基于穩態逼近算法的光學雙穩態現象研究

李敏 楊儉 袁健華

摘要：光子晶體的雙穩態現象是光子晶體制作光限幅器和光開關的理論基礎，研究具有低閾值的雙穩態系統對大規模集成光路具有非常重要的意義。本文采用有限元方法和穩態算法對含有缺陷的一維光子晶體結構中的雙穩態效應現象進行了理論推導和數值分析。在頻域上，一維雙穩態效應問題可化為非線性亥姆霍茲方程的兩點邊值問題。本文基于非線性亥姆霍茲方程建立了有限元數學模型，構造了基于有限元方法和穩態迭代算法的數值求解算法。研究算例結果表明該數值算法能有效地模擬含有缺陷的一維光子晶體結構中雙穩態效應現象，并能推廣到高維問題的研究。本文還利用該模型算法進一步研究了結構參數對雙穩態效應的影響，當選擇非線性強度大的材料，或者增強入射場強度，或增加中間層厚度時可以降低雙穩態效應發生的閾值。

關鍵詞：光子晶體；雙穩態效應；非線性；有限元；迭代法

中圖分類號：029 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.l003-6970.2017.08.001

0 引言

上世紀80年代，E.Yablonovitch率先提出了光子晶體OPhotonicCrystal）的概念。光子晶體是指具有光子帶隙（PhotonicBand-Gap，簡稱為PBG）特性的人造周期性電介質結構，有時也稱為PBG光子晶體結構。光子晶體有著廣泛的應用，利用其特性可制作光子晶體激光器、全向反射鏡、光子晶體波導和光纖、濾波器、發光二極管、光開關、光限制器、光子晶體激光器等。當光子晶體中的周期結構破壞時，我們稱其是帶有缺陷的。帶缺陷的非線性光子晶體會產生缺陷模和雙穩態現象。雙穩態現象的物理解釋是當入射波進入非線性光子晶體缺陷時，缺陷區域介質的折射率受到影響進一步影響到透射率。當入射波頻率增大到某一數值時，透射率會迅速增大，跳躍到另一個值，之后又達到穩定狀態。另一方面，當入射頻率減小到另一數值時，透射率又會迅速下降，之后又達到穩定狀態。但是兩個跳躍點的閾值不同，即對一給定頻率處在兩閾值點之間的電磁波，它的透射率存在兩個輸出值，該現象稱為雙穩態效應。光學雙穩態效應在工程上最重要的一個應用是光學雙穩開關。光學雙穩開關是一種具有反饋效應的非線性光學器件，它的輸入一輸出特性不是單值的，而是一個回線，抗干擾能力強。因此在電子技術中，雙穩態電子開關被廣泛的應用。

在頻域中，雙穩態問題的求解可以表示為非線性亥姆霍茲方程的兩點邊界值問題（BVP），解決此類問題的數值模擬方法有很多。有限元法作為一種傳統方式，能夠在高精度下解決大型的復雜問題，而且容易推廣至高維。所以本文采用有限元法與ZhengfuXu和GangBao在文中提出的一種穩態逼近的算法結合并對模型進行求解。最后本文通過簡單算例研究了一些參數對雙穩態現象的影響，并對結果進行了理論分析。

1 光學雙穩性理論推導

1.1 一維模型問題

我們討論如圖1所示的帶有缺陷的非線性光子晶體。結構模型為，為缺陷層，層數材料的厚度分別為和顯然將該結構放置于折射率為%的背景材料中，假定周期按軸方向排列且長度為，則當和時，折射率為。

麥克斯韋方程組可以刻畫宏觀電磁現象本質規律。對于通常的時諧變場，微分形式的麥克斯韋方程組一般包含以下四個一階偏微分方程：

上式中，方程組左邊的物理量及分別用以描述電磁場的性質，其中：為電場強度，伏特/為電位移（庫侖/平方米），為磁場強度（安培/米），為磁通量密度（韋伯/平方米）.方程組的右邊為激勵電場的源項，其中：為電流密度（安培/平方米），為電荷密度（庫侖/立方米）.介質的本構關系反映了該類介質的宏觀性質，通常由實驗確定或者由介質的微觀結構推導得出。

