預(yù)張拉CFRP布增強(qiáng)加筋矩形板的動(dòng)力特性分析

丁 馴， 周 叮， 劉 朵， 張建東

(1. 南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 211816； 2. 蘇交科集團(tuán)股份有限公司，南京 211112)

板是結(jié)構(gòu)工程中最常見的構(gòu)件，若在垂直于板邊方向使用加強(qiáng)筋，可有效提高板和整個(gè)結(jié)構(gòu)的承載能力和穩(wěn)定性[1-2]。CFRP是一種高性能的新型纖維增強(qiáng)復(fù)合材料，近十年來，特別是在美國(guó)北嶺地震和日本阪神大地震后，采用CFRP布加固補(bǔ)強(qiáng)混凝土結(jié)構(gòu)的技術(shù)在實(shí)際工程中大量應(yīng)用，并且隨著這項(xiàng)加固技術(shù)在世界各地的推廣和發(fā)展，CFRP材料的輕質(zhì)高強(qiáng)、抵抗腐蝕、方便操作等優(yōu)越性能逐漸被工程界認(rèn)可，并且已成功運(yùn)用于加筋板的加固，具體方法是對(duì)CFRP布進(jìn)行預(yù)張拉，然后張貼到加強(qiáng)筋的下表面起到增強(qiáng)效果[3]。

近十年來世界各國(guó)土木建筑界的許多學(xué)者和工程師們將CFRP廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的加固工程，并進(jìn)行了大量的實(shí)踐和研究工作。劉世恩等[4]提出了一種計(jì)算加勁板的板梁分開法模型，用有限元法對(duì)該模型進(jìn)行了幾何非線性分析并與試驗(yàn)結(jié)果以及解析解相比較；杜修力等[5]介紹了預(yù)應(yīng)力芳綸纖維布和碳纖維筋在加固混凝土結(jié)構(gòu)方面的主要研究成果。

Bhaskar等[6]分別用彈性力學(xué)方法和經(jīng)典力學(xué)方法研究了四邊簡(jiǎn)支正交各向異性加筋板的靜、動(dòng)力學(xué)性能；周叮[7]研究了兩對(duì)邊簡(jiǎn)支、另兩對(duì)邊復(fù)雜支撐矩形板的橫向振動(dòng)問題；馬牛靜等[8-9]研究了四邊固定和四邊簡(jiǎn)支加勁板非線性振動(dòng)的求解方法與振動(dòng)特性，將加勁板分為母板與加勁肋兩個(gè)部分考慮，其中母板視為大撓度板，加勁肋視為Euler梁。李凱等[10]基于能量泛函變分的方法，研究附加多個(gè)集中質(zhì)量縱橫加筋板的自由振動(dòng)特性；為了提高加筋板結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的預(yù)報(bào)精度，黃海燕等[11]建立了考慮板的剪切變形和旋轉(zhuǎn)慣性以及梁偏心的加筋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模型；尉大業(yè)[12]研究了周期和失諧周期正交各向異性肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳播特性；白崇喜[13]研究了無黏結(jié)CFRP筋部分預(yù)應(yīng)力混凝土梁板設(shè)計(jì)方法研究；張浩宇等[14]分別應(yīng)用工程算法和有限元軟件ANSY對(duì)CFRP增強(qiáng)環(huán)氧樹脂復(fù)合材料加筋板的壓縮穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，得到了加筋板的臨界失穩(wěn)屈曲載荷和屈曲模態(tài)。CFRP加固技術(shù)的廣泛運(yùn)用，推動(dòng)了社會(huì)對(duì)CFRP增強(qiáng)加筋板的理論研究。

通常情況下，板的平面尺寸比厚度大很多，可用經(jīng)典薄板理論進(jìn)行分析；加強(qiáng)筋的長(zhǎng)度比其寬度和高度均大很多，故可用歐拉梁理論進(jìn)行分析，而粘貼在加強(qiáng)筋下表面的預(yù)張拉CFRP布可使用弦理論進(jìn)行分析。本文將預(yù)張拉CFRP布加固簡(jiǎn)支加筋矩形板體系劃分為CFRP層、加強(qiáng)筋、矩形板三個(gè)部分，分別對(duì)之進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，根據(jù)各個(gè)部分在接觸處力和位移的連續(xù)性條件確定待定系數(shù)，采用數(shù)值搜根法求出整個(gè)系統(tǒng)自由振動(dòng)的固有頻率。

1 研究模型

考慮如圖1所示的長(zhǎng)寬分別為a、b，厚度為h的四邊簡(jiǎn)支矩形板；板下表面y=b/2處支承有長(zhǎng)度為a、截面高度和寬度分別為H和B的簡(jiǎn)支梁；梁下表面滿布貼有預(yù)張拉的CFRP布。模型中任一點(diǎn)沿x、y、z方向的位移分別為u、v、w。

基本假設(shè)：①不考慮梁與CFRP層之間的膠結(jié)層作用，梁和CFRP布完全黏合在一起；②板和梁、梁和CFRP層間的應(yīng)力和位移沿梁寬均布；③CFRP粘貼層的厚度與加強(qiáng)筋的截面高度相比很小可忽略不計(jì)。

圖1 預(yù)張拉CFRP布加固加筋矩形板Fig.1 Stiffened rectangular plate strengthened with pretension CFRP sheets

