不可測(cè)狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)，從而保證所設(shè)計(jì)控制器(式(11))的可實(shí)現(xiàn)性。因此，可以將原系統(tǒng)分為兩部分：可測(cè)部分X1=x1=Y1和不可測(cè)部分X2=[x2x3x4x5]T。則原系統(tǒng)(式(10))可以描述為

(13)

A11=0

A12=[1000]TA21=[000-a1]T

2　基于降維觀測(cè)器的干擾抑制軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

整個(gè)變幅油缸變化量Y1通過圖4所示的輸出反饋控制圖進(jìn)行控制。從圖4可以看出，通過降維觀測(cè)器可以對(duì)系統(tǒng)的不可測(cè)狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)，從而保證所設(shè)計(jì)的干擾抑制控制器中的系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)都是可以獲得的；而所設(shè)計(jì)的基于降維觀測(cè)器的干擾抑制控制器可以保證在系統(tǒng)存在外部干擾的條件下，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)仍然有很好的控制性能。

圖4　變幅油缸輸出反饋控制Fig.4　Luffing cylinder with output feedback control

首先設(shè)計(jì)系統(tǒng)(式(13))的降維觀測(cè)器如下[13]：

(14)

其中,L1為待設(shè)計(jì)觀測(cè)器增益矩陣，L1∈R4×1。令觀測(cè)誤差

結(jié)合式(12)～式(14)可得加入降維觀測(cè)器后整個(gè)系統(tǒng)誤差狀態(tài)方程:

(15)

因此，得到如下命題。

命題對(duì)于式(15)所示系統(tǒng)，如果存在正定對(duì)稱矩陣P∈R4×4和Q∈R5×5，及矩陣N1∈R4×1和N2∈R1×5，使得如下LMI不等式成立：

(16)

(17)

那么，基于降維觀測(cè)器(式(14))設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器為

(18)

其中，觀測(cè)器增益矩陣及反饋增益矩陣分別為L1=P-1N1，K1=-N2Q。

使得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)具有如下控制性能：

(2)當(dāng)w1≠0時(shí)，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是L2增益穩(wěn)定的，即干擾w1對(duì)系統(tǒng)的影響被抑制在某一水平γ之下。

證明對(duì)于式(15)所示系統(tǒng)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

V=eTPe+δTQδ

(19)

則沿著式(15)與式(18)組成的閉環(huán)系統(tǒng)，V的時(shí)間微分為

(20)

考慮有如下不等式成立

(21)

z=Y1d-Y1

其中，z作為系統(tǒng)的評(píng)價(jià)輸出信號(hào)。

(22)

(23)

(24)

可以看出，當(dāng)w1=0時(shí)，則由式(22)得

(25)

若Σ1,Σ2<0，由式(19)和式(25)根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，可得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即e→0,δ→0。

當(dāng)干擾信號(hào)w1≠0時(shí)，則由式(22)有

(26)

對(duì)于式(23)和式(24)，有如下不等式成立：

(27)

(28)

定義N1=PL1，并根據(jù)Schur補(bǔ)定理，可知不等式(27)等價(jià)于不等式(16)。因此，可以通過解LMI不等式(16)得到矩陣N1與P，進(jìn)而得到觀測(cè)器增益矩陣L1。

同理，定義N2=-K1Q-1且不等式(28)左右兩側(cè)同乘Q-1，通過Schur補(bǔ)定理，可知不等式(28)等價(jià)于不等式(17)。則可以通過求解不等式(17)得到矩陣N2和Q-1，進(jìn)而得到反饋增益矩陣K1。

注釋1由命題1可以得出如下結(jié)論：對(duì)于機(jī)械手變幅油缸系統(tǒng)(式(10))，如果設(shè)計(jì)降維觀測(cè)器(式(14))對(duì)不可測(cè)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，并基于估計(jì)設(shè)計(jì)如下狀態(tài)反饋控制器：

則機(jī)械手變幅位移Y1被控制能以滿意的動(dòng)靜態(tài)性能跟蹤期望的運(yùn)動(dòng)軌跡Y1d，且機(jī)械臂撓度干擾的影響能被抑制在期望的水平γ以下，當(dāng)L2增益γ選取很小時(shí)，Y1對(duì)Y1d的軌跡跟蹤幾乎不受撓度影響。

注釋2同理，對(duì)于機(jī)械手伸縮油缸系統(tǒng)：

設(shè)計(jì)降維觀測(cè)器

及基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制器

則機(jī)械手伸縮位移Y2被控制能以滿意的動(dòng)靜態(tài)性能跟蹤期望的運(yùn)動(dòng)軌跡Y2d，且機(jī)械臂撓度干擾的影響能被抑制在期望的水平γ以下，當(dāng)L2增益γ選取很小時(shí)，Y2對(duì)Y2d的軌跡跟蹤幾乎不受撓度影響。

