頂部帶FPS-TMD系統的高聳結構風振控制效益分析

吳玖榮， 周澤宇， 梁強武， 傅繼陽

(廣州大學-淡江大學 工程結構災害與控制聯合研究中心，廣州 510006)

近年來隨著我國經濟的高速發展，各種類型的高層建筑和高聳結構與日俱增，上述結構也朝著輕質高強，柔細化低阻尼方向發展，因此水平荷載對其影響更為顯著。相比與水平地震作用而言，風荷載作用時間更長，發生的頻率相對更高，對于部分超高層建筑和高聳結構，風荷載往往成為影響其結構設計的主要控制因素。傳統結構抗風設計主要通過增強結構剛度、材料強度以及塑形變形能力，加強節點構造等方式來改善。隨著工程結構隔震減振技術的發展，多種隔震減振體系和方法應運而生，摩擦擺系統就是其中之一。

FPS(Friction Pendulum System)摩擦擺系統，是依靠圓弧曲面滑動耗能的干摩擦隔震系統(如圖1所示)，屬于結構控制中被動控制中的一類。最早在1985年由Zayas等[1]提出，由于其具有良好的自復位等工程性能，在高層建筑、橋梁工程基礎隔震中廣泛采用。文獻[2]中基于動力試驗分析了FPS系統基底隔震的效果。該摩擦擺裝置具有滑動阻尼裝置的穩定性能，其獨特的圓弧曲面提供了自限位、自復位[3-4]功能，滑塊與滑動曲面之間是通過面之間的相互接觸，通過圓弧面摩擦材料的摩擦耗能消散能量，常用的摩擦材料有聚四氟乙烯等。滑道可與地面連接，當基礎部分受到水平地震作用時,地面的水平運動會使得滑塊在其圓弧面做周期性滑動,然后滑塊又可以在自身重力作用下復位,即返回圓弧滑動面的最底部，故不再需要附加額外阻尼裝置，提高了裝置的可靠度，這即為早期FPS在基礎隔震中的應用。

圖1 摩擦擺隔震支座截面Fig.1 Bearing section of friction pendulum system

為減小結構受風擾動下產生的舒適度問題，Zhong等[5-7]將FPS系統置于高層建筑結構頂層，FPS系統裝置的上部增加具有一定質量M的滑塊形成FPS-TMD減振系統，通過研究其對結構的減振效益，探討了加裝FPS-TMD系統并對其進行最優化設計以達到最佳減振效果并考慮雙重摩擦系統，同時針對FPS-TMD系統中的設計參數進行分析，探究減振之影響效果。文中以臺北101塔為實例(如圖2為分析對象)，驗證了FPS-TMD系統加裝于結構頂層后此套裝置的可行性。

圖2 臺北101塔Fig.2 Taipei 101

本文擬將FPS-TMD系統置于廣州新電視結構頂層，通過建立其相應的簡化有限元模型的基礎上，建立整體動力方程，分析其風振效應。

1 FPS-TMD系統振動微分方程

1.1 FPS-TMD系統恢復力模型

FPS-TMD系統如圖3所示，其中滑道半徑為r，滑塊質量為m，滑塊相對于主體結構頂層運動的轉角為φ，假定以逆時針轉動方向為正。滑塊m與滑動面的摩擦因數為μk，重力加速度為g，D為質量塊相對結構頂層位移。

圖3 FPS-TMD系統模型Fig.3 FPS-TMD system

利用滑塊在某一時刻在滑道切向和法線方向的靜力平衡條件建立方程，在滑道切線方向上

(1)

式中：fr為切向摩擦力

其在滑道法線方向上

N=mgcosφ

(2)

故水平方向上恢復力為

(3)

(4)

從式(4)可以看出，水平恢復力F由重力和切向方向摩擦力在水平方向分量組合組成，由重力產生的水平側向剛度分量為k=mg/r， 鑒于FPS-TMD系統的恢復力特性具有非線性性質，可以采用等效線性剛度和等效黏性阻尼來描述FPS-TMD系統的統計力學特性[8]， 依據式(4)FPS-TMD系統力和位移的簡化滯回曲線如圖4所示。故FPS-TMD系統的等效剛度為

