淺析數學分析教學中絕對值不等式的證明方法

李霞

【摘 要】通過幾個具體的實例，闡述了數學分析教學中絕對值不等式的證明方法。

【關鍵詞】絕對值不等式；證明

中圖分類號： G634.6 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）02-0115-002

【Abstract】Through several concrete examples，the proof methods of absolute value inequality in mathematical analysis teaching are expounded.

【Key words】Absolute inequality；Proof

《數學分析》是高等院校數學類專業和部分工科專業學生必修的一門基礎理論課程。它所涉及的處理問題的思想、方法和技巧廣泛應用到物理學、天文學、經濟學等各個領域。而在《數學分析》學習過程中，從極限的證明到連續性分析再到定積分、級數等，絕對值不等式的證明可謂是重中之重。因此，能否找到最適合題目的絕對值不等式的證明辦法，在很多情況下成了學習《數學分析》的關鍵所在。本文通過實例對絕對值不等式的證明方法加以探討，以期對《數學分析》的教學與研究有所促進。

1 利用絕對值不等式的等價條件去掉絕對值號

證明絕對值不等式的最直接方法就是利用絕對值不等式的一些等價條件諸如：|x-a|xb？圳x>a+b或x

例1證明ax（a>0，a≠1）在任意點x0∈R連續[1].

證明對任意的x0∈R，因為|ax-a■|=a■|a■-1|，所以對任意給定的ε>0（不妨設ε

由定義知ax在點x0連續.

在本例中，由于絕對值號中式子形式簡單，故采取利用等價條件直接去掉絕對值的方式，這種方法也可用在在兩邊夾定理的證明中。

2 加項減項，同時利用三角不等式對絕對值不等式進行拆分

在遇到絕對值內表達式跨越有限多項相加減時，我們可以將該式中缺少的項通過加項減項的形式表達出來，并利用三角不等式對絕對值進行展開，從而形成“通項”，便于證明絕對值不等式。如：

例2設a為常數，若數列{xn}滿足條件■|x■-x■|

證明數列{xn}收斂[2].

證明令yn■|xk-xk-1|，（n=2，3，…）.顯然數列{yn}單調增加并有上界a，所以數列{yn}收斂，由柯西收斂準則，對任意ε>0，當n>N時，對任意自然數p，有

而

由柯西收斂準則，數列{xn}收斂.

在本例中，絕對值內式子跨越數列的p+1項，類似的情況我們同樣在柯西收斂定理與一致收斂的定義中可以見到，同時，這種思想在實變函數的學習過程中也有著更加廣泛的應用。

3 利用已知恒等式或不等式對絕對值不等式進行放縮

例3設a>1，求證■■=1[1].

證明令bn=■-1，則bn>0，a=（1+bn）n≥1+nbn，

因而有■-1=b■≤■.

對于任給的ε>0，不妨設ε

取N=■，則當n>N時，就有■-1<ε.由定義知■■=1成立.（下轉第114頁）

（上接第115頁）

本例通過伯努利不等式將絕對值內的式子進行代換，從而簡單有效地解決了不等式的證明問題。

除了上述三種方法之外，絕對值不等式的處理方法還有很多，在解題過程中，重點還是要學會靈活應用，才能熟能生巧。

【參考文獻】

[1]劉春根，等.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]李世金，趙潔.數學分析解題方法600例[M].長春：東北師范大學出版社，1992.