一種基于粒子群算法的減速器優化設計

陶澤南

(陸軍軍事交通學院學員五大隊，天津300161)

粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)是一種基于鳥群覓食的啟發式算法。它與其他智能優化算法相比，具有收斂迅速、原理簡單、操作可靠、便于實現等優點，目前已被廣泛應用于工程領域。

圓柱齒輪減速器是一種相對精密的機械，使用它的目的在于降低轉速，增加轉矩。在減速器的設計中，如果能在保證齒輪強度的前提下，縮小減速器的體積，減輕減速器的重量，將對機械設備的制造具有重要意義。本文采用的粒子群算法，為圓柱齒輪減速器的體積優化提供了一種新思路。

1 減速器優化的約束條件與數學模型

1.1 確定目標函數和設計變量

圖1 圓柱齒輪減速器的結構

圓柱齒輪減速器的結構如圖1所示， 輸入軸上的小齒輪與輸出軸上的大齒輪相嚙合， 使減速器起到減速增扭的作用。 影響減速器體積的因素[1]主要有齒輪厚度b， 小齒輪的齒數z1， 齒輪模數m， 減速箱的寬度l1， 小齒輪軸孔徑ds1， 大齒輪軸孔徑ds2， 因此可以設計變量[b,z1,m,l1,ds1,ds2]=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]。 減速器的體積可近似看成齒輪和軸的體積之和， 其目標函數為

式中：輸入軸伸出長度l2為25 cm；輸出軸伸出長度l3為30 cm；d1、d2、c分別為小齒輪的分度圓直徑、大齒輪分度圓直徑、頂隙，其大小與設計變量有關。

1.2 確定約束條件[2—3]

對于圓柱齒輪減速器來說，其約束條件如下。

1)齒面接觸強度條件

σH-[σH]≤0

式中：齒輪的許用接觸應力[σH]為855 MPa；載荷系數K為1.3；彈性模量ZE為189.8 MPa；節點區域系數ZH為2.5；σH為齒輪的實際接觸應力；T1為小齒輪傳遞的轉矩；u為大齒輪與小齒輪的齒數比。

2)小齒輪的直徑約束條件

d1≤32 cm

3)為保證齒輪的可靠性，要求輪齒具有一定的承載能力，其齒寬系數條件為

4)根據結構關系，軸的支撐跨距應滿足

l1≥b+0.2ds2+4

5)齒根彎曲強度條件

式中：齒輪的許用彎曲應力[σF1]為261 MPa，[σF2]為213 MPa；σF2、σF1分別為大、小齒輪的實際彎曲應力；YF為對應齒輪的齒形系數。

6)軸的彎曲強度條件

式中：軸的許用彎曲應力[σb]為55 MPa；T為軸所受轉矩,且大齒輪T為5T1；應力校正系數α為0.59；σb為軸的實際彎曲應力；σb2、σb1分別為大、小齒輪軸的實際彎曲應力；M為軸所受的彎矩；W為軸的抗彎剖面系數。

1.3 建立數學模型

根據上述目標函數和約束條件，可建立如下數學模型，其中f(x)是優壓減速箱體積的目標函數，gi(x)是圓柱齒輪減速器的約束條件。

g2(x)=x2x3-32≤0

g5(x)=x1+0.5x6-x4+4≤0

上述數學模型可簡潔地表示為

2 粒子群算法的原理

粒子群算法屬于進化算法的一種，它是從隨機解出發，通過迭代尋找最優解。本節首先介紹了基本粒子群算法的原理，然后對處理約束條件的懲罰函數法進行介紹，最后將二者結合，研究了動態改變懲罰系數的改進粒子群算法，為下一節減速器優化的實例提供理論基礎。

2.1 粒子群算法

粒子群算法也叫鳥群覓食算法，科學家從鳥群捕食的現象中得到啟發，假設了這樣一個場景：一群鳥聚集在一片區域中尋找食物，它們都不知道食物的具體位置，但是知道自身距離食物有多遠。也就是說每一個體都有一個大概的搜索范圍。為了最快地找到食物，它們會追隨離食物最近的那只鳥去搜索，這就大大節約了時間，提高了效率。上述思想體現了群體間的交流協作，鳥群除了要記錄自身找到的最佳位置外，還要依靠群體間的信息共享使群體發生由無序到有序的轉變。

在上述場景中，每一只鳥代表一個粒子，鳥的數量就是參與尋優過程的粒子規模。食物的位置代表整體最優值，是機械優化設計中的最佳方案。在應用基本粒子群算法時，首先賦予每個粒子一組初始解(包括位置和速度)，然后粒子們會依據適應度值調整自己的飛行狀態，以保證向靠近食物的位置飛行。假設粒子們都具有記憶能力，它們可以記錄自己的當前位置、自身經歷過的最好位置(個體極值),以及種群中的最好位置(種群極值)。每迭代一次，個體極值和種群極值更新一次，通過前后極值的對比不斷調整運動方向，以接近食物位置[4]。

粒子i在ts和 (t+1) s的速度、位置關系為：

vi(t+1)=wvi(t)+c1r1(pi(t)-xi(t))+

c2r2(pg(t)-xi(t))

(1)

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)

(2)

式中：w為慣性權重，代表粒子對當前速度繼承的比重；c1和c2為學習因子，作用是控制粒子向群體最優值接近，其值越大算法越易收斂，通常取值為2；r1和r2為0到1之間的隨機數；pg(t)表示種群中的最優位置；pi(t)表示粒子經歷過的最優位置。