(5)

圖4 FPS-TMD系統滯回曲線圖Fig.4 Hysteresis curve for FPS-TMD system

FPS-TMD系統的自振圓頻率為

(6)

FPS-TMD結構等效自振周期為

(7)

由式(7)可知FPS-TMD結構等效自振周期僅與滑道半徑r，摩擦因數μk有關，調節周期依靠摩擦因數和滑道半徑的改變，同時需要保證μkr/D為一個常數，與質量無關，故具有良好的穩定性能。FPS-TMD系統等效黏性阻尼比可用式(8)加以表達

(8)

式中：E為滯回耗散能量。

綜合上面各式可知，當滑塊相對于結構頂層運動的轉角φ很小時，模型近似為一個平面滑移帶復位彈簧的阻尼裝置，相比之下FPS-TMD系統靠重力復位，平面滑移帶復位彈簧的阻尼裝置則必須依靠附加的彈簧件復位，FPS-TMD系統當滑動機構有微小傾斜時,不會影響系統的正常工作,而在平面滑移帶復位彈簧的阻尼裝置中,滑板的微小傾斜將導致滑動位移偏向下斜的方向。此外FPS-TMD系統依靠滑道摩擦因數μk的變化， 當μk值采用中間小兩邊大的形式設置時，限制了滑塊的位移，不需要額外加裝限位系統，同時無懸掛擺線，極大地釋放了凈空高度，相比之下優勢較為明顯。

1.2 FPS-TMD系統振動特性

摩擦擺調諧質量阻尼器FPS-TMD系統如受到地震作用或風荷載激勵下會產生振動，為不失一般性本文用外加風荷載p(t)分析如下。

(9)

滑道在其切線方向的動力平衡方程為

(10)

將式(9)、式(10)合并，方程兩端同時除以mr, 化簡可得FPS-TMD振動微分方程

(11)

(12)

圖5 FPS-TMD自治振動力學模型Fig.5 Mechanical model for FPS-TMD vibration system

2 頂部帶FPS-TMD系統的整體結構動力方程

為便于理論推導分析，本部分將頂部帶FPS-TMD系統的整體結構采用簡化集中質量的平面模型來進行處理，首先將主體結構簡化成一個N層即N個自由度的框架模型，每一層具有質量mi、層間剛度ki和阻尼系數ci，(i=1，2，…,n)。FPS-TMD系統置于主體結構頂層之上，FPS-TMD系統的質量md，切線剛度系數kd，坐標系采用如圖6所示的vOu系統，主體結構受風荷載激勵p(t)，等效作用于各個樓層集中質量處。為此建立結構的動力方程為

(13a)

式中： [M]、[C]、[K]分別為主體結構質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣； {FTMD}為FPS-TMD系統對主體結構的控制力，是一個N維列向量，即等于FPS-TMD系統的慣性力

(13b)

(14)

主體結構阻尼矩陣的構造方法采用擴展的Rayleigh阻尼[10]，便于方程解耦以及構造結構阻尼矩陣的準確性，即

(15)

(16)

式(16)與上節得出的振動方程式(11)應具有一致性，當φ很小趨近于0時， cosφ=1，聯立式(16)、式(11)并與式(14)比較，且式(16)中的md和式(11)中的m取值相同時， 可得FPS-TMD系統廣義振動方程中的kdud為

(17)

圖6 頂部帶FPS-TMD系統的整體結構示意圖Fig.6 Building structure with supplemental FPS-TMD system

聯立式(13a)、式(16)可得頂部帶FPS-TMD系統的整體結構動力方程為

(18)

(19a)

其中，

(19b)

3 頂部帶FPS-TMD系統的整體結構動力方程組求解及迭代處理

頂部帶FPS-TMD系統，其非線性特征明顯，外部風荷載激勵p(t)變化復雜，對于微分方程式(19a)，一般的求解動力反應的時域分析或頻域分析方法等對求解線性方程組較為有效。對于結構體系具有非線性性質時，疊加原理不再適用，故本文采用時域逐步積分法中的Newmark-β法求解聯立的動力反應方程組。

