塔式起重機結(jié)構(gòu)有限元模型修正的響應(yīng)面方法

秦仙蓉， 潘 杰， 徐 儉， 張 氫， 孫遠(yuǎn)韜

(同濟大學(xué) 機械與能源工程學(xué)院 機械設(shè)計及理論研究所，上海 201804)

塔式起重機(塔機)常處于惡劣的工作環(huán)境中，因此建立一個經(jīng)過試驗驗證的、并能準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)實際狀態(tài)的有限元模型是進行損傷識別、健康診斷以及工作狀態(tài)評估與預(yù)測的前提條件[1]。然而，由于塔機結(jié)構(gòu)建模過程中的簡化以及服役過程中的材料老化和自然災(zāi)害等因素的影響，有限元模型計算的響應(yīng)與現(xiàn)場實測的響應(yīng)值相比存在一定的偏差，當(dāng)偏差超過了工程允許的精度時，就必須對有限元模型進行修正[2]。

然而，傳統(tǒng)的直接基于結(jié)構(gòu)有限元模型進行修正的方法需要進行逐步迭代計算，每次迭代都需要對參數(shù)修改后的有限元模型進行重新計算，稱為重分析。在結(jié)構(gòu)復(fù)雜、有限元模型自由度數(shù)多時，計算量巨大，同時修正效率較低，很難滿足實際工程的要求。采用基于響應(yīng)面方法(Response Surface Method)的有限元模型修正可以克服以上傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)有限元模型修正的不足，通過統(tǒng)計理論和模型修正技術(shù)的結(jié)合，得到能反映結(jié)構(gòu)響應(yīng)與修正參數(shù)之間復(fù)雜隱式函數(shù)關(guān)系的顯式響應(yīng)面模型[3]，再利用響應(yīng)面模型進行修正，這樣就將計算工作量巨大的有限元分析轉(zhuǎn)移到了計算速度更快的響應(yīng)面分析，大大提高了修正計算效率。

利用響應(yīng)面方法實現(xiàn)結(jié)構(gòu)有限元模型修正是近年來的研究熱點。任偉新等[4]利用環(huán)境振動試驗結(jié)果，得到結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)據(jù)以及響應(yīng)面模型，實現(xiàn)了六跨連續(xù)梁橋的有限元模型修正；鄧苗毅等[5]提出了基于靜力響應(yīng)面的結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法，并利用了兩跨連續(xù)梁結(jié)構(gòu)驗證了所提出方法的有效性；宗周紅等[6]提出了基于健康監(jiān)測的響應(yīng)面模型修正方法，實現(xiàn)了橋梁結(jié)構(gòu)的高階響應(yīng)面模型修正，并應(yīng)用于模型確認(rèn)及結(jié)構(gòu)損傷識別領(lǐng)域。Shan等[7]以某斜拉懸索橋為例，將橋梁位移和模態(tài)頻率同時作為修正目標(biāo)，實現(xiàn)了基于響應(yīng)面法的橋梁結(jié)構(gòu)靜動力聯(lián)合修正。Zhou等[8]利用高斯徑向基函數(shù)響應(yīng)面實現(xiàn)了理論模型、實驗室橋梁模型以及東營大橋的模型修正，結(jié)果驗證了該方法的高效性與可行性。

本文根據(jù)現(xiàn)場實測的塔機模態(tài)頻率，采用響應(yīng)面方法實現(xiàn)塔機結(jié)構(gòu)的有限元模型修正。以懸臂梁和QTZ125型塔機為例，分別構(gòu)建二次多項式與高斯徑向基函數(shù)兩種響應(yīng)面模型，并利用構(gòu)建的響應(yīng)面函數(shù)替代有限元模型，實現(xiàn)懸臂梁和塔機結(jié)構(gòu)的有限元模型修正。

