善用類比方法 構建整體框架
——“分式”單元教學課的特色與亮點

■卓 斌

此次評優課活動中，13位優秀選手共同執教了“分式”單元教學課。這種課型作為省級比賽課題是第一次，充分體現了主辦者的大膽創意與精心設計。為什么要開設“單元教學課”呢？省教研室副主任董林偉先生認為：一是符合學生的認知規律。人類學習的一般規律為：先進行“前建構”，再到局部的深入研究，然后形成整體認識，最后通過反思形成“后建構”。二是這種課型關注學生的核心素養的形成與關鍵學科能力的培養，把隱藏在顯性數學知識背后的隱性知識挖掘、抽取出來。譬如，這節課要著力解決好三個核心問題：1.為什么要學習分式？2.學習分式的哪些內容？3.我們如何學習分式內容？

創新帶來了活力與動力，更帶來了別樣的精彩與創意。所有的參賽教師都能夠關注“分式”概念的教學，注重分式知識發生、發展、形成的過程性設計，讓學生感受到學習分式知識的必要性與迫切性；都能夠注重數學問題的設計，揭示分式概念的本質與內涵，體現分式定義的合理性與科學性；都能夠注重數學活動的設計，體現學生數學學習方式的變革，讓學生成為課堂學習的主角；都能夠注重多媒體技術的輔助作用，讓課堂充滿時代氣息，實現了現代教育技術手段與數學課程的有機整合；都能夠注重學習目標的達成，達到預期的教學效果，對新課改的深入實施發揮了良好的示范引領作用。具體的亮點與特色體現在以下幾個方面。

1.注重創設問題情境，從生活實際或數學內部提出問題，體現學習新知識的必要性。

分式概念的產生大致有兩條途徑：一是從生活實際出發，抽取出一定量的數學式子，然后觀察這種式子的共同特征，再抽取其本質屬性，進而給出“分式”的數學定義。

案例1.列式表示下列問題中的數量：

（1）如果我市人口總數為a人，綠地面積為b平方米，那么該市人均擁有綠地 平方米。

（2）有兩塊水稻田，一塊面積為a公頃，產水稻m千克；另一塊面積為b公頃，產水稻n千克，這兩塊水稻田平均每公頃產水稻 千克。

（3）某市到鹽城220千米，一輛客車從該市開往鹽城速度為x千米/小時，需要 小時；一輛小轎車也從該市開往鹽城，速度比客車每小時快10千米，則小轎車到達目的地需要 小時。

案例2.開門見山地提出問題：兩個整數相除，結果有哪些形式？兩個整式相除，結果又有哪些形式？

教師引導學生總結：任意兩個整數相除不一定是整數，也可能得到分數。并舉出正分數、負分數、帶分數等這樣的運算結果。兩個整式相除，有可能得到類似于，，，的一些式子。

基于此，分式概念產生的另一種途徑就是從整式四則運算的封閉性出發。整式是分式產生的另一個生長點，整式對于加法、減法、乘法具有封閉性，但是兩個整式相除運算時，會產生一類數學式子不在整式范疇內，很值得研究，從而由數學內部運算的封閉性提出了研究分式的必要性。

2.注重抽取分式概念的基本要素，讓學生經歷分式概念的建構過程，有利于培養學生的數學抽象概括能力。

在給出幾個分式之后，如何自然合理地、獨立自主地建構分式的概念，成為必須面對的一個難題。其中較好的處理方式之一就是列表對比。

案例3.請觀察分數與新式子之間的相同點是什么，分子與分母的不同點有哪些，并完成下表。

類別相同點不同點 分子分母分數分數的形式整數整數新式子整數或者含有字母含有字母

通過列表不難發現，“新式子”具有以下三個特征：一是具有分數的形式；二是分母中含有字母；三是分子中可以是整數，也可以含有字母。從而學生基本上能夠自主地給出“分式”的定義：

一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么代數式叫作分式。

3.注重溫故知新，借助類比的方法，構建分式內容的整體框架。

單元教學課的“重頭戲”就是引領學生建構這一章的主要學習內容。解決這一個問題的關鍵點就是找到新知識的生長點與培養基，大多數選手不約而同地想到“分數”。通過引導學生回憶小學階段學習了分數的哪些內容，基本邏輯順序是什么，最終得到“分數”一章的內容框架為：定義——基本性質（約分、通分）——四則運算（加法、減法、乘法、除法）——應用（解分數應用題）。