(20)

指定公差Tol，當TolErr，用后一迭代子步的p(t)i代替前一迭代子步p(t)i-1，返回前一時刻迭代計算流程。如此循環迭代，直到達到指定公差范圍內為止。

4 實例計算

為驗證和分析頂部帶FPS-TMD控制系統的高聳結構風振控制和減振效果，本文以廣州新電視塔(見圖7)為研究對象，采用MATLAB軟件(版本R2014a)編制了動力時程分析等相關風振控制分析程序。廣州新電視塔建筑總高度600 m，結構主塔高度450 m，天線桅桿150 m，核心筒為鋼筋混凝土筒體，外筒體為鋼結構斜交網格支撐體系，兩者之間由水平鋼梁及組合樓板相連。

由于廣州新電視塔整體結構有限元模型自由度數量龐大，其三維有限元模型共有23 851個板殼單元，18 757個框架單元，28 253個節點單元。

為簡化動力分析的計算工作量，本文采用對原三維有限元模型進行降階處理的方法，模型降階后的簡化結構模型成為37個節點，每個節點包含5個自由度，共185個自由度的糖葫蘆串模型[11-12]，如圖7所示。這樣使得求解動力方程的自由度減小，儲存帶寬大大縮減，提高了計算效率，縮小了計算分析的存儲空間。

圖7 廣州新電視塔與簡化模型Fig.7 Simplified FE model for the canton tower

簡化后的廣州新電視塔模型為具有37個梁單元和38個節點的懸臂梁模型，電視塔主塔由27個單元組成而桅桿部分由10個單元組成。簡化模型中梁單元的質心與桅桿的質心在豎向投影方向一致。簡化模型中的豎向位移忽略不計，這樣每個節點具有5個自由度，分別是兩個水平方向的平動(x,y)以及3個方向的轉動(θx,θy,θz)[13]。

經降階后后，廣州新電視塔簡化模型的動力特性與原三維有限元模型對比如表1所示，對比結果表明，簡化模型的頻率及振型與原三維模型在前6階基本保持一致，因高聳結構的風致響應以整體前幾階響應為主，因此可采用簡化模型進行風振分析。

表1 簡化模型與三維模型自振頻率

用動力時程分析計算結構風致響應，需要輸入外部風荷載時程p(t), 本文風荷載模擬采用諧波疊加法，對廣州新電視塔在90°風向角沿塔體高度豎向分布的順風向風荷載進行了模擬，設定時間步長0.5 s，持續1 024 s。脈動風速分布采用沿高度變化的Von Karman譜，采用快速傅里葉變換和諧波疊加法，進行脈動風速時程模擬，進而得到順風向脈動風速時程沿高分布，依據風洞實驗得到的風荷載體型系數把脈動風速轉化成風荷載后輸入結構體系中[14]。然后對式(19a)所示的動力方程組采用Newmark-β法求解。設計風速采用100年重現期和10年重現期兩種，前者主要用于進行主體結構頂部風致位移分析，后者則主要用于主體結構頂部風致加速度(舒適度)分析。

5 頂部帶FPS-TMD系統的風振控制效率分析

5.1 不同結構阻尼比下減振效益分析

表2 100年重現期風速不同阻尼比結構頂層位移

表3 10年重現期風速不同阻尼比結構頂層加速度

圖8 100年重現期風速不同阻尼比結構頂層位移時程Fig.8 Time history of wind-induced displacement atop of the main structure

圖9 10年重現期風速不同阻尼比結構頂層加速度時程Fig.9 Time history of wind-induced acceleration atop of the main structure

從表2表3可以看出，結構頂層位移均方根、頂層加速度均方根隨結構阻尼的增大而減小，當僅計入均方根響應時，頂部裝備有FPS-TMD系統后其減振效果明顯，在阻尼比1%情況下，結構位移均方根減振率可高達40.4%，加速度均方根減振率達15.4%。

