變性橢圓齒輪的非圓擺線齒廓設計

童 亮，計三有

（武漢理工大學 物流工程學院，武漢 430063）

非圓齒輪，目前在自動化行業中得到了廣泛的應用。比如在紡織機械中周期性改變經緯紗的密度，在液體流量計中通過一對卵形齒輪提高計數器的校對度，在可變頻率擺動器和電位計等測量儀器中以及飛行儀表、火炮指揮儀等解算裝置中實現某種運算功能等。非圓擺線，作為一種新型的非圓齒輪齒廓，有著極大的應用價值，目前對于非圓漸開線齒廓已經有了許多研究[1-3]，但對于非圓擺線齒廓的研究較少，其設計、制造、傳動特性等問題仍然需要更多的關注。文獻[4]提出了非圓擺線針輪傳動，針齒按弧長均勻分布在節曲線上，在運動學方面與非圓漸開線齒輪有相同的特點。文獻[5]基于現有擺線針輪類減速器轉臂軸承相對轉速高、受力大，長時間工作會較早出現失效以及輸出機構易出現疲勞斷裂等缺點，提出了新型純滾動類擺線針輪行星傳動。文獻[6]介紹了非圓擺線的定義并對其在變中心距非圓齒輪行星傳動中的設計問題進行了分析。本文基于齒輪嚙合基本原理，結合產形齒輪的概念，分析了具有非圓擺線齒廓的變性橢圓齒輪設計問題。

1 非圓擺線齒廓的形成機理

如圖1所示，l1和l2為一對相互嚙合的非圓齒輪的節曲線。假設齒輪1的節曲線固定，齒輪2的節曲線繞齒輪1的節曲線純滾動。根據齒廓嚙合基本定律，齒輪2的齒廓包絡線就是齒輪1的齒廓曲線。

假設有一產形齒輪，在兩非圓節曲線相互純滾動的同時，產形齒輪也在同一接觸點與兩節曲線純滾動。這樣產形齒輪可以視作一把虛擬“刀具”，分別在兩節曲線上切制非圓齒輪齒廓。而且這兩個非圓齒輪齒廓是可以滿足嚙合條件的，是一對共軛齒廓[7]。這樣就可以把一對共軛非圓齒輪的設計問題，轉化為同一產形齒輪與兩共軛非圓齒輪的設計問題。

當產形齒輪為圓針輪時，在兩非圓齒輪節曲線上生成的齒廓就是一對共軛非圓擺線齒廓。假設產形齒輪在齒輪1的外側，齒輪2的內側。則生成的齒輪1齒廓曲線就是非圓外擺線的等距曲線，齒輪2的齒廓曲線就是非圓內擺線的等距曲線。

進一步地，當齒輪1和齒輪2的節曲線均為變性橢圓時，生成的齒廓就是相應的橢圓擺線等距曲線。

2 橢圓擺線的齒廓數學模型

2.1 齒輪1的橢圓擺線齒廓設計

在圖1中，假設兩齒輪均為變性橢圓齒輪。其節曲線方程在坐標系x1O1y1和x2O2y2中分別為r1=r1（φ1）和 r2=r2（φ2）。 取齒輪 1 單獨分析，如圖 2 所示。

圓O代表圓針輪的節圓，半徑為r0。繞齒輪1的節曲線l1純滾動。圖示位置兩者在P點接觸。針齒分布圓的半徑為rk，針齒半徑為rx，針齒數為z1。坐標系x3O3y3與節圓O固連。

初始狀態時，兩者的接觸點在l1上為A1，在節圓O上為A。節曲線l1上由A1點到P點弧長s1=α作為積分變量被引入，無實際意義。由于兩者純滾動，所以節圓上A點到P點間的弧長s=s1。

圖2 齒輪1齒廓生成示意Fig.2 Tooth profile generating diagram for gear 1

通過P點建立坐標系x4Py4。x4P軸為兩節曲線公切線方向，y4P軸為公法線方向。x4P軸與x1O1軸間的夾角為μ，滿足：是兩針齒間的齒距。第k和第k+1個針齒中心坐標可以表示為

坐標系x4Py4中，當P點處于產形圓針輪的第k和第 k+1 個針齒之間時，滿足（k-1）δ≤s＜kδ。 其中

根據齒廓嚙合基本定律，在坐標系x4Py4中，由P點一共可以確定4個嚙合點坐標，統一用（x4，y4）來表示，滿足

式中：j的取值為 k，k+1。

坐標系 x4Py4中一點（x4，y4），在 x1O1y1中的對應點為（x1，y1）。 利用坐標轉換關系，應有

這既是嚙合點在坐標系x1O1y1中的點坐標，也是齒輪1的橢圓擺線齒廓方程。

2.2 齒輪2的橢圓擺線齒廓設計

同理，可以利用同一產形齒輪生成齒輪2的非圓擺線齒廓。不同的是，兩齒輪為內嚙合狀態，如圖3所示。

圖3 齒輪2齒廓生成示意Fig.3 Tooth profile generating diagram for gear 2

2.3 產形齒輪的基本選用原則

由之前的討論確定產形齒輪為圓針輪形式。但其相關參數仍然受到橢圓齒輪相關參數的限制。最基本的一點，產形齒輪的節圓半徑r0必須根據橢圓齒輪的節曲線長度來確定。一般變性橢圓齒輪節曲線均為正曲邊形，不妨記曲邊數為n，單條曲邊的方程為 r=r（φ）。 需滿足