3　系統(tǒng)仿真驗(yàn)證

表1給出了系統(tǒng)的主要參數(shù)。

求解LMI不等式(16)和不等式(17)可分別得到矩陣L1、K1和L2、K2：

表1　系統(tǒng)主要參數(shù)Tab.1　Main parameters of the system

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性，通過MATLAB/Simlink仿真軟件建立模型并進(jìn)行仿真，并且和傳統(tǒng)的PID控制方法對(duì)比，其中PID參數(shù)按照文獻(xiàn)[5]中去掉前饋環(huán)節(jié)的相關(guān)參數(shù)設(shè)計(jì)。

圖5為PID控制器和輸出反饋控制器在仿真情況下的垂直升降速度和水平距離偏差的仿真曲線，從兩種控制器的響應(yīng)曲線可見，在加入隨機(jī)干擾信號(hào)|w1,w2|≤20 mm的情況下，采用動(dòng)態(tài)輸出反饋的干擾抑制控制器在滿足垂直勻速升降的過程中，水平偏差距離Δd終保持在2 mm以內(nèi)，而PID控制器對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線在升降速度上波動(dòng)較大，達(dá)到5 mm，這說明文中所設(shè)計(jì)的控制器的控制性能優(yōu)于PID控制器，且對(duì)外部擾動(dòng)有更好的抑制作用。

圖5　兩種控制器垂直升降仿真結(jié)果Fig.5　Vertical motion simulation results of two control algorithm

4　試驗(yàn)

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器的有效性，在某樣機(jī)上進(jìn)了實(shí)驗(yàn)測(cè)試，圖6為搭載噴砂除銹設(shè)備后的試驗(yàn)照片。

檢測(cè)儀器為現(xiàn)場(chǎng)放置的激光測(cè)距儀，通過測(cè)量與機(jī)械手臂頂端P點(diǎn)的相對(duì)位置，計(jì)算出設(shè)備在垂直方向上的運(yùn)行速度和水平偏差，如圖7、圖8所示。

圖6　垂直方向噴砂除銹試驗(yàn)Fig.6　Test of derusting in the vertical direction

圖7　垂直上升速度0.04 m/s實(shí)際運(yùn)行過程的記錄曲線Fig.7　The recording curve in actual operation at vertical ascent 0.04 m/s

(a)輸出反饋控制現(xiàn)場(chǎng)采集曲線

(b)PID控制現(xiàn)場(chǎng)采集曲線圖8　垂直下降速度0.07 m/s實(shí)際運(yùn)行過程的記錄曲線Fig.8　The recording curve in actual operation at vertical descent 0.07 m/s

圖7中，上方曲線是大臂根部鉸點(diǎn)到工作面距離變化曲線，下方曲線為上升速度0.04 m/s過程中的速度曲線。

圖8a是設(shè)定垂直下降速度為0.07 m/s運(yùn)行時(shí)采集的曲線，由速度曲線部分可以看到，在上升過程180 s和下降過程250 s時(shí)，速度有一個(gè)較大的跳變，經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)分析，是由于在所測(cè)試的模擬鋼板平面上有一個(gè)較大的凹陷，造成了速度突變。圖8b為現(xiàn)場(chǎng)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定PID參數(shù)后采集的曲線。可以看到，單獨(dú)的PID控制不能抑制大臂變形對(duì)升降速度和相對(duì)位置的影響，特別是速度隨著變形量的增大，下降速度逐漸增大，實(shí)際影響了噴涂效果。

從圖9中可以看到運(yùn)行后的效果，除銹表面均勻，可以滿足實(shí)際工況需求。從而驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的控制器對(duì)大臂柔性變形和抖動(dòng)的干擾具有良好的抑制效果。

圖9　垂直上升速度0.04 m/s除銹實(shí)際效果Fig.9　Actual effect of derusting at vertical ascent 0.04 m/s

5　結(jié)論

(1)本文針對(duì)高空作業(yè)機(jī)械臂在垂直方向上的運(yùn)動(dòng)建立了數(shù)學(xué)模型，考慮了大臂的柔性變形。以大臂變幅油缸和伸縮油缸的活塞位移為被控對(duì)象，建立整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程。將耦合部分加入輸入信號(hào)部分，簡化了整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

(2)針對(duì)系統(tǒng)存在擾動(dòng)以及狀態(tài)不完全可測(cè)的問題，利用L2增益干擾抑制的方法設(shè)計(jì)出機(jī)械臂軌跡運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的輸出反饋控制器(基于降維觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制器)。在MATLAB環(huán)境下對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行了仿真研究，與PID控制器響應(yīng)曲線進(jìn)行了對(duì)比，理論上驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器對(duì)擾動(dòng)信號(hào)有更好的抑制作用。

(3)應(yīng)用仿真得到的控制參數(shù)，在某樣機(jī)上進(jìn)行試驗(yàn)，通過現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的采集及在船體模擬鋼板上的運(yùn)行效果，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制器的穩(wěn)定性和有效性，滿足了工況要求。

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(編輯王旻玥)