錯誤再探究 準確找錯因

田鎖勤

四邊形尤其是特殊的四邊形是初中階段重要的基本圖形，其性質與判定的綜合應用為證明線段或角的關系提供了豐富的途徑.但各種特殊四邊形之間的關系錯綜復雜，其與三角形的相關知識又密不可分，所以同學們在遇到四邊形的相關問題時常常會手忙腳亂，出現錯誤也在所難免.本文旨在幫助同學們對四邊形有關的知識進行“糾錯”，相信你認真讀完一定會受益匪淺.

一、基本定理認識不清

例1 下列命題中正確的有________（填序號）.

①一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形.

②對角線互相垂直的四邊形是菱形.

③如果一個四邊形的中點四邊形是菱形，那么這個四邊形一定是矩形.

④對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

【錯解】②③.

【剖析】本題考查的是特殊四邊形的有關性質和判定.同學們要保持清醒的頭腦，看清實質，依據平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的區別與聯系進行判斷.想當然或是一知半解的同學就會做出上述錯誤判斷.

①雖然不是能直接判定平行四邊形的方法，但可以證明結論是正確的.②中的條件都不能識別其為平行四邊形，那就更不可能是菱形了.③矩形的中點四邊形一定是菱形，但反之不一定.中點四邊形首先必是平行四邊形，其次其鄰邊的關系與原四邊形對角線的特殊關系相呼應，所以本項只需這個四邊形的對角線相等即可.④中包括識別這個四邊形為平行四邊形、矩形、菱形的條件，故正確.

【正解】①④.

二、圖形對稱性重視不夠

例2 在平面內找一點P，使其與正方形ABCD的四個頂點均能構成等腰三角形，這樣的點P有________個.

【錯解】1.

【剖析】本題沒有圖，很多同學僅靠想象去尋找點P，認為對角線的交點即為點P所在的位置.實際上根據正方形的對稱性，點P在CD的垂直平分線l上時，必能構成兩個等腰三角形，即△PCD和△PAB，從而問題轉化成只需△PAD為等腰三角形即可.當PA=PD時，點P在AD的垂直平分線上；當PA=AD時，點P在以點A為圓心，AD長為半徑的圓上；當PD=AD時，點P在以點D為圓心，AD長為半徑的圓上，如圖1，共有5個這樣的點.同理在AD的垂直平分線上也存在這樣的5個點（其中一個點與P3重合），因此滿足條件的點P共有9個.

圖1

【正解】9.

例3 如圖2，正方形ABCD的邊長為2.△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（ ）.

圖2

【錯解】B.

【剖析】沒有認識到正方形的對稱性的同學可能會認為點P在AC的中點時，PD+PE取得最小值，想當然地選擇了B（事實上，此時PD+PE=2+3-1）.還有一些同學會認為當點P、D、E在一條直線上時，PD+PE取得最小值，但又苦于求不出.其實根據正方形的對稱性可知，點D關于AC對稱的點即為點B，連接BE交AC于點P，此時PD+PE取得最小值，即BE的長，由題意得BE=AB=2，故選A.

【正解】A.

三、分類討論考慮不周

例4 若?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，P為對角線BD上一點，過點P作EF∥AC，交?ABCD 相鄰兩邊于點 E、F，AC=3，BD=8，設BP=x，EF=y，則y與x之間的函數關系是________.

【剖析】本題沒有圖，很多同學在根據題意畫圖求解時畫出圖3的情形，而實際上點P為對角線BD上一點，點P還有可能在OD上，所以應分兩種情況討論求解，即當0≤x≤4時和當4＜x≤8時，再利用相似求得函數關系式.另外，從EF長度的變化來看，應該是先由小變大再變小的過程，顯然原來的解沒有這一特征.

圖3

小試牛刀

1.下列命題中正確的是（ ）.

A.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線相等的四邊形是矩形

D.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

2.將五個邊長都為1cm的正方形按如圖4所示擺放，其中點A、B、C、D分別是正方形對角線的交點，如果有n個這樣大小的正方形這樣擺放，則陰影面積的總和是________cm2.

3.如圖5，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB＋PE的最小值是________.

4.若平行四邊形一內角的平分線分其一邊為3cm和4cm兩個部分，則該平行四邊形的周長是________.

圖4

圖5