5.2 不同質量比下減振效益分析

假定FPS-TMD系統阻尼比ξ=1.5%，滑道半徑取主體結構第一階自振頻率0.11 Hz下對應的值r=20.5 m，摩擦因數μk=0.01， FPS-TMD系統質量md與結構總質量之比取不同值時分析結果如表4，表5所示。

從表4和表5可以看出，主體結構頂層位移均方根隨FPS-TMD系統質量與結構總質量比的增大而減小，質量比越大，減振效果越好；同時頂層加速度均方根也隨質量比的增大而減小；說明FPS-TMD質量越大，減振效果越好。

表4 100年重現期風速下不同質量比頂層位移均方根

表5 10年重現期風速不同質量比頂層加速度均方根

5.3 不同動摩擦因數下減振效益分析

假定FPS-TMD系統阻尼比ξ=1.5%， 滑道半徑取主體結構第一階自振頻率0.11 Hz下對應的值r=20.5 m， FPS-TMD系統質量md與結構總質量之比α=md/M固定為1%；則取不同摩擦因數下分析結果如表6，表7所示。

表6 100年重現期風速下不同摩擦因數頂層位移均方根

表7 10年重現期風速下不同摩擦因數比頂層加速度均方根

從表6，表7可以看出，結構頂層位移均方根、頂層加速度均方根隨FPS-TMD滑道摩擦因數μk的增大而增大。可說明摩擦因數越大，周期越小，減振效率與其成反比。

5.4 不同滑道半徑r下減振效益分析

假定FPS-TMD系統阻尼比ξ=1.5%， FPS-TMD系統質量md與結構總質量之比α=md/M為1%；摩擦因數μk=0.01，當采用不同滑道半徑r時，其減振效果結果如表8，表9所示。

表8 100年重現期下不同滑道半徑結構頂層位移均方根

表9 10年重現期不同滑道半徑結構頂層加速度均方根

從表8，表9可以看出，結構頂層位移均方根、頂層加速度均方根隨FPS-TMD滑道半徑r的增大而減小，滑道半徑越大位移減振效果越好，周期越接近第一階頻率效果越好，但對加速度控制作用效果不明顯。

6 結 論

本文在推導頂部帶FPS-TMD系統的高聳結構，在風荷載作用下動力平衡方程的基礎上，以廣州新電視塔為例，通過選用影響其控制效益的不同參數作用下的風致位移和加速度對比，對上述FPS-TMD系統的風振控制效果進行分析，可得出如下結論：

(1) FPS-TMD系統對具有不同阻尼比的主結構具有不同的減振效率，主體結構阻尼越小其減振效果越明顯。相比無FPS-TMD系統結構的風振響應而言，數值分析表明，主體結構阻尼比為1%時，100年重現期結構頂層位移均方根減振可高達40.4%，10年重現期風速下結構頂層加速度均方根減振可達15.4%。

(2) 通過合理選擇FPS-TMD系統的控制設計參數如：質量比、阻尼比、滑道半徑、摩擦因數等，可使得主體結構能夠達到最佳減振效率。

(3) 頂部帶FPS-TMD系統對主體結構的風振控制效果明顯，特別是針對以風致振動為第一階振型為主的高層柔性結構，效果較為顯著。

(4) FPS-TMD系統可以有效地減少風荷載對主體結構的風致振動響應，與此同時FPS-TMD系統具有良好的穩定性和自復位、自限位功能。故FPS-TMD系統確實為一種有效的被動減振裝置。

(5) FPS-TMD系統需合理選取參數后，可加裝于主體結構頂層部位，根據本文計算，選取大概長寬各4 m左右、高度1 m左右臺座作為系統下支座板，并在其上滑道曲面上填涂聚四氟乙烯或其它低摩擦材料。上支座板為質量塊，采用高密度材料長方體如長寬高分別為8 m、8 m、3 m，如圖1所示。質量為結構總質量1%，上支座板下部為直徑為2 m圓柱面，與下支座板接觸部位與滑道半徑曲率一致，保證其滑動，整體安裝與結構頂層部位。同時，上支座板可作為使用平臺合理利用。

[ 1 ] ZAYAS V, LOW S S, MAHIN S A. A simple pendulum technique for achieving seismic isolation [J]. Earthquake Spectra,1990, 6(2): 317-331.

