基于費用函數的測試性指標優化分配方法

王 賀，朱智平，王貴騰，王鴻睿，楊慶國

(湖南云箭集團有限公司，湖南 長沙 410100)

0 引言

隨著電子技術的發展，制導航空炸彈體制越來越多，其彈上電子設備和技術也越來越復雜。為保證制導航空炸彈成功執行任務，需要在投放前對其進行充分的性能測試。良好的測試性，可以快速準確地檢測、隔離故障，在載機投放前或掛機前就能發現、定位問題，可以大大減少載機因炸彈故障而帶彈返回和炸彈投放之后的任務失敗。因此，測試性作為制導航空炸彈的一項重要設計指標，對制導航空炸彈的使用起著非常關鍵的作用[1-2]。

在進行制導航空炸彈測試性設計時，首先要進行測試性分配，將測試性指標自上而下地分配給各組成單元。目前，常用的測試性分配方法有故障率分配法、加權分配法、綜合加權分配法、層次分析法、優化分配法等[3]。故障率分配法中，故障率高的組成單元應有較高的故障檢測率與隔離率，反之應分配較低的故障檢測率與隔離率。加權分配法考慮系統測試性參數受眾多因素的影響，為每個影響因素設置權重，依據每個產品加權值占總加權值的比例求解分配值。綜合加權分配法在加權分配法的基礎上考慮了影響因素的重要程度，引入了影響因素加權值。層次分析法將所分析的問題按級分層，通過對層內元素之間相互影響關系的分析，得出最佳決策[4-5]。優化分配法以構造的目標函數為基礎，求其最大值或最小值，從而實現優化分配[6-7]。

在給定系統測試性指標而現有系統方案不滿足要求的情況下，測試性工程人員面臨做出對哪些組件進行改進的決定，從而使全部實現費用最小。優化分配法協調系統各組成單元之間費用、體積、重量等因素，可以在總費用最小這一目標前提下，將測試性指標分配給各組成單元。

采用總費用最小作為優化目標，需建立總費用與各組成單元測試性指標之間的模型。但在很多情況下，這些模型在參數合理、準確量化與精確求解方面并不容易實現[8-9]。針對該問題，提出了一種容易量化參數的費用函數，并采用遺傳算法求解該問題，可以求得高精度的分配結果。

1 測試性分配模型

設系統由n個單元組成，系統要求的測試性指標為Psr，在總費用最低的情況下將該指標分配給各組成單元，這一問題的數學模型為[10]：

(1)

(2)

Ps≥Psr

(3)

Pi,min≤Pi≤Pi,max

(4)

式(1)中，Pi為分配給組成單元i的測試性指標(具體為故障檢測率或故障隔離率)；c(Pi)為組成單元i的費用函數；C為系統總費用。式(2)中，Ps為由各組成單元分配的測試性指標計算得出的系統測試性指標，λi為組成單元i的故障率。式(3)中，Psr為系統要求的測試性指標。式(4)中，Pi,min為組成單元i當前達到的最低測試性水平；Pi,max為組成單元i可以達到的最高測試性水平。

求解這一模型，首先需要獲取系統的參數，然后建立各組成單元測試性和費用之間的函數關系，最后求解費用函數。

2 費用函數

2.1 費用函數的基本要求

Dale 和Winter提出了費和函數必須滿足的基本條件[11]：

(3)c(Pi)可微；

(6)c(Pi)為單調遞增函數。

2.2 費用函數模型

根據費用函數的基本要求，提出了一種費用函數模型：

(5)

式中，fi為提高組成單元i的測試性水平的費用系數，0

例如，取fi=0.8，Pi,max=0.99，Pi,min=0.5，c(Pi)隨Pi的變化曲線如圖1所示。

圖1 費用函數曲線圖

由圖1可以看出，費用函數模型有以下特點：

(1)費用是關于組成單元的非線性單調遞增函數；

(2)達到高測試性水平所需的費用很高，要達到最高測試性水平Pi,max，理論上所需費用為無限大，在實際工程中則意味著費用非常高；

(3)要求的測試性水平越高，費用增長越大。例如，一個組成單元測試性水平從0.6增加到0.7要比從0.8增加到0.9更容易。

2.3 費用系數

費用系數為常量，用以表征相對于系統中其他組成單元，提高本組成單元所需費用大小的程度。

例如，取Pi,max=0.99，Pi,min=0.5，fi分別取0.1，0.5，0.9，c(Pi)隨Pi的變化曲線如圖2所示。

圖2 不同費用系數fi下費用函數曲線圖

由圖2可以看出，費用系數越大，曲線越陡，費用變化越快速；反之，費用變化越緩慢。

測試性優化分配的影響因素很多，主要包括：體積、重量、設計成本、維修費用、故障率等。其中，設計成本主要考慮嚴酷度水平、設計改進措施的難易程度以及重要度；維修費用主要考慮故障發生時檢測方法的難易程度和使用補償措施的難易程度。采用專家評分法評分，評分標準如表1所示。

表1 影響因素評分標準

根據影響因素評分表得到影響因素評分向量：

Ai=[ai1,ai2,ai3,ai4,ai5,ai6,ai7,ai8]

(6)