1 基于響應(yīng)面法的有限元模型修正

基于響應(yīng)面法的有限元模型修正步驟如圖1所示，其修正效率和精度主要取決于試驗設(shè)計、參數(shù)篩選及響應(yīng)面函數(shù)形式的選擇和擬合三個方面。

圖1 基于響應(yīng)面法的有限元模型修正流程Fig.1 Finite element model updating process based on response surface method

1.1 試驗設(shè)計方法

響應(yīng)面方法常用的試驗設(shè)計方法有全因子設(shè)計法、中心復(fù)合設(shè)計[9]、D-最優(yōu)設(shè)計、正交設(shè)計[10]和均勻設(shè)計[11]等。本文選取均勻設(shè)計方法，該方法只考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布，挑選試驗代表點的出發(fā)點是“均勻分散”，而不考慮“整齊可比”，它可保證試驗點具有均勻分布的統(tǒng)計特征，可使每個因素的每個水平做一次且僅做一次試驗。

1.2 待修正參數(shù)的選取

本文在待修正參數(shù)的選取上，首先利用經(jīng)驗選擇方法，選取在工程實際中容易發(fā)生變化且對結(jié)構(gòu)響應(yīng)有較大影響的參數(shù)，然后通過靈敏度分析來確定待修正參數(shù)。以選取的待修正參數(shù)構(gòu)建初步的響應(yīng)面模型，采用以F檢驗法為標(biāo)準(zhǔn)的逐步回歸法對響應(yīng)面的各參數(shù)進行顯著性分析，從響應(yīng)面模型中剔除那些對響應(yīng)不顯著的參數(shù)。

1.3 響應(yīng)面函數(shù)的選取

目前，二次多項式[12]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、高斯徑向基函數(shù)[13]、Kriging模型和支持向量機是比較常用的響應(yīng)面模型。本文將通過具體的數(shù)值算例以及工程實例說明二次多項式響應(yīng)面以及高斯徑向基函數(shù)響應(yīng)面在修正過程中的應(yīng)用與比較。

利用F檢驗法分析待修正參數(shù)對特征頻率的顯著性時，計算各參數(shù)對統(tǒng)計特征量的顯著性水平P值，發(fā)現(xiàn)交叉項對于模型的顯著性較參數(shù)的主效應(yīng)小很多，在不影響精度的情況下，為提高計算效率，本文采用不考慮交叉項的不完全二次多項式響應(yīng)面

(1)

式中:待定系數(shù)β0、β1i和β2i分別為響應(yīng)面模型的常數(shù)項、一次項和二次項系數(shù)，響應(yīng)面系數(shù)可由最小二乘法擬合得到；ε為響應(yīng)面模型的誤差。對于不考慮交叉項的二次多項式，待定系數(shù)的個數(shù)為s=2n+1，其中的n代表設(shè)計變量個數(shù)。

高斯函數(shù)指某種沿徑向?qū)ΨQ的標(biāo)量函數(shù)，通常定義為空間中任意一點x到某一中心ci的歐氏距離的單調(diào)函數(shù)，具有形式簡單、不依賴于空間維數(shù)的優(yōu)點。高斯函數(shù)的表達式為

(2)

式中：r=‖x-ci‖;ci為核函數(shù)中心(高斯核);σi為核函數(shù)的寬度參數(shù)，控制基函數(shù)徑向作用范圍。

假設(shè)被擬合的問題有m個樣本(每個樣本中有n個設(shè)計變量)和b個插值基點(b

(3)

式中：j=1,2,3,…，m；wi為第i個插值基點對應(yīng)的回歸系數(shù)；xi為第i個插值基點；x∈Rn,xi∈X,X是Rn空間內(nèi)的有限離散點集。

1.4 響應(yīng)面有效性評價

本文采用相對均方根誤差RMSE和決定系數(shù)R2檢驗來評價響應(yīng)面模型的有效性

(4)

(5)

1.5 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)建模

(6)

