標準包絡環面蝸桿副通用接觸線方程及數值求解

吳 彬，張 璐，李昌冉，李 雄，陳旭鋒

（長安大學，陜西 西安710064）

0　引言

環面蝸桿傳動相對于圓柱蝸桿傳動具有嚙合齒數多，承載能力大的優點[1]。我國生產的二次包絡環面蝸桿主要有平面二次包絡環面蝸桿、錐面二次包絡環面蝸桿[2]，其廣泛應用于機械、化工、冶金等領域[3]。由于包絡環面蝸桿副齒廓曲面的復雜性，對其進行齒面方程的求解也很復雜，國內外眾多學者對其進行了研究，代表有胡來瑢[4]、董學朱[5]、L.V.Mohan[6]等，都針對性的對環面蝸桿副接觸線方程進行了推導，但很少有對二次包絡環面蝸桿副通用接觸線方程進行推導。本文推導了標準二次包絡環面蝸桿副的通用接觸線方程，最后以平面二次包絡環面蝸桿為例對接觸線方程的求解進行了研究。

1　標準二次包絡環面蝸桿副通用接觸線方程

1.1　坐標系設置

根據蝸桿毛坯與工具齒輪的相對運動關系，為了表達和計算方便，建立如圖1所示的蝸桿表面坐標系。

圖1　第一次包絡坐標系

圖中，C為蝸桿副中心距；S0（i0j0k0）為刀座（蝸輪）靜坐標；Sw（iwjwkw）為蝸桿靜坐標；S1（i1j1k1）和S2（i2j2k2）分別是蝸輪和蝸桿的動坐標系；φ1，φ2為蝸輪、蝸桿在定坐標系轉角。

1.2　第一次包絡蝸桿齒面上通用接觸線方程

S0（i0j0k0）和Sw（iwjwkw）分別是與機架固定連接的刀座和蝸桿上的靜坐標，S1（i1j1k1）和S2（i2j2k2）分別是與刀座和蝸桿固接的動坐標系。第一次包絡形成蝸桿齒面，成型面上嚙合點p在S1中的位置表達式：

嚙合點處單位法向量三個分量可表示為：

嚙合點處的相對運動速度可由下式求得：

式中 w(12)=w(1)-w(2)=-sinφ1i1-cosφ1j1+i12k1

將（4）、（5）代入（3）整理而得

根據共軛理論可知第一次包絡嚙合函數可表示為：

把（2）、（6）代入（7）整理而得第一次包絡通用嚙合函數：

其中

通過坐標變換，將動坐標系S1中p1轉換到蝸桿動坐標系S2中p2得

聯立（1）、（2）、（8）、（9）得到第一次包絡蝸桿齒面通用接觸線方程。

1.3　第二次包絡蝸輪通用接觸線方程

如圖2是用于獲得蝸輪表面坐標，Sg（igjgkg）和Sw（iwjwkw）分別是蝸輪上靜坐標和蝸桿上靜坐標，S1（i1j1k1）和S2（i2j2k2）分別是蝸輪和滾刀的動坐標系，θ1，θ2為蝸輪、蝸桿在定坐標系轉角。第二次包絡形成蝸輪齒面Σ1，嚙合點處的單位公法線向量與第一次相同。由于單位公法向量為自由向量，只考慮坐標的旋轉變換，所以有

圖2　第二次包絡坐標系

嚙合點處的相對運動速度可由下式求得

令w(1)＝1則

把（12）（13）代入（11）得：

據此，根據共軛理論可知第二次包絡通用共軛函數為

其中

通過坐標變換，將式（15）中 x2、y2、z2用 x1、y1、z1代替得第二次包絡通用共軛函數：

通過坐標變換，將坐標系S2中的p2轉換到坐標系S1中p1

聯立 （1）、（2）、（8）、（9）、（10）、（16）、（17）、（18）得到第二次包絡蝸輪齒面通用接觸線方程。

2　平面二次包絡環面蝸桿副

2.1　標準平面二次包絡環面蝸桿副接觸線方程

包絡面為平面的環面蝸桿傳動，稱為平面二次包絡環面蝸桿傳動，見圖3.

圖3　成型面坐標系

由（1）可知

由（2）可得

將（18）（19）代入（9）可得

所以將式（21）代入（8）得第一次包絡嚙合函數為：

把式（18）（19）（20）代入（8）可得

把式（23）代入到（17）可知標準平面二次包絡環面蝸桿傳動共軛函數為：

聯立 （1）、（2）、（8）、（9）、（10）、（16）、（24）、（18）得到平面二次包絡蝸輪齒面通用接觸線方程。

2.2　數值求解

求解平面二次包絡環面蝸桿傳動接觸線方程關鍵是求解式（24），由于上面推導的式（24）是關于θ2的非線性三角函數，無法直接求解，因此要對其進行牛頓迭代法求解。由圖4可知共軛函數關于轉角θ2連續可導，所以可以使用牛頓迭代法進行求解。迭代求解的流程如下：

設θ為式（24）φ(2)=0的根，給定初始值θ=θ2.

將θ2代入如下所示的迭代關系式，求解出新的θ2作為θ的一次近似值。

將θ的一次近似值作為新的θ值，代入迭代關系式得到θ的二次近似值，循環進行。因為共軛函數關于轉角θ2連續可導，由Matlab求得共軛函數的導函數如圖4所示，可知初始值取60°，此時迭代關系式必定有收斂解?？刂平Y果計算誤差為0.001°進行求解，最終完成平面二次包絡環面蝸輪齒面接觸線求解。

圖4　共軛函數連續可導性

已知蝸桿為單頭蝸桿，傳動比i21=40，模數m=10.03 mm，蝸輪齒頂圓直徑為417.36 mm，齒根圓直徑為381.24 mm，分度圓直徑為401.3 mm；蝸輪齒距角為9°，工作起始角為6°.最后通過Matlab程序計算，在Matlab軟件中求得蝸輪齒面上接觸線如圖5所示。

圖5　蝸輪接觸線

3　結束語

（1）本文詳細推導了標準二次包絡環面蝸桿副通用接觸線方程，然后以平面二次包絡環面蝸桿傳動為例驗證其正確性，這對推導一般環面蝸桿副接觸線方程具有指導意義。

（2）本文采用牛頓迭代法的數值方法求解了接觸線方程，并通過實例計算，得到蝸輪接觸線圖，此數值方法對求解其它超越方程具有參考價值。

參考文獻：

[1]鄭 亮，費 凌.基于MATLAB滾錐包絡環面蝸桿副接觸線的求解方法[J].西華大學學報（自然科學版），2008，27（1）：63-65.

[2]段德榮.包絡環面蝸桿傳動通用嚙合函數及其應用[J].太原工業大學學報，1987，1（2）：30-41.

[3]陽 培，王長路.用嚙合原理與數值方法求蝸桿副接觸線[J].機械傳動，2004，1（2）：4-6.

[4]胡來瑢.空間嚙合原理及應用（下冊）[M].北京：煤炭工業出版社，1986：58-76.

[5]董學朱.環面蝸桿傳動設計和修型[M].北京：機械工業出版社，2004：15-30.

[6]L.V.Mohan，M.S.Shunmugam.Geometrical aspects of double enveloping worm gear drive[J].Mechanism and Machine Theo ry，2009，44（11）：2053-2065.