式(6)中，Ai為組成單元i的測試性影響因素評分向量；ai1～ai8為組成單元i的表1中各影響因素評分值。

各個影響因素對不同的組成單元測試性的影響程度不同，需根據實際情況給定影響因素權值。采用專家評分法評分，將權重分為5個等級：很重要(10～9)、較重要(8～7)、一般重要(6～5)、較不重要(4～3)、很不重要(2～1)，并得到影響因素權重向量：

ωi=[ωi1,ωi2,ωi3,ωi4,ωi5,ωi6,ωi7,ωi8]

(7)

式(7)中，ωi為組成單元i的測試性影響因素權重向量；ωi1～ωi8為組成單元i的表1中各影響因素權重值。

完成影響因素和影響因素權重的評分后，進行加權平均并歸一化，得出費用系數。費用系數計算公式如下：

(8)

2.4 可達到的最高測試性水平

可達到的最高測試性水平為常量，用以表征在現有理論和技術條件下，組成單元可以達到的測試性水平的極限值。最高測試性水平的理想值為1，但是，受技術或經濟方面的限制，一般達不到。

例如，取fi=0.8，Pi,min=0.5，Pi,max分別取0.8，0.9，0.99，c(Pi)隨Pi的變化曲線如圖3所示。

圖3 不同Pi,max下費用函數曲線圖

由圖3 可以看出，Pi,max越大，曲線越平， 費用變化越緩慢；反之，費用變化越快。

2.5 當前達到的測試性水平

當前達到的測試性水平為常量，用以表征組成單元已經達到的測試性水平。所有組成單元當前測試性水平的極限值為0。

例如，取fi=0.8，Pi,max=0.99，Pi,min分別取0.1，0.4，0.7，c(Pi)隨Pi的變化曲線如圖4所示。

圖4 不同Pi,min下費用函數曲線圖

由圖4 可以看出，Pi,min越大，曲線越陡，費用變化速度越快；反之，費用變化越緩慢。

3 遺傳算法

遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)是一種基于生物遺傳和進化機制的適合于復雜系統優化的自適應概率優化技術。遺傳算法從任一種群出發，通過選擇、交叉、變異，產生一群更適合環境的個體，并經過數代的繁衍進化，最后收斂至一群最適應環境的群體，從而求得問題的最優解[12-13]。

遺傳算法的主要運算過程如下。

(1)編碼：在進行搜索之前將解空間的解數據表示成遺傳空間的基因型串結構數據。對于多維、高精度要求的連續函數優化模型，可以采用浮點數編碼方式。

(2)生成初始種群：初始種群規模的大小可以影響遺傳算法的搜索質量和速度。大群體可以改進遺傳算法的搜索質量，防止成熟前收斂。但是，大群體會增加個體適應性評價的計算量，從而降低算法收斂速度。隨機生成M個個體，構成初始種群。M一般取值為20～200。

(3)適應度評價：基本遺傳算法按照與個體適應度成正比的概率來決定當前群體中各個個體的生存機會，要求所有個體的適應度為非負數。費用函數可直接作為適應性函數。

(4)選擇：選擇是在群體中選擇適應性強的個體產生新的群體的過程。遺傳算法使用選擇算子來對群體中的個體進行優勝劣汰操作。選擇算子選用不當，會造成進化停滯或產生早熟現象。

(5)交叉：交叉是指對兩個相互配對的染色體按照某種方式交換部分基因，從而形成兩個新的個體。遺傳算法的收斂性主要取決于交叉算子的收斂性。交叉概率Pc一般取0.4～0.99。

(6)變異：變異是指將個體染色體編碼串中的某些基因座上的基因值用該基因座的其他等位基因來替換，從而形成新的個體。變異算子可以改善遺傳算法的局部搜索能力，維持群體的多樣性，防止早熟。變異概率Pm一般取0.001～0.1。

(7)終止條件判斷：最常用的終止條件是規定算法的終止進化代數T，當算法迭代次數達到T時，停止運算，輸出進化過程中所得到的具有最大適應度的個體作為最優解。T一般取100～500。

4 應用示例

考慮由5個組成單元(U1～U5)構成的系統，要求系統故障檢測率指標Psr不低于90%。各組成單元故障率、可達到的最高測試性水平、當前達到的測試性水平見表2，影響因素評分和影響因素權重評分分別見表3和表4。

表2 系統測試性數據

表3 影響因素評分

表4 影響因素權重評分

遺傳算法參數設置：初始種群大小M=80，交叉概率Pc=0.8，變異概率為Pm=0.01，進化代數T=200。遺傳算法運行結果見圖5。由圖可以看出，隨著逐代進化，遺傳算法收斂，能夠優化得到最小費用。

圖5 遺傳算法運行結果

計算分配結果見表5。在進化到200代時，系統費用最低，其解可作為測試性指標的最終優化分配結果。

表5 分配結果

5 結論

針對傳統測試性分配方法在解決系統測試性指標優化分配方面的不足，引入了費用函數的優化分配模型。采用非線性費用函數，分析費用函數中各參數對費用的影響以及各參數的獲取方法。針對費用函數最小化這一非線性規劃問題, 采用遺傳算法求解全局最優解。結果表明遺傳算法能夠獲得合理的測試性分配值，費用函數可以用于系統測試性指標的優化分配。

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