本文聯(lián)合ANSYS和MATLAB兩種商用平臺，利用“內(nèi)點法”實現(xiàn)對優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)式(6)的求解，獲得優(yōu)化后的參數(shù)值。

2 懸臂梁算例分析

圖2為一Euler-Bernoulli懸臂梁，梁總長3 m，橫截面尺寸為0.25 m×0.15 m，彈性模量為32 GPa，質(zhì)量密度為2 500 kg/m3，有限元建模時，將懸臂梁劃分為10個單元，得到的有限元模型如圖2所示。

圖2 懸臂梁有限元模型示意圖 (單位：m)Fig.2 Finite element model of a cantilever beam (unit: m)

為了使參與模型修正的參數(shù)具有物理意義且有代表性，構(gòu)建如下“真值模型”。“真值模型”中單元1的高度h1是理論高度的85%，單元2的高度h2是理論高度的115%，其他設(shè)計參數(shù)與理論參數(shù)相同。

圖3 懸臂梁各階模態(tài)頻率對結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度Fig.3 Sensitivity of the cantilever beam’s modal frequencies to structural parameters

分組設(shè)計變量/m頻率/Hzx1x2f1f2f3f410．801．068．4855．55159．54292．8520．860．868．3856．96162．10290．1930．931．209．7558．95164．39300．7241．001．009．6360．16167．72298．4551．060．808．8760．36170．58293．7061．131．1310．6863．52172．88305．2271．200．9310．0863．44175．89301．45

基于表1所示的均勻設(shè)計中的樣本，分別用二次多項式響應(yīng)面和高斯響應(yīng)面擬合懸臂梁模態(tài)頻率與兩個設(shè)計變量之間顯式的函數(shù)關(guān)系。采用以F檢驗法為標(biāo)準(zhǔn)的逐步回歸法對各自變量進行顯著性分析，得到回歸后的二次響應(yīng)面函數(shù)如式(7)～式(10)所示，高斯響應(yīng)面函數(shù)如式(11)～式(14)所示。

二次響應(yīng)面

7.90(x1)2-7.09(x2)2

(7)

15.66(x1)2-11.18(x2)2

(8)

0.43(x1)2-5.95(x2)2

(9)

29.37(x1)2-27.7(x2)2

(10)

高斯響應(yīng)面

15.35a(‖x-x6‖)

(11)

54.5a(‖x-x6‖)

(12)

113.1a(‖x-x6‖)

(13)

182.9a(‖x-x6‖)

(14)

擬合的響應(yīng)面的有效性通過相對均方根誤差RMSE和決定系數(shù)R2評價，其評價結(jié)果如表2所示。由表中結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，兩種響應(yīng)面的RMSE都接近0，同時R2都接近1，表明擬合的響應(yīng)面在參數(shù)的設(shè)計空間內(nèi)，可以作為原有限元模型的替代模型。

表2 懸臂梁二次多項式和高斯響應(yīng)面模型有效性評價

將懸臂梁前四階模態(tài)頻率的響應(yīng)面模型替代原有限元模型進行優(yōu)化迭代。表3給出了“真值模型”、初始有限元模型、基于不同響應(yīng)面修正后的有限元模型計算得出的懸臂梁前四階模態(tài)頻率。可以發(fā)現(xiàn)：懸臂梁初始有限元模型的模態(tài)頻率與“真值模型”之間有較大誤差，而應(yīng)用響應(yīng)面法修正后的有限元模型計算的模態(tài)頻率和“真值模型”十分接近，證實了應(yīng)用響應(yīng)面法進行模型修正的可行性。表4給出了“真值模型”的結(jié)構(gòu)參數(shù)與修正前后有限元模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)的對比。很顯然：修正前初始模型與“真值模型”結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的誤差較大，而修正后的模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)與“真值模型”充分接近。