速度更新公式由3部分組成。第一部分決定了粒子的先前速度，代表對原有速度的繼承。慣性權重的大小對粒子的全局搜索能力具有一定影響，一般設定慣性權重在迭代過程中由大到小線性遞減，以滿足粒子在前期廣泛搜索和后期精細搜索的需要[5]。第二部分表示粒子向自身學習的過程，也叫自我學習能力。第三部分表示粒子向群體學習的過程，也叫群體學習能力。

2.2 處理約束條件的懲罰函數法

一般的機械優化問題多為約束條件下的尋優，如何處理約束條件成為解決優化問題的關鍵步驟。懲罰函數法的基本原理，就是將約束條件進行加權轉化后與目標函數結合，形成新的目標函數，該新函數也稱為適應度函數，其值就是粒子的適應度值，并以此來尋找全局最優解[6]。

優化問題的一般形式為:

minf(x)x=[x1,x2,…xn]∈Rn

(3)

式中，p、q分別為約束條件gi(x)、hi(x)的個數。

建立懲罰函數的目的，在于對不滿足條件的粒子進行懲罰，篩選出滿足條件的粒子，并在這些粒子中尋優。可以把懲罰函數值作為適應度值，適應度值較大說明粒子所受懲罰較嚴重，不是滿足條件的解，應舍棄，適應度值較小說明粒子能較好地滿足約束條件，應保留。基于這個思想，建立的懲罰函數。

設H(x)是懲罰項，定義為

(4)

式中：Φ(φi(x))是多級分配函數；θ(φi(x))是懲罰函數的級數，其中φi(x)=max(0,gi(x))i=1,2,…,p或φi(x)=|hi(x)|i=p+1,p+2,…,q。

懲罰函數定義為

F(x)=f(x)+μ(k)H(x)x∈Rn

(5)

式中μ(k)是懲罰系數。

懲罰函數的級數參數設置如下：

1)若φi(x)<1，則θ(φi(x))=1；

2)若φi(x)≥1，則θ(φi(x))=2；

3)若φi(x)<0.001，則Φ(φi(x))=5；

4)若0.001≤φ1(x)<0.1，則Φ(φi(x))=20；

5)若0.1≤φi(x)<1，則Φ(φi(x))=100；

6)若φi(x)≥1，則Φ(φi(x))=500。

2.3 自適應調節懲罰系數的改進粒子群算法

懲罰系數影響著粒子群算法的收斂速度，如果懲罰系數設置過大，會導致算法過早收斂，難以搜索到最優解；懲罰系數設置過小，會因為懲罰力度不夠而失效，導致增加運算量，所以設計一種能自適應調節懲罰系數的改進粒子群算法(DPPSO算法)，以期能較快收斂。該算法在前期將懲罰系數設定得較小，以滿足快速全局搜索的需要，在每次迭代后，如果通過計算適應度值發現相鄰兩代粒子無明顯的差值，說明尋優過程陷入了局部最優解，需要增大懲罰系數。程序框圖如圖2所示。

圖2 DPPSO算法的基本框圖

具體步驟如下：

1)定初值：在D維空間內，通過賦值函數隨機初始化粒子的速度和位置；

2)設置懲罰系數：在前期設定一個較小的懲罰系數μ(0)；

3)建立評價機制：通過適應度函數計算每個粒子的適應度值，適應度值的大小代表了粒子的尋優結果；

4)分類存儲：以適應度值為指標，將各粒子當前找到的最好位置存儲在個體極值中，將全局的最好位置存儲在種群極值中；

5)動態改變懲罰系數：在前n次迭代中，懲罰系數μ=μ(0)；n+1次迭代以后，如果相鄰兩代粒子無明顯的適應度差值，則將懲罰系數調整為原來的m倍；

6)更新粒子：根據式(1)、(2)更新粒子；

7)再次分類存儲：比較前后兩次適應度值，將結果較好的位置作為當前位置，并存儲在個體極值和種群極值中；

8)判斷條件：設定迭代次數，當粒子更新的次數大于迭代次數時，更新停止，輸出結果；若小于等于迭代次數時，返回步驟5繼續搜索。

3 基于粒子群算法的減速器優化設計

設某減速器的輸入功率為P=280 kW，傳動比i=5。利用粒子群算法進行優化計算時，其參數設置為：粒子的種群規模N=40，維數D=2,學習因子c1=c2=2，慣性權重w=0.5，最大迭代次數M=300，n=50，m=1.5 cm，初始懲罰系數μ(0)=0.1。經MATLAB編程，得出收斂曲線，如圖3所示。

圖3 函數的迭代曲線

分析圖3可知，粒子在迭代到50～150次時，陷入了局部最優解。這時通過增大懲罰系數，粒子在迭代到180次時開始收斂于某一固定值，該值即為全局最優解。優化前后的參數見表1。

表1 優化結果對比表

將編程得到的結果進行標準化處理后得z1=10，b=4.5 cm,m=7.5 cm,l1=11 cm,ds1=18 cm,ds2=8 cm。原減速器的體積為f0=2.431 5×105cm，優化后減速器的體積為f1=1.769 6×105cm3。

4 結語

本文基于優化設計思想，建立了減速器的數

學模型，并在經典PSO算法的基礎上，重點研究了自適應調節的DPPSO算法。通過動態改變懲罰系數，較好地解決了PSO算法中收斂速度慢、易陷入局部最優解的缺點，并將該算法應用在減速器體積優化中。從優化前后的結果看，優化后的減速器體積為1.769 6×105cm3,體積減輕了27.2%，在實際加工中節約了成本，具有一定的經濟效益。