借助合情推理中的類比方法，從而得到“分式”一章可能的學習內容有：定義——基本性質（約分、通分）——四則運算（加法、減法、乘法、除法）——應用（解分式方程）。

4.注重設計各類活動，拓展數學學習方式，展示分式內容的學習成效。

在課堂學習中，學生通過數學游戲，動手操作，歸納概括等方式，展示數學思維的本質，以及新授內容的學習成果。

案例4.按照要求拼一拼，想一想。材料為：全等的長方形紙片若干張。操作方法如下：

（1）1張長方形紙片的面積為b m2，一邊長為?a m，則另一邊長為 m；

（2）2張長方形紙片的面積為2b m2，一邊長為2a m，則另一邊長為 m；

（3）3張長方形紙片的面積為3b m2，一邊長為3a m，則另一邊長為 m；

（4）n張長方形紙片的面積為nb m2，一邊長為na m，則另一邊長為 m。

式的分子、分母同時乘或除以一個不為0的數，分式的值不變。

案例5.數學游戲：小組同學到組長處，從口袋中任意抽取兩張卡片，并將抽到的兩張卡片組成分式（分數線可直接使用，不需抽取）。接著，選出兩個分式，在小黑板上進行加、減、乘、除中的任意一種運算，小組內交流運算法則。

通過一系列數學游戲，學生掌握了分式的概念，設計了分式的各種運算，并且借助小組的力量，討論了分式四則運算法則。課堂氣氛活躍、熱烈，生成了很多原生態的成果。

5.注重數學思想方法的滲透，依托類比與轉化，解決了新知識的學習方法問題。

13節課的共性優點就是，都能夠把類比與轉化的數學思想方法貫穿于研究“分式”內容的始終。有的用分數與分式進行類比，有的用整式與分式進行類比，把代數對象的研究經驗進行了合理的遷移，取得了良好的效果。

大多數學生通過回憶七年級學習的“一元一次方程”這章內容，能夠大膽地為這個方程命名“分式方程”。至于如何解方程，有的學生提出了“根據等式性質，去掉分母，轉化為一元一次方程”的構想，既合情合理，又具有創意，展現了活學活用的本領。類似的情景，在分式的通分與約分、分式的四則運算中都有生動的體現，可謂是順理成章，水到渠成。

6.注重反思與總結，從數學學習的過程與活動中撈足油水，積累了豐富的學習經驗。

“編簍編筐，重在收口”。每位選手都十分重視反思與總結環節。有的教師帶領學生歸納了分式概念的學習框架：為什么要學習這個概念，學習了分式的哪些內容，采用了什么方法來學習，有的教師幫助學生梳理了按照什么樣的思路研究分式這一章知識；有的教師讓學生談一談這一節課的學習收獲及困惑。

當然，課堂教學永遠是一門遺憾的藝術。譬如，有個別教師在情境設計方面不夠合理，或者不夠貼近學生的生活常識，或者選取的實例缺少代表性與普遍性。有個別教師在借班上課的情況下，不能自然地順應學生的思路展開教學，忽視學生本身的認知需求，更多地按照預設的程序進行教學，師生之間互動不夠順暢等。

結合這次課堂教學觀摩活動，給予青年教師三點建議：一是數學教學首先要理解數學。數學教學要理解教材與課程標準，準確把握數學核心概念的內涵與外延。數學是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也。二是數學教學要理解學生。理解學生的認知基礎和生活經驗，以此找到學生學習新知識的認知起點，進而找到生長點與發展點。充分預測學生在學習新知識時可能遇到的障礙。三是數學教學要理解教學。要站在學生的立場思考問題，更為重要的是你的學生是如何思考問題的，要努力改進學生的學習方式，促進學生的思維發展。這才是數學教學的品質所在，精髓所在！

編后：在本次賽課活動中，江蘇省教研室副主任、特級教師、教授級高級教師董林偉表示，“圖形的運動”一課涉及的兩組活動能充分展示學生學習方式的轉變，讓學生在生活經驗的基礎上經歷操作、觀察、抽象與分析的活動過程，感受圖形的運動方式，發展空間觀念與抽象能力、感悟基本數學思想。這種基于學生自主的學習活動，不僅能幫助學生獲得學習經驗，還能幫助學生掌握良好的學習方法，提高數學思維能力，形成數學的核心素養。“分式”單元整體建構教學是本次賽課活動中推出的一種新的教學方式，是數學核心素養的課程目標下教學方式的重要轉變。單元整體建構式教學不同于以往以關注知識為主的教學方式，而是引導學生運用已有知識、方法與經驗，通過類比的方法，對即將學習的新內容進行整體建構，這種建構不是第一節課內容的教學，也不是整章知識的教學，而是通過教學，引導學生對一章或一個單元進行整體把握。單元整體建構式教學方式契合了新課程改革提出的發展學生核心素養的目標。這次賽課的主題與形式是新教學方式的嘗試，必將引領江蘇初中數學課改的方向。