圖4是應(yīng)用兩種響應(yīng)面法對懸臂梁進行修正得到的收斂曲線。從圖中可以看出，基于兩種響應(yīng)面法的修正迭代過程都是在第8次迭代時收斂，表明了應(yīng)用響應(yīng)面法進行模型修正的高效性，同時兩種響應(yīng)面方法在懸臂梁模型修正過程中優(yōu)劣不明顯。

表3 懸臂梁模型修正前后模態(tài)頻率結(jié)果列表

表4 懸臂梁模型修正前后設(shè)計變量結(jié)果列表

圖4 基于不同響應(yīng)面法的懸臂梁修正過程中的收斂曲線Fig.4 Convergence curve in the process of cantilever beam updating based on different response surface methods

3 工程實例

采用無線磁電式速度傳感器對QTZ125型塔機進行了風(fēng)振響應(yīng)的現(xiàn)場實測，塔機起重臂、平衡臂以及塔身上各對稱布置有兩個傳感器，分別測量了結(jié)構(gòu)的豎直方向和水平方向速度響應(yīng)，測點布置如圖5所示。通過模態(tài)識別技術(shù)獲得了QTZ125型塔機的動態(tài)特性，得到了塔機的低階固有頻率和振型如表5所示。

圖5 傳感器測點布置Fig.5 The layout of the sensor measurement points

階次頻率/Hz振型10．12起重臂回轉(zhuǎn)平面一階彎曲20．27起重臂起升平面一階彎曲30．33塔身回轉(zhuǎn)平面一階彎曲40．62塔身起升平面一階彎曲

塔式起重機的有限元模型在ANSYS平臺中采用自下而上的建模方式得到，結(jié)構(gòu)中有5 824個Beam189單元、4個Link8單元、26個Mass21單元，共有11 052個節(jié)點、66 320個有限元自由度。依據(jù)工程實踐經(jīng)驗，選取對響應(yīng)影響較大的塔機結(jié)構(gòu)的主要幾何參數(shù)和材料參數(shù)進行靈敏度分析，得到各階頻率對參數(shù)的靈敏度如圖6所示，選取7個靈敏度較高的參數(shù)作為待修正參數(shù)，列于表6中。圖中L1～L5分別表示相鄰斜腹桿鉸接距離、塔身標(biāo)準(zhǔn)節(jié)主肢長度、水平腹桿長度、主肢截面寬度及上塔身水平腹桿長度；T1為塔身主肢截面厚度；S11、S12分別為平衡臂尾部凸緣長度和主梁尾部高度；S21、S22、S23分別為起重臂下弦桿壁厚、斜腹桿壁厚以及上弦桿外徑；E、μ為楊氏模量與泊松比。

圖6 塔機各階模態(tài)頻率對結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度Fig.6 Sensitivity of the tower crane modal frequencies to structural parameters

序號參數(shù)參數(shù)說明初始值/mm1x1塔身標(biāo)準(zhǔn)節(jié)主肢長度13002x2上塔身水平腹桿長度13903x3塔身水平腹桿長度18504x4平衡臂尾部凸緣長度885x5起重臂下弦桿壁厚106x6平衡臂主梁尾部高度3207x7塔身主肢截面寬度150

擬合得到的塔機兩種響應(yīng)面模型的有效性評價如表7所示。可以發(fā)現(xiàn)：塔機前四階頻率的兩種響應(yīng)面的決定系數(shù)R2的值都接近于1，相對均方根誤差RMSE的值都接近于0。因此，用該響應(yīng)面模型來替代塔機有限元模型進行模型修正是可靠的，也驗證了塔機待修正參數(shù)選取的合理性。可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)合工程實踐經(jīng)驗與參數(shù)靈敏度分析獲得待修正參數(shù)是有效的，同時對結(jié)構(gòu)進行修正時選擇結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)或材料參數(shù)作為修正參數(shù)都是可行的，本文塔機實例中比較靈敏的結(jié)構(gòu)參數(shù)恰好全部為長度或厚度等幾何參數(shù)。