[ 2 ] MOKHA A S, CONSTANTINOU M C, REINHORN A M, et al. Experimental study of friction pendulum system isolation system [J]. Journal of Structural Engineering, 1991, 117(4): 1201-1217.

[ 3 ] 李大望，王東煒，周錫元.FPS自治系統及其性態分析[J].振動與沖擊,1999,18(1): 23-25.

LI Dawang, WANG Dongwei, ZHOU Xiyuan. FPS autonomy system and behavior analysis[J].Journal of Vibration and Shock, 1999, 18(1): 23-25.

[ 4 ] 李大望，周錫元，霍達，等.FPS隔震結構的性態和地震反應分析[J].工程抗震,1996(1): 6-9.

LI Dawang, ZHOU Xiyuan, HUO Da, et al. FPS morphology and seismic response of isolated structure [J]. Earthquake Resistant Engineering, 1996(1): 6-9.

[ 5 ] ZHONG L L, WU L Y, LIEN K H, et al. Optimal design of friction pendulum tuned mass damper with varying friction coefficient [J]. Structural Control & Health Monitoring, 2013, 20(4): 544-559.

[ 6 ] 鐘立來，吳賴云，陳宣宏，等. 摩擦鐘擺型調諧質塊阻器之優化研究[J]. 中國土木水利工程學刊, 2011, 23(1): 11-23.

ZHONG Lilai, WU Laiyun, CHEN Xuanhong, et al. Optimal design of friction pendulum typed tuned mass damper [J]. China Civil Engineering Society, 2011, 23(1): 11-23.

[ 7 ] 林廷翰. 雙向摩擦鐘擺型調諧質塊阻尼器減振效益之研究[D]. 臺北：臺灣大學，2009.

[ 8 ] 楊林，周錫元，蘇幼坡，等. FPS摩擦擺隔震體系振動臺試驗研究與理論分析[J].特種結構, 2005, 22(4): 43-46.

YANG Lin，ZHOU Xiyuan，SU Youpo, et al. Theoretical and experimental study on friction pendulum isolated system [J]. Special Structures, 2005, 22(4): 43-46.

[ 9 ] 潘琴存. 摩擦擺TMD減震結構的動力分析與試驗研究[D].武漢：華中科技大學, 2006.

[10] 愛德華·L·威爾遜. 結構靜力與動力分析——強調地震工程學的物理方法[M].上海：中國建筑工業出版社, 2006.

[11] 顧明，黃鵬，周晅毅，等.廣州新電視塔模型測力風洞試驗及風致響應研究I：風洞試驗[J]. 土木工程學報, 2009, 42(7): 8213.

GU Ming, HUANG Peng, ZHOU Xuanyi, et al. Wind tunnel force balance test and wind-induced responses of the Guangzhou new TV tower structureⅠ: wind tunnel test [J]. China Civil Engineering Journal, 2009, 42(7): 8213.

[12] 周晅毅，顧明，朱樂東，等.廣州新電視塔模型測力風洞試驗及風致響應研究Ⅱ：風致響應分析[J].土木工程學報, 2009(7): 14-20.

ZHOU Xuanyi, GU Ming, ZHU Ledong, et al. Wind tunnel force balance test and wind-induced responses of the Guangzhou new TV tower structure Ⅱ : analysis of wind-induced responses [J]. China Civil Engineering Journal, 2009(7): 14-20.

[13] CHEN W H, LU Z R, LIN W, et al. Theoretical and experimental modal analysis of Guangzhou new TV tower [J]. Engineering Structures, 2011, 33(12): 3628-3646.

[14] 胡嘉偉. 帶TMD系統高聳結構風振控制效益分析[M]. 廣州：廣州大學，2016.