詳寫過程 按步答題

王 磊

四邊形的相關知識，是中考必考的知識點，而且經常出現在解答題中，需要寫出詳細的解答過程.在應試過程中，總有同學因為疏忽，導致丟分.下面讓我們來總結一下，在解答四邊形的相關問題時，要注意的幾個地方.

一、解答程序要完整

所謂答題程序，就是指要準確地寫出我們所設的未知數的意義，寫出引用的概念或者定理，要有必需的計算過程，應用題別忘記寫“答”.

例1 （2017·海南）（10分）為做好防汛工作，防汛指揮部決定對某水庫的水壩進行加高加固，專家提供的方案是：水壩加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1∶1（即DB∶EB=1∶1），如圖1所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水壩原來的高度BC.

圖1

（參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）

【試題分析】本題考查了梯形的相關知識，需要運用解三角形的知識進行解答.在書寫過程中，要注意單位、比例式、公式等過程書寫的完整性.

【解答過程】設BC=x.

在 △ ABC 中 ，∠CAB=180°-∠EAC=50°.

（2分）

在Rt△EBD中，i=DB∶EB=1∶1，∴BD=BE，

∴CD+BC=AE+AB，（6分）

即BC=12（.9分）

答：水壩原來的高度為12米（.10分）

二、計算過程要詳細

當遇到一些計算問題，我們要詳細地寫出計算過程，不能認為不重要而省略不寫.

例2 （2017·寧波）（8分）在一次課題學習中，老師讓同學們合作編題，某學習小組受趙爽弦圖的啟發，編寫了下面這道題，請你來解一解：

圖2

如圖2，將矩形的四邊BA、CB、DC、AD分別延長至E、F、G、H，使得AE=CG，BF=DH，連接EF，FG，GH，HE.

（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）若矩形是邊長為1的正方形，且∠FEB=45°，tan∠AEH=2，求AE的長.

【試題分析】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定、正方形的性質和解直角三角形的相關知識，需要進行計算的地方較多，注意計算過程要詳細.

【解答過程】（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，又∵BF=DH，

∴AD+DH=BC+BF，即AH=CF.（2分）

∵AE=CG，∴EH=FG.（3分）

同理得：EF=HG.

∴四邊形EFGH為平行四邊形.（4分）

（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1，

設AE=x，則BE=x+1.

∵在Rt△BEF中，∠EFB=45°，

∴BE=BF.（5分）

∵BF=DH，∴DH=BE=x+1，

∴AH=AD+DH=x+2.（6分）

∵tan∠AEH=2，

∴AH=2AE，∴2+x=2x.（7分）

∴x=2，即AE=2.（8分）

三、推理過程要嚴密

在解答四邊形的相關問題時，同學們往往會先采用逆向思維對題設進行剖析，然后再書寫解題過程.此時我們要注意，推理過程是否嚴密，說理過程是否符合邏輯.

例3 （2016·連云港）（8分）四邊形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F.

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若AC與BD相交于點O，求證：AO=CO.

圖3

【試題分析】本題考查了全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質，思路清晰地寫出推理過程是解題的關鍵.

【解答過程】證明：（1）∵BE=DF，

∴BE-EF=DF-EF，

即BF=DE，（2分）

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°，

在Rt△ADE與Rt△CBF中

∴Rt△ADE≌Rt△CBF.（4分）

（2）如圖4，連接AC交BD于O，

∵Rt△ADE≌Rt△CBF，

∴∠ADE=∠CBF，（6分）

圖4

∴AD∥BC，又∵AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=CO.（8分）

四、提高審題的精確度

四邊形的知識往往會與很多操作性問題相結合，構成壓軸題.此時，我們的審題要準確，搞清頂點、邊、角之間的關系，仔細觀察、細致分析.

例4 （2017·山西）（12分）

背景閱讀

早在三千多年前，我國周朝數學家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”.它被記載于我國古代著名數學著作《周髀算經》中.為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3∶4∶5的三角形稱為（3，4，5）型三角形.例如：三邊長分別為9，12，15或3 2，4 2，5 2的三角形就是（3，4，5）型三角形.用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形.

實踐操作

如圖5，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm.

第一步：如圖6，將圖5中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平.

第二步：如圖7，將圖6中的矩形紙片再次折疊，使點D與點F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF.

第三步：如圖8，將圖7中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD′H，再沿AD′折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點N，然后展平.

圖5

圖6

圖7

圖8

問題解決

（1）請在圖6中證明四邊形AEFD是正方形.

（2）請在圖8中判斷NF與ND′的數量關系，并加以證明.

（3）請在圖8中證明△AEN是（3，4，5）型三角形.

探索發現

（4）在不添加字母的情況下，圖8中還有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？請找出并直接寫出它們的名稱.

【試題分析】本題以矩形為載體，通過對折疊后得到的圖形進行深入探究，發現規律，再應用規律解決新問題.本題考查了四邊形和勾股定理的相關知識，檢驗了同學們的抽象思維能力.

【解答過程】（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠DAE=90°.（1分）

由折疊知：AE=AD，∠AEF=∠D=90°，

∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，

∴四邊形AEFD是矩形.（2分）

∵AE=AD，∴矩形AEFD是正方形.（3分）

（2）NF=ND′.證明如下：連接HN.

圖9

由折疊知：

∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′.（4分）

∵四邊形AEFD是正方形，∴∠EFD=90°.

∵∠AD′H=90°，∴∠HD′N=90°.（5分）

在 Rt△HNF 和 Rt△HND′中，HN=HN，HF=HD′，

∴Rt△HNF≌Rt△HND′，

∴NF=ND′.（6分）

（3）∵四邊形AEFD是正方形，

∴AE=EF=AD=8，

由折疊知：AD′=AD=8，

設NF=x，則ND′=x，AN=AD′+ND′=8+x，

EN=EF-NF=8-x.（7分）

在Rt△AEN中，由勾股定理得：

AN2=AE2+EN2，

即（8+x）2=82+（8-x）2，解得：x=2，（8分）

∴AN=8+x=10，EN=6，

∴EN∶AE∶AN=6∶8∶10=3∶4∶5，

∴△AEN是（3，4，5）型三角形.（9分）

（4）△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是與△AEN相似的三角形都是（3，4，5）型三角形，所以答案為：△MFN，△MD′H，△MDA.（12分）

小試牛刀

已知：如圖10，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）如果BE=BC，且∠CBE∶∠BCE=2∶3.求證：四邊形ABCD是正方形.

圖10

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