接下來的針輪中心坐標方程與齒輪1的方程（2）、方程（3）完全相同，嚙合點坐標方程與齒輪 1的方程（4）完全相同。嚙合點在坐標系x2O2y2中的坐標記為（x2，y2）。坐標轉換方程相應變為如下形式

這既是嚙合點在坐標系x2O2y2中的點坐標，也是齒輪2的橢圓擺線齒廓方程。

由于齒輪1、齒輪2和產形齒輪三者間是純滾動，所以節曲線l2上A2點到P點的弧長s2=s=s1。根據傳動比函數可以確定坐標系x1O1y1中節點P在坐標系x2O2y2中的對應接觸點，圖3中仍記為P點，坐標為（φ2，r2）。 坐標系 x2O2y2中，x4P 軸與 x2O2軸間的夾角為μ′，滿足：

產形齒輪的其它參數，需要綜合考慮重合度及曲率半徑等諸多因素的限制。

3 三維建模與運動仿真

選取一組設計參數，齒輪1節曲線的曲邊數為n1=3，曲邊的內分割數為m1=2。齒輪2節曲線的曲邊數為n2=5，曲邊的內分割數為m2=2。橢圓偏心率為e=0.06。中心矩a=143.0844 mm。針輪節圓半徑為r0=17.9982 mm。針齒分布圓的半徑為rk=18.8981 mm，針齒半徑為rx=3 mm，針齒數為z1=9。

在Matlab中編寫程序，計算橢圓擺線齒廓，將數據點輸出到Pro/E軟件中，建立機構整體三維模型，如圖4所示。

圖4 變性橢圓齒輪機構三維模型Fig.4 3-dimentional models for deformed ellipse gear mechanism

需要注意的是，齒輪2的輪齒突出部分并非圓形，而是由兩段橢圓內擺線的等距曲線以及過渡曲線組成。將模型導入ADAMS軟件中，設置好材料和約束，添加接觸關系后，進行運動仿真。結果如圖5所示。

圖5 角速度仿真曲線Fig.5 Simulational curves for angular speed

設置齒輪1的轉速時所選參數為30°/s。根據橢圓齒輪間的傳動關系，齒輪2的轉速理論上應該是，單位是°/s。將ADAMS仿真曲線數據導入Matlab軟件中，與理論速度曲線對比，如圖6所示。

圖6 仿真速度曲線與理論速度曲線對比Fig.6 Contrast diagram between simulational speed curve and theoretical speed curve

由圖6可知，仿真速度曲線與理論速度曲線整體趨勢基本相同，和設計預期相符；但局部仍然有較大波動。可能的原因有許多：多點參與嚙合時，各嚙合點接觸變形不同，引發沖擊；建模精度仍然有待提高等等。仿真結果初步驗證了整個設計、建模過程的正確性。

4 結語

非圓擺線傳動，相對于非圓漸開線傳動重合度更大；兩輪齒間的接觸為外凸齒廓和內凹齒廓接觸，接觸應力小，承載能力更強；輪齒磨損更均勻。有望在自動化行業和精密儀器儀表行業中得到廣泛的應用。本文以一對變性橢圓齒輪為研究對象，重點分析了以圓針輪作為產形齒輪生成非圓擺線齒廓的過程并建立了相應的數學模型。然后基于這一數學模型，選取參數進行了實例建模與仿真，對整個設計過程進行了有效驗證。為具有橢圓擺線齒廓的變性橢圓齒輪的設計、制造、應用打下了基礎。

[1]譚偉明，梁燕飛，安軍，等.漸開線非圓齒輪的齒廓曲線數學模型[J].機械工程學報，2002，38（5）：75-79.

[2]史勇，王生澤.非圓齒輪齒廓數值算法研究[J].機械科學與技術，2013，32（8）：1130-1133.

[3]宋洪舟，魏世民，廖啟征，等.漸開線錐形非圓齒輪的嚙合原理與仿真模型[J].北京理工大學學報，2013，33（8）：788-793.

[4]林超，王延濤.非圓擺線針輪傳動的原理與設計[J].東北大學學報：自然科學版，2014，35（8）：1190-1194.

[5]宋原.純滾動類擺線針輪傳動嚙合原理研究[D].北京：北京郵電大學，2014.

[6]姚文席.非圓齒輪設計[M].北京：機械工業出版社，2012：94-103.

[7]吳序堂.齒輪嚙合原理[M].西安：西安交通大學出版社，2009.