“由淺入深”
——例談難題的弱化及解答

內蒙古赤峰市赤峰二中高三（5）班 蒙香含

難解的題目大體上可分為兩類，一是因繁而難，表現為題干冗長、線索繁復；二是因難而難，表現為題干過簡、無從下手。前者只需耐心剖析，從中獲取、簡化有用信息大多可解。后者的“無從下手”或是因為題干線索之間的關聯難以找尋，或是因為題干中需要證明或求解的結論所涉及的范圍過于宏大。對于此類問題，解答的不二選擇是將其弱化為方便觀察解決的子問題，再通過子問題得到適用于原規律的解決方法。

以下是某網友高額懸賞的一個題目：

如圖所示，在銳角三角形ABC中，有一點P使得PA+BC=PB+AC=PC+AB，求證：(a+b+c)+2c。

乍看這道題目覺得應該能力所及，但真正上手就覺其形態復雜又無從下手，與教師爭論后覺得應該將其弱化處理，將“任意銳角”條件弱化為“等腰銳角”條件，這一改變使尋找點的位置變得容易操作，于是順利得到如下的解答。

如右圖，易知點P位于底邊的垂線上，不妨延長AP交BC于點D，且設PD=x，則又因為PA+BC=PB+AC，故有

易解（所謂易解，其實不太容易，應將未知數分居兩側，這樣平方后可消除，即如下配湊：

點P固定后，即條件1運用完畢，可從結論入手進行化簡工作，為了更好更方便地完成以下更為復雜的簡化過程，需要做如下準備條件：

很顯然PD=x為△PBC的高，運用三角形面積公式處理左式，有：

運用半角公式及上文四個準備條件，對等式右邊整理，易得：

顯然“左邊=右邊”，弱化后的命題得證。下面將運用上述原理對其一般情況進行分析和證明。上文得證的原因是點被固定并成功與結論建立聯系，故原命題如能得證首先要確定點的位置，將運用解析法進行分析和討論如下：

理論上解方程即可求得未知量確定點P的位置，并沿上文思路繼續下去。但由于計算量過大，結果過長，不具一般結論的特性，故只在此舉例做算理上的分析。

由上述理論可知B(0,0),C(7,0),A(3,4)，應用條件，即代入上述方程可得：

由于無法進行精確計算，故其結果的正確性使用計算機驗證有：

經驗證符合上述比例關系，故該題目已得以證明。

綜上所述，再難的題目經過弱化后的子問題都是易于解答的，將子問題的解答方法進行調整處理，便可使我們找到解決母問題的方法，在解題過程中我們可以應用數理軟件幫助計算。與我而言，找到解決一道難題的正確思路，相比于計算出最終結果而言更為重要。由淺入深，循序漸進，柳暗花明又一村。

（由于計算量較大，所以此處計算使用了計算機，且結果精確到萬分之一）