新工科理念下線性代數課程教學設計探索

謝加良，朱榮坤，賓紅華

(集美大學理學院，福建廈門 361021)

1 研究背景

“新工科”(Emerging Engineering Education，3E)是我國工程教育改革的方向。自2016年這一概念提出至今，在教育部組織下，多所綜合類高校及工科優勢高校進行了深入研討，凝練成“復旦共識”[1]、“天大行動”[2]和“北京指南”[3]，提出人才培養的新方案，探索工程教育改革的新路徑。新工科的內涵是：以立德樹人為引領，以應對變化、塑造未來為建設理念，以繼承與創新、交叉與融合、協調與共享為主要途徑，培養多元化、創新型的卓越工程人才[4]。這種新工科人才既具備運用既定知識解決現有問題的實操能力，又能夠持續學習、自我更新，跟進知識和技術的迭代，成為引領科技革新和產業發展的中堅?；谛鹿た迫瞬诺呐囵B目標，“天大行動”對課堂教學提出新要求：一是問技術發展改內容，更新工程人才知識體系。將產業和技術的最新發展、行業對人才培養的最新要求引入教學過程，更新教學內容和課程體系，建成滿足行業發展需要的課程和教材資源；二是問學生志趣變方法，創新工程教育方式與手段。推進信息技術和教育教學深度融合，建設和推廣應用在線開放課程，充分利用虛擬仿真等技術創新工程實踐教學方式[2]。

作為高等院校理、工、經、管等各專業的一門重要數學基礎課，線性代數是學習后續課程的前提和工具，對培養學生的抽象思維、邏輯推理、空間想象和計算等能力具有不可替代的作用。同時，隨著科學技術的跨越式發展，線性代數已滲透到經濟、金融、信息、社會等各個領域。線性代數高度的抽象性和嚴密的符號體系都遠遠超出了學生的既有經驗，因此有很多本科生覺得這門課難理解。在此背景下，就課時少、內容多、較抽象的線性代數課程而言，如何通過改進和完善課堂教學設計，在引領學生夯實線性代數基礎知識的同時，培養其運用線性代數思維分析、解決實際問題的能力，切實提升線性代數課程教學效果，以適應新工科建設和發展的要求就顯得尤為重要。

2 設計原則

“新工科”對課堂教學要求的實質與落腳點是變革傳統的教學模式即從僅以教師為中心的教學模式，向既能發揮教師主導作用又能充分體現學生主體地位的新型教學模式轉變，實現課堂的“去中心化”。基于此，在線性代數課堂教學設計中應把握兩個原則：一是讓學生的思維動起來，考慮如何通過教學設計實現“破冰”，使“高大上”的學術形態的數學轉化為“接地氣”的教育形態的數學，更好地使學生在人格、思維、智慧層次獲得全面提升；二是深入挖掘信息技術在課程推進中的最優效用，不僅將信息技術作為教與學的簡單輔助工具，還須注重優化運用教育技術的智能形態，將相關知識、方法和技能巧妙融入線性代數的教學設計中。

3 新工科理念下的線性代數課程教學設計

3.1 建立基礎課程與專業知識有機統一的教學模式

承擔線性代數等公共數學課程的教師在進行課程教學設計時，對不同專業學生需要何種相應的數學知識缺乏關注和思考，教學案例選取多為簡單的數學問題求解，偏重普遍性，缺乏針對性。此類教學內容與學生的專業背景關聯度低，甚至脫節，導致學生很難學以致用，無法將課堂所學用以解決專業問題，進而造成學生學習目標不明確、學習動力不足等困境。

基于這些問題，筆者針對不同專業的學生，設計不同的教學案例，以解決相應專業性問題的訴求為導向來引入概念、推導定理，并將此類關鍵問題作為每節課的核心和線索，引導學生在探索專業性問題解決方案過程中逐步建構線性代數知識體系，加深學生對課程內容本質的理解，在潛移默化間培養他們的問題意識，使其接受從事科研工作的基礎訓練。以計算機工程類、信息類的新工科專業為例，通過挖掘計算機中的線性代數知識以及線性代數在信息科技中的應用等內容，針對不同的章節設計與此相關的教學內容，如利用圖像變換問題設計矩陣運算教學，利用人臉識別問題設計向量組的線性組合與矩陣特征值、特征向量教學，利用機器學習問題設計二次型和正定矩陣的課程教學等。