通常情況下，本構關系可以寫成下面形式：

這里的本構參數和描述的分別是介質的介電常數，磁導率以及電導率。

在如圖1所示的結構中，假定在無源空間中，介質是無色散無損耗的，則電場和磁場具有以下形式：

在時諧場的情況下馬可以表示如下形式：

假定媒質是各向同性，介質的極化強度與電場五平行，即：

如果考慮材料的非線性效應，以單一頻率入射的波不會導致克爾介質中高階諧波的產生，則介質的極化強度可以表示成如下形式：

在這里是折射率，是三階非線性極化率，他們的關系為

利用方程組（1）可得Kerr介質中關于電場的如下非線性方程：

其中，是自由空間的波數是

真空中的光速。由于電場強度和磁場強度是在交界面處是連續可導的，易推出如下邊界條件：

則我們要研究的一維光子晶體非線性效應問題中電場強度滿足下面的邊界值問題（11）：

1.2模型求解方法

基于ZhengfuXu教授和GangBao教授在文中提出的穩態逼近算法，問題（11）的求解等同與求解薛定諤方程（12）在邊界條件（13）和（14）下的解，其中方程是：

邊界條件是：

下面我們采用有限元法結合該穩態迭代法求解這一問題。具體過程如下：

第一步：給定迭代誤差限，用有限元法求解，其中滿足方程：

以及邊界條件：

第二步：同樣用有限元法求解，其中滿足方程：

以及邊界條件：

第三步：將第二步得到的作為初始值即，求解下列非線性方程得

第四步：

第五步：如果進行第六步，否和轉到第二；第六步：令，輸出五停止程序。

下面我們以第二步求解為例說明有限元求解步驟。對于方程：

當時有和，和，則方程（19）可化為如下形式：

然后引入試探函數，對方程（20）兩邊同乘試探函數并在中積分得：

化簡得：

然后我們采用線性有限元離散可以求解得到.

2 雙穩態效應數值模擬的實現

2.1 算例分析

一般地，結構中引入克爾非線性將改變缺陷區域介質的折射率進一步影響透射率，當非線性足夠強時將產生雙穩態現象。在如圖1所示的結構中，我們取結構模型為5。參考波長，也就是中間層就取了介質B.其中，材料A的折射率%=1.25，材料B的折射率為=2.25.

介電常數。材料A三階非線性極化率；

材料B三階非線性極化率，材料A和材料B的厚度都是2/4（即缺陷層和非缺陷層厚度都是。記則有和。圖3給出了該數值模擬的結果。該圖顯示了透射率隨入射頻率的變化。當入射頻率增大到某一數值時，透射率會迅速增大，跳躍到另一個值，此后繼續增大入射頻率，系統的透射率會緩慢到達一個相對穩定的透射態。而當入射頻率減小到另一數值時，透射率又會迅速下降之后進入另一個相對穩定狀態。兩跳躍點的閾值頻率不同，即對一給定頻率處在兩閾值頻率點之間的電磁波，它的透射率存在兩個穩定的輸出值。

2.2 影響雙穩態特性的參數

光學雙穩態現象的一個重要課題是對閾值變化的研究。下面我們討論閾值的影響因素。首先我們來研究的影響，使用初始算例保證其他參數不變僅改變/的取值時得到圖形4。由圖4可見當增大時閾值減小，因此選取非線性強度大的材料或者增強入射場強時能降低雙穩態發生的閾值。

下面我們研究缺陷層厚度對閾值的影響。我們研究的結構依然為。中間缺陷層B的厚度為.當我們保證其他參數取值不變，改變的取值時得到圖5。由圖5可見當增大中間層厚度時雙穩態發生的閾值會減小，但是實際情況中我們要考慮整體結構大小的影響，因此應在適當范圍內增加中間層厚度這也將是我們下一步研究的課題。

本文給出了帶有缺陷的非線性光子晶體結構模型的推導過程及數值分析。利用有限元方法結合穩態算法展開數值模擬，可以觀察到帶缺陷的非線性光子晶體的雙穩態現象。研究結果顯示方法是收斂的。最后本文結合工程上的應用，對簡單的一維光子晶體缺陷結構模型進行分析，通過對簡單結構模型參數的改變發現：材料的非線性強度，入射場強度，中間層厚度對雙穩態閾值有著重要影響。本文的研究成果對高效的光開關起到一定的指導作用。