求函數(shù)值域的方法探討

云南省曲靖工商職業(yè)技術(shù)學(xué)校 陳 繼

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)值域問(wèn)題屬于函數(shù)的綜合性問(wèn)題。雖然高中學(xué)生具備一定的邏輯思維能力，但是由于函數(shù)值域的題型和求法很多，如果學(xué)生沒(méi)有掌握有效的求值域的解題方法，解題中就難以獲得準(zhǔn)確的答案。高中數(shù)學(xué)中，求函數(shù)值域是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本論文針對(duì)最值問(wèn)題的解題方法展開(kāi)研究。

一、高中函數(shù)題的解題中采用配方法求函數(shù)值域

在數(shù)學(xué)解題中采用配方法，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和的形式。通過(guò)配方解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法叫配方法。其中，用得最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形方法。配方法最主要的目的就是將一個(gè)一元二次方程或二次多項(xiàng)式化為一個(gè)完全平方式，以便簡(jiǎn)化計(jì)算，使變量減少，使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

比如，求函數(shù)值域的數(shù)學(xué)題：y=7- 4sinxcosx十4cos2x-4cos4x，求函數(shù)的最大值和最小值？

對(duì)于這道函數(shù)式的解題方法有兩種：

第一種解題方法：

第二種解題方法：

這道函數(shù)題的主要考查點(diǎn)是三角恒等變換，同時(shí)還對(duì)二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行考查。在高考數(shù)學(xué)題中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)這種類型的數(shù)學(xué)題，屬于常規(guī)的知識(shí)點(diǎn)。

二、采用換元法求函數(shù)值域

換元法就是以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，采用換元法求函數(shù)值域的方法，就是使抽象復(fù)雜的函數(shù)變得更為直觀、簡(jiǎn)單、形象，變?yōu)槠胀ǔＲ?jiàn)的函數(shù)，從而簡(jiǎn)單快速地求出函數(shù)的值域，但是換元時(shí)一定要注意所換“元”的取值范圍，它會(huì)影響函數(shù)的值域。比如，求函數(shù)的值域，采用換元法對(duì)原函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變?yōu)槟硞€(gè)變量的二次函數(shù)，之后就可以將二次函數(shù)的值充分利用起來(lái)，對(duì)原函數(shù)的值域加以確定。

對(duì)于這道數(shù)學(xué)題，如果采用換元法，具體解題如下：

利用換元法求函數(shù)值域，一定要注意函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，要明白哪種結(jié)構(gòu)類型的函數(shù)可以用換元法，教師要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，認(rèn)真審題。高中學(xué)生雖然具備一定的邏輯推理能力，但是習(xí)慣于解題中運(yùn)用形象思維思考，用換元的方式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以使得在數(shù)學(xué)解題中轉(zhuǎn)換為學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)。復(fù)雜的函數(shù)題通過(guò)換元后可以替換常見(jiàn)熟悉的函數(shù)，從而使學(xué)生的豐富想象力被激發(fā)起來(lái)，從已經(jīng)掌握的知識(shí)出發(fā)理解數(shù)學(xué)題中所提出的問(wèn)題，使學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，讓復(fù)雜抽象而難以理解的數(shù)學(xué)題變得簡(jiǎn)單直觀，容易理解，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而提高學(xué)生的解題能力。

三、采用判別式法求函數(shù)值域

在利用判別式法求函數(shù)值域時(shí)，也要弄清函數(shù)的結(jié)構(gòu)，y是關(guān)于x的分式型二次函數(shù)，就是把函數(shù)y=f (x) 看作一個(gè)關(guān)于x二次方程，“x的二次方程 y=f (x)有實(shí)數(shù)解，判別式必須大于等于0，解一個(gè)關(guān)于y的一元二次不等式，從而求出y的取值范圍。”判別式法是求函數(shù)值域的一個(gè)非常重要的方法，用于分式型二次函數(shù)的函數(shù)值域求解。

解：x2+x+1=(x+12)2+34＞0，所以函數(shù)的定義域是R。

去分母：y(x2+x+1)=x2-2x+1，得：(y-1)x2+(y+2)x+(y-1)=0。

當(dāng)y≠1時(shí)，由Δ≥0得0≤y≤4；

當(dāng)y=1時(shí)，將其代入方程中得x=0。

得出原函數(shù)的值域?yàn)閇0，4]。

總之，函數(shù)值域的求法多種多樣，根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)類型掌握一定的函數(shù)求值域方法，有助于提高學(xué)生解題準(zhǔn)確率，有助于培養(yǎng)學(xué)生的解題速度，有利于學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解。