例1 基于人臉識別問題的“向量組的線性組合”教學設計。

圍繞問題引入、探究新知、深入挖掘和總結拓展共四個要點展開教學，將問題教學法和探究教學法相結合，注重數學與計算機、信息類專業的學習背景的廣泛聯系，在抽象思維的講述中引入形象思維，講清動機和背景，使每個知識點都是自然引入。

(1)問題引入。通過電影《碟中碟IV》中同學們所熟悉的關于特工采用人臉識別眼鏡追捕目標的場景，提出問題：如何利用線性代數知識來解釋這個場景？

(2)探究新知。通過講解圖像處理的基礎知識，分析如何用矩陣來表示圖片，進而延伸至為了存儲和計算如何用向量來表示圖片，總結得出人臉識別問題其實就是一個向量組和另一個向量之間的關系。以此引出本節課學習的新內容，重點講清基本定義和線性的含義，舉例加深對定義的理解，由此可以初步理解人臉識別問題。由定義和例子，解釋說明如何利用向量組的線性表示來說明人臉識別問題。

(3)深入挖掘。在人臉識別實際應用過程中，由于拍攝角度和人的情緒不同，每次拍攝的圖片都不一定相同。可以以此導出需要進一步深入挖掘考慮向量方程解的問題。

(4)總結拓展。以人臉識別的實際問題為主線，總結本節課所學的內容，拓展在實際問題中需要進一步考慮的問題，引出下一節所學的內容：向量組之間的線性表示。

3.2 推進信息技術與線性代數教學深度融合的教學設計

信息技術的發展帶來了許多新的教育技術工具，包括精品課程、微課、慕課(Mooc)、翻轉課堂等課程體系，以及學習通、課堂派、圖+微課等課堂輔助工具。研究表明，在教學中融入圖像、影視、聲音、動畫等多種媒體，大大刺激了學生的感官，使學生做到手、腦、眼、耳并用，充分喚起學生課堂學習的興趣，從而達到優化課堂結構、提高課堂效率、激發學生創造性思維的教學效果[5-6]。

3.2.1 發揮多媒體教學的最優效用,提高課堂效率

線性代數的教學內容主要有矩陣、行列式、向量組的線性相關、線性方程組解的結構及求法、矩陣的特征值與特征向量、二次型等[7]。多媒體教學可運用于以下幾個教學設計環節以提升課堂效率：利用多媒體演示線性代數與幾何之間的關系；利用多媒體進行大型線性方程組運算；利用多媒體進行矩陣的運算和應用實例講解、例題分析、播放視頻和創新性習題等。

3.2.2 基于慕課、微課等平臺開展線上、線下交互式教學

隨著慕課等在線教育模式的興起，教師在課堂上可用的教學資源越來越豐富。由教育部高等學校大學數學課程教學指導委員會等單位組織的全國高校數學微課程教學設計競賽至今已成功舉辦三屆，積累了來自全國各地的公共數學課教師們珍貴的微課視頻，這些微課視頻均是將信息技術與教育教學內容緊密融合、創新教學設計的優秀成果。因此，在線性代數課程設計中，可以設計適當的章節，引導學生先在線上觀看相應的知識點微課視頻，做好隨堂筆記，完成在線作業，記錄問題疑惑；再在線下課堂梳理知識脈絡，講解重點、難點，詳解線上例題、作業，并進行適當拓展和延伸。

3.2.3 利用學習通、課堂派等最新的課堂教學管理工具優化課堂質量

這些工具大都具有教學備課、分組學習、課堂互動、考勤表現、班級公告、教學分析、課程管理、成績統計、隨堂測試、教學資料備份、分析處理教材、精品課程制作、優秀作品發布等功能，可以根據實際情況與需求，在課堂適時利用其中的一些功能，如進行課堂小測等，及時了解學生的聽課情況，實現課堂質量的同步把控和優化。

當然，在知識傳授與反饋方面，傳統的板書教學也有其不可替代的優勢。教師通過板書動態呈現知識點推導全過程，把數學思維的形成、發展“抽絲剝繭”、條分縷析地傳授給學生，可實現與學生的直接交流和同步互動，隨時根據學生反饋信息調整課程進度和講授方式，更有利于學生理解、掌握課程內容，同時培養學生的抽象思維能力。因此，在線性代數的教學過程中，既要考慮信息技術和線性代數教學的深度融合，還應注重現代教學手段(電子課件、計算機軟件、多媒體、網絡)與傳統教學(黑板、粉筆)的優化組合，全面提升課堂教學效果。

