初中數學解題方法
——分類討論的探究

郭曉明

(江西省贛州市經濟技術開發區湖邊中學 341000)

在最新的《九年義務教育數學課程標準》中就有著明確的規定，要將數學思想滲透入教學之中，這也是在初中數學教學中的一項重要的教學目標，而“分類討論思想”就是教學思想中一個較為重要的方法.

在近幾年中考考試中，能夠很明顯地體現出對學生分類思想運用的考查，都將分類思想作為解題的重要思想.

一、分類討論具體步驟

1.分類討論的第一步就要先了解到題目中所給的取值范圍是多少，然后才能夠在該范圍內進行分類與討論；

2.進行下一步的詳細分類，按照一般的規律進行標準的分類或者是按照答案不重復的原則來對問題進行分類；

3.對已經分好類的情況進行逐步討論加以解決；

4.進行最后的歸納并且作出結論.

二、分類討論方法的具體運用

1.在三角形相關問題中的應用

例如：①等腰三角形的兩邊為7、6，則三角形的周長為____; ②三角形有一個角是80°，而且有兩個角相等，則另外兩個角的大小分別是____.

在該種類型的三角形問題中，就必須先對三角形的性質有一個熟悉的掌握與了解，并且根據題目中所給的邊的長度條件，對于該三角形中是以7為腰還是以6為腰并不明確，并且還要以三邊能夠構成三角形為前提條件，因此，在該題中就已經具備了進行分類討論的條件；在第二問中同樣如此，對于哪兩個角度相等并不明確，因此也要借助分類討論來對兩種情況進行討論解決，也是在三角形中利用分類討論方法的典型題.

2.在絕對值問題中的應用

在初中數學對絕對值的學習中可以得知，絕對值也就是數軸上點到原點的距離，而去掉絕對值，其中的數可以分為正負兩種情況，因此，在絕對值問題的解決中就非常需要分類討論的方法.但是需要注意的是，在對未知數去絕對值進行分類討論時，就要注意未知數取值范圍的大小，進行分類討論的情況也就需要在已知的范圍之內，所以，在對未知數求解時，倘若求出的數值不在范圍之內，那么也就應該舍去.

3.在解方程中的應用

在解方程中最為常見的就是所給的未知數或者條件有著兩方面的情況，此時就需要借助分類討論的方法對每一個未知的情況分幾個方面進行討論求解.

例如：關于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0，當m為何值時，方程有實根？

解當m-4=0，即m=4時，原方程化為-7x+4=0，此時方程有且只有一個實數根，為x=4/7. 當m-4≠0，即m≠4時，原方程為一元二次方程， 由Δ≥0,得m≥-1/12 且m≠4時，方程有兩個實根.

該題是針對于未知數的最高次系數進行的分類討論，而條件指示方程有實根，那么對應的一元二次方程或者一元一次方程的解都是存在的，而結果取的就是兩種分類討論結果的綜合.

4.在函數題目中的應用

例如：當m=____時，函數y=(m+5)x2m-1+7x-3(x≠0)是一個一次函數.

解當(m+5)x2m-1是一次項時， 2m-1=1，m=1，整理為y=13x-3. 當(m+5)x2m-1是常數項時， 2m-1=0，m=1/2，整理為y=7x+5/2.當m+5=0時，m=-5，整理為y=7x-3.

在討論(m+5)x2m-1的情況時，就需要分為兩種情況，第一種就是為一次項，第二種就是結果為常數，而通過不同的m值也就能夠得到不同的結果，最終進行整理就能夠得出正確的答案.

5.在圖形變化問題中的應用

在圖形的變化中，會導致因為兩個或者三個甚至多個圖形位置的不確定而導致結果的不同，這就需要通過分類討論而得.例如在幾何應用中，線與線、線與面、面與面等兩者之間的位置關系問題上，就存在多種討論情況，需要仔細地找出不同的條件進行分類討論，對于每一種可能的情況都不能夠疏漏.

例如：已知圓O1、圓O2外切，半徑分別為1cm和3cm，那么半徑為5cm且與圓O1、圓O2都相切的圓一共可以作出多少個?在討論該題時，可以看出應該將其分為兩個層次進行討論，而在第一層情況中，還能夠分為三種情況，分別是在學習中所得知的兩個圓之間所有的三種位置關系：兩個內切、兩個外切以及一個內切一個外切三種情況，而對于這三種情況的每一個都對應有兩種情形，因此，根據逐步的討論，可以得出有六種不同情況.

從以上的題目中不難看出，分類討論的方法需要的是對題目要進行仔細的分析、觀察以及對題目條件進行比較，找出兩者之間的共同點以及不同點，以此來對題目討論方向進行一個劃分，這也是分類討論所遵守的原則：一是按照同一個標準進行劃分，其次就是所分類的情況不能夠有重復.如此才能夠進行有效地分類討論.

在初中數學的教學中，要重視數學思想的教學，例如分類討論的思想，能夠讓學生在思考的過程中逐漸培養探索精神與創新意識，增強對問題思考的能力.而通過分類討論方法的教授與使用，也是訓練學生發散性思維的主要方式之一，因此在教學中教師要將分類討論的思想有效地融入到教學之中，使得學生能夠在對題目的理解與解題方面有著更加廣闊的思維、思考空間，達到更加有效的教學目的.