對一道高考題的探究

曾卓楊

在做2012江蘇卷第19題時，讓我倍感壓力，這道題不管是運算還是解題的思路與方法，對我們考生都提出了很高的要求，但在對這道題的解剖過程中，隨著層層遞進，步步深入，發覺這道題設計巧妙，意猶未盡，值得去挖掘與探討。

2012江蘇卷第19題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），已知點（1，e）和（e，32）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P，

（i）若AF1-BF2=62，求直線

AF1的斜率；

（ii）求證：PF1 + PF2是定值.

解：（1）橢圓的方程為x22+y2=1.

（2）由（1）得F1（-10），F2（10），又∵AF1∥BF2，

∴設AF1、BF2的方程分別為my=x+1和my=x-1，設A（x1y1），B（x2y2） y1>0，y2>0.

∴x122+y12=1my1=x1+1消去x1得（m2+2）y12-2my1-1=0解得y1=m+2m2+2m2+2

∴AF1=（x1+1）2+（y1-0）2=（my1）2+y12

=m2+1·m+2m2+2m2+2=2（m2+1）+mm2+1m2+2.①

同理，BF2=2（m2+1）-mm2+1m2+2.②

（i）由①②得，AF1-BF2=2mm2+1m2+2，即2mm2+1m2+2=62，解得m2=2.

注意到m>0，∴m=2，∴直線AF1的斜率為1m=22.

（ii）證明：∵AF1∥BF2，∴PBPF1=BF2AF1，即PBPF1+1=BF2AF1+1

PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

∴PF1=AF1AF1+BF2BF1，由點B在橢圓上知，BF1+BF2=22，

∴PF1=AF1AF1+BF2（22-BF2），

同理，PF2=BF2AF1+BF2（22-AF1）

∴PF1+PF2=AF1AF1+BF2（22-BF2）+BF2AF1+BF2（22-AF1）=22-2AF1·BF2AF1+BF2，

由①②得，AF1+BF2=22（m2+1）m2+2，AF1·BF2=m2+1m2+2，

∴PF1+PF2=22-22=322.∴PF1+PF2是定值.

求解直線與橢圓位置關系問題的基本策略是運用消元思想與方程思想，將問題轉化為一元二次方程問題.對該題第（2）問及其解答做進一步探討，能從看似平常的解答中得到一些妙處橫生的結論：

（i）以運動的觀點來看問題，當滿足條件的A，B是橢圓上兩動點時，設 AF1-BF2=d（d>0），由第（2）（i）的解答可知d=2mm2+1m2+2=2m4+m2m4+4m2+4m>0，易得m4+m2m4+4m2+4∈（0，1），故當d∈（0，2）時，方程d=2mm2+1m2+2有解，直線AF1的斜率存在，因為d=62 ∈（0，2），所以相應可求直線AF1的斜率，進一步探討，當AF1-BF2=0時，滿足條件的直線AF1存在，但它的斜率不存在，當AF1-BF2<0時，AF1-BF2=d（d<0），由對稱性可知， d∈（-2，0）時，直線AF1的斜率存在且為負值，而|d|≥2時，不存在這樣的直線AF1與直線BF2，這就說明d的變化相應會引起m的變化，而對m∈R，由①②得 1AF1+1BF2=m2+22（m2+1）+mm2+1+m2+22（m2+1）-mm2+1=（m2+2）·22（m2+1）2（m2+1）2-m2（m2+1）=22（m2+2）m2+2=22.

也就是說，對任意m∈R， 1AF1+1BF2=22恒成立，由此就可以得到該問的另一種求解方法：

由AF1-BF2=62，1AF1+1BF2=22，解得BF2=3-322，

由橢圓焦半徑公式有BF2=2-22xB，則2-22xB=3-322，解得xB=3+12，

代入橢圓x22+y2=1，因為B點位于x軸上方，所以yB=2-32，

則kAF1=kBF2=yBxB-1=2-33-1=12（4-23）3-1=12（3-1）23-1=22，

所以直線AF1的斜率為22.

不難看出，在這個問題中，1AF1+1BF2為定值是不會隨A、B兩點位置改變而變化的，它似乎隱含著一個一般性的結論，做進一步探討，就會得到一個新的問題：

在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F1（-c，0），F2（c，0）分別為橢圓的左、右焦點，設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，求證：1AF1+1BF2為定值.

為了避免直線與橢圓位置關系的繁瑣運算，根據兩直線平行，同旁內角互補的關系，借助余弦定理就可輕松求得這個定值：

在ΔAF1F2中，設AF1=d1，∠AF1F2=θ，則AF2=2a-d1，

由余弦定理可得cosθ=4c2+d12-（2a-d1）24cd1=ad1-b2cd1

因為直線AF1與直線BF2平行，所以∠BF2F1=π-θ，

在ΔBF1F2中，設BF2=d2，同理可得cos（π-θ）=ad2-b2cd2=-cosθ，

所以ad1-b2cd1+ad2-b2cd2=0即1d1+1d2=2ab2為定值.

在數學題中，一個量的變化，往往會引起其它相關量的變化，但在諸多變化中，也常藏匿著穩定不變的量，如果能夠深入分析題目的條件，找到由條件到結論之間某些不變的性質，從不變量與不變的性質入手，就可以幫助我們尋得合理的解題途徑。

（ii） 根據以往的解題經驗，可以猜想P點的軌跡應該是個橢圓，由答案可知，PF1+PF2=22-2AF1·BF2AF1+BF2=22-21AF1+1BF2，借助第（i）問的結論，因為1AF1+1BF2=22，所以PF1 + PF2=22-22=322，故P點的軌跡是以F1（-1，0），F2（1，0）為焦點，長軸長為322的橢圓.該問中的A、B兩點非定點，那么它似乎也隱含著一個一般性的結論，做進一步探討，又會得到一個新的問題：

在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，它的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），設A與B是橢圓上位于x軸上方的兩點， 且直線AF1與直線BF2平行，試判斷直線AF2與BF1的交點是否在同一個橢圓上，為什么？

結合答案與第（i）問探究出的結論，因為PF1=AF1AF1+BF2BF1，

由點B在橢圓上知，BF1+BF2=2a，

∴PF1=AF1AF1+BF2（2a-BF2）.同理，PF2=BF2AF1+BF2（2a-AF1）.

∴ PF1+PF2=AF1AF1+BF2（2a-BF2）+BF2AF1+BF2（2a-AF1）

=2a-2AF1·BF2AF1+BF2=2a- 21AF1+1BF2，

又1AF1+1BF2=2ab2，所以PF1+PF2=2a-b2a=a2+c2a，又因為a2+c2a>2c，

所以根據橢圓的定義，P的軌跡是以F1，F2為左、右焦點，長軸長為a2+c2a的橢圓，所以直線AF2與BF1的交點在同一個橢圓上.

探究與拓展往往能夠幫助我們發現數學中一些美妙的結論，這些結論的來龍去脈、推廣及應用，對提高我們的解題速度與能力，培養我們的探索與創新精神是大有裨益的。