3.3 探索數學軟件與線性代數常規課程內容緊密配合的教學設計

計算機技術的迭代式發展將人類社會帶入信息化時代，在這一背景下，各類性能優越的應用性數學軟件也層出不窮，如Matlab、Mathematica、Maple等。這些軟件作為人的輔助和延伸運用于數學領域，一方面在運算速度上突破了筆算的限制，另一方面在操作難度上使原本繁瑣復雜的矩陣、行列式等的運算簡單易行。在線性代數課程教學中引入此類軟件，既可以將學生從這些計算中“解放”出來，又可通過對軟件運行本質算法的展示和剖析，幫助學生理解信息技術應用過程中看似“不可知”的艱深原理。因此，可以結合課程內容，介紹Matlab等數學軟件在代數計算中的用法，讓學生學會在應用線性代數知識解決實際問題時如何應用數學軟件，同時通過對一些具體問題的計算幫助學生對一些抽象的代數概念進行理解，加深對代數理論知識的認識。

具體落實在教學實踐中，可以考慮利用數學軟件進行教學設計的章節有行列式的計算、矩陣的運算、求逆矩陣、求矩陣的特征值和特征向量、解線性方程組等。

例2 求方陣逆矩陣的教學設計。

(1)從簡單的三階方陣入手，先通過兩種筆算方法進行求解：一是按照定義，先求伴隨矩陣，再求逆矩陣；二是利用初等變換法求逆矩陣。

(2)求四階以上方陣的逆矩陣。此時，學生可能會感覺繁瑣，可進一步介紹逆矩陣的Matlab數學軟件求法。

例3 求解線性方程組的教學設計。

(1)從簡單的三元線性方程組入手，先通過兩種筆算方法進行求解：一是用中學學習過的加減消元法求解；二是用初等變換求解線性方程組的方法。

(2)求解四元以上的線性方程組。此時，學生可能會遇到困難，可進一步介紹求解線性方程組的Matlab數學軟件求法。

4 分析與思考

隨著人工智能時代的到來和新工科建設的逐步推進，線性代數等數學類的基礎課程迎來廣闊的前景和重要的發展機遇，為其他學科深入學習提供必要的知識和應用能力儲備。在教學實踐過程中我們發現，線性代數知識與專業課知識有機統一、與信息技術深度融合、與數學計算軟件緊密配合的教學模式，既可以提高教學內容的系統性、科學性、前瞻性和趣味性,又可加強即時互動，根據反饋同步進行課程調整,為學生提供最優質的學習資源，便于其隨時隨地根據自身知識結構和訴求“定制”個性化學習方案，進行自主化學習，真正“形成以學習者為中心的工程教育模式”[1]。當然，在課堂教學設計中仍然有幾個問題需要我們著重考慮：一是要根據教學內容的特點選擇相應的信息技術工具；二是根據不同專業、不同學生層次設計不同的應用實例和方案；三是在與專業知識和信息技術融合時，要以線性代數課程本身作為立足點，考慮適度性原則。

新工科建設是一項浩繁的系統化工程。在這一理念指導下，線性代數課堂教學改革尚有諸多問題亟待解決。改革的推進不可避免地會受到一系列條件的制約，如學校的硬件設施、教師的教學能力、師生對相關技術的掌握和應用水平等。在此背景下，新工科的教學策略如何實施、教學范式如何改革等問題，都需要教育工作者根據新工科的具體推進情況，進行持續性的深入思考與實踐。

[參考文獻]

[1]教育部.“新工科”建設復旦共識[J].高等工程教育研究,2017(1):10-11.

[2]教育部.“新工科”建設行動路線(“天大行動”)[J].高等工程教育研究,2017(2):24-25.

[3]教育部.教育部高等教育司關于開展新工科研究與實踐的通知[Z].教高司函[2017]6號.

[4]鐘登華.新工科建設的內涵與行動[J].高等工程教育研究,2017(3):1-6.

[5]吳華,魏佳.信息技術與大學數學課程整合的方式與理論探討[J].大學數學,2008(3):28-32.

[6]王強,方文波,張俊杰,等.教育信息化背景下高校線性代數課程教學內容創新的探索與實踐[J].大學數學,2012(5):4-7.

[7]同濟大學數學系.工程數學·線性代數[M].6版.北京:高等教育出版社,2014.

[8]周開發,曾玉珍.新工科的核心能力與教學模式探索[J].重慶高教研究,2017(3):22-35.