圖7 塔機各階頻率的響應(yīng)面與有限元模型計算結(jié)果對比Fig.7 Comparison of modal frequencies of the tower crane response surface and finite element model calculation

模態(tài)階次二次響應(yīng)面R2RMSE/10-3高斯響應(yīng)面R2RMSE/10-310．99840．730．99940．4420．99311．500．99910．5230．99870．730．99880．6940．99821．000．99172．20

將擬合得到的響應(yīng)面方程應(yīng)用最優(yōu)化理論進行優(yōu)化迭代，得到整個迭代過程的收斂曲線如圖8所示。在同一計算系統(tǒng)上計算時，采用傳統(tǒng)的模型修正方法對塔機進行修正每迭代一次需耗時1.5 h；而采用高斯響應(yīng)面和二次響應(yīng)面進行修正時，整個優(yōu)化過程的計算時間分別只需要8 s和3 s，可見采用響應(yīng)面方法可以極大地提高優(yōu)化效率，同時二次響應(yīng)面模型的迭代收斂速度更快，且收斂精度更高。圖9、圖10分別為塔機修正過程中各階頻率和參數(shù)的收斂曲線，其中圖10中各參數(shù)依據(jù)初值進行了無量綱化處理。從圖中可以看出，基于兩種響應(yīng)面法的修正迭代過程中各階頻率和參數(shù)約在第15次迭代時收斂。

利用兩種響應(yīng)面方法獲得的塔機修正前后的模態(tài)頻率和結(jié)構(gòu)參數(shù)的結(jié)果分別如表8和表9所示。從表8和表9中可以發(fā)現(xiàn)：修正后塔機模型的模態(tài)頻率和結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)值較之初始模型更接近真實模型，各階振型吻合較好，模態(tài)置信因子(MAC)均大于90%，驗證了利用響應(yīng)面方法進行塔機有限元模型修正的有效性；同時，與高斯響應(yīng)面模型修正結(jié)果相比，二次響應(yīng)面模型的修正精度更高。

圖8 基于不同響應(yīng)面法的塔機 圖9 塔機各階頻率修正過程中 圖10 塔機各修正參數(shù)修正過程中 修正過程中的收斂曲線 的收斂曲線 的收斂曲線Fig.8 Convergence curve in the process of tower crane Fig.9 Convergence curve of frequencies Fig.10 Convergence curve of parameters updating based on different response surface methods in tower crane updating in tower crane updating

模態(tài)階次真實模型/Hz初始模型頻率/Hz誤差/%二次響應(yīng)面修正后模型頻率/Hz誤差/%高斯響應(yīng)面修正后模型頻率/Hz誤差/%MAC/%10．120．1416．70．1200．00．1221．795．620．270．3218．50．2731．10．260-3．793．630．330．3918．20．326-1．20．320-3．091．040．620．7216．10．6210．20．610-1．694．8

表9 塔機模型修正前后結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)果列表

4 結(jié) 論

本文提出了塔式起重機有限元模型修正的響應(yīng)面方法。首先聯(lián)合運用經(jīng)驗選擇方法和靈敏度分析方法來選取待修正參數(shù)，接著選用均勻設(shè)計方法設(shè)計試驗，擬合模態(tài)頻率與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間二次響應(yīng)面模型和高斯響應(yīng)面模型。然后采用F檢驗法對響應(yīng)面的各參數(shù)進行顯著性分析，建立更簡單有效的響應(yīng)面模型，用得到的響應(yīng)面模型代替原有的有限元模型完成模型修正。本文的研究表明：

(1)利用響應(yīng)面模型替代復(fù)雜的塔機有限元模型進行結(jié)構(gòu)有限元模型修正可以極大地提高計算效率和修正精度。

(2)對于塔機結(jié)構(gòu)，相較于基于高斯徑向基函數(shù)的響應(yīng)面法，基于二次多項式響應(yīng)面的模型修正能取得更好的修正結(jié)果和修正效率。

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