2 預(yù)張拉CFRP布分析

CFRP布很薄，CFRP層和加強(qiáng)筋之間的作用力沿寬度B不變，可將預(yù)張拉CFRP層當(dāng)作一維的弦來進(jìn)行分析。CFRP層的受力如圖2所示，加強(qiáng)筋對(duì)其在單位寬度上產(chǎn)生的豎向作用力為Jint(x,t)，切向作用力為Rint(x,t)，CFRP層兩端受到大小為T的預(yù)張力，則每層CFRP兩端受到T除以層數(shù)的預(yù)張力。

圖2 CFRP層上的界面作用力Fig.2 Interface tractions on the CFRP sheet

CFRP層微段上的平衡條件為

(1)

(2)

(3)

式中：N為CFRP層除了T以外的軸力；Ec為CFRP布沿長(zhǎng)度方向的彈性模量；Ac為CFRP層的橫截面積；ρc為弦單位長(zhǎng)度的質(zhì)量。

將式(3)代入式(2)進(jìn)一步得到

(4)

設(shè)CFRP層的位移函數(shù)為

(5)

式(5)已滿足邊界條件：w=0， 當(dāng)x=0,a。

根據(jù)位移函數(shù)的形式，可設(shè)加筋板與CFRP布間的界面力為

(6)

將式(5)、式(6)代入式(1)、式(4)， 將Am、Bm用Jm、Rm表示。

3 加強(qiáng)筋分析

因加強(qiáng)筋的跨度比其截面尺寸大很多，可以將加強(qiáng)筋簡(jiǎn)化成歐拉梁，用歐拉梁理論進(jìn)行分析。加強(qiáng)筋上下表面的受力如圖3所示，CFRP層在單位寬度上對(duì)其產(chǎn)生的豎向力為Jint(x,t)， 切向力為Rint(x,t)， 矩形板對(duì)其產(chǎn)生的單位寬度上的豎向力為Qint(x,t)， 切向力為Sint(x,t)。

圖3 加強(qiáng)筋上下表面的受力Fig.3 Interface tractions on the stiffener

將上下界面作用力均轉(zhuǎn)移到加強(qiáng)筋中線上時(shí)，上下切向力均會(huì)產(chǎn)生沿長(zhǎng)度方向分布的附加彎矩，如圖4所示。

圖4 上下表面受力轉(zhuǎn)換到加強(qiáng)筋的中線Fig.4 Shifting of interface tractions to the mid line of the stiffener

設(shè)CFRP層切向力Rint(x,t)產(chǎn)生的附加彎矩為mr(x,t)， 矩形板切向力Sint(x,t)產(chǎn)生的附加彎矩為ms(x,t)， 則

(7)

根據(jù)歐拉梁理論，引入加強(qiáng)筋中線位移u0，則加強(qiáng)筋上某點(diǎn)的位移為

(8)

加強(qiáng)筋中線微段上的平衡條件為

(9)

(10)

(11)

式中：N、V、M分別為加強(qiáng)筋任一截面上的拉力、剪力和彎矩；ρb為加強(qiáng)筋的質(zhì)量密度。

將式(11)代入式(10)中，消去V得

(12)

根據(jù)加強(qiáng)筋的本構(gòu)關(guān)系，在x方向上有

(13)

將式(13)代入式(9)、式(12)，得加強(qiáng)筋的微分控制方程

(14)

式中：Eb為加強(qiáng)筋長(zhǎng)度方向的彈性模量；Ab為加強(qiáng)筋截面的面積；Ib為加強(qiáng)筋截面的慣性矩。設(shè)矩形板對(duì)單位寬度上加強(qiáng)筋的作用力為

(15)

根據(jù)加強(qiáng)筋上下界面作用力傅里葉級(jí)數(shù)的形式，加強(qiáng)筋的位移函數(shù)可設(shè)為

(16)

式(16)已滿足梁兩端簡(jiǎn)支的邊界條件

將式(6)、式(15)、式(16)代入式(14)，將Um、Wm用Rm、Jm、Sm、Qm表示。

4 薄板分析

矩形薄板下方受力如圖5所示，和加強(qiáng)筋一樣，將界面作用力轉(zhuǎn)移到板的中面上，在板的單位面積上會(huì)分別產(chǎn)生豎向力Qint(x,y,t)、 切向力Sint(x,y,t)以及分布力矩mp(x,y,t)。

圖5 矩形板上的界面作用力Fig.5 Interface tractions on the rectangular plate

將加強(qiáng)筋對(duì)矩形板的豎向和切向作用力展開成雙三角級(jí)數(shù)

(17)

(18)

則有

(19)

根據(jù)經(jīng)典板理論，有

(20)

式中：u0(x,y,t)、v0(x,y,t)和w(w,y,z,t)為板中面的位移。

板中面上微小面積元的受力平衡條件為

(21)

(22)

(23)

式中：N、M、Q為矩形板的內(nèi)力。

將式(22)代入式(23)消去Qx和Qy，得

(24)

各向同性板的平面應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系為

(25)

沿板厚度積分得微分控制方程

(26)

(27)

(28)

設(shè)板的位移函數(shù)為雙三角級(jí)數(shù)形式

(29)

式(29)已滿足簡(jiǎn)支邊界條件當(dāng)x=0,a;w=v=0； 當(dāng)y=0,b;w=u=0。

將式(17)～式(19)和式(29)代入式(26)～式(28)，將Umn、Vmn、Wmn用Sm、Qm表示。

5 CFRP層、加強(qiáng)筋、板的整體分析

上述的分析已經(jīng)滿足了界面之間力的連續(xù)性，由于加強(qiáng)筋與矩形板的作用力和位移沿筋的寬度B均保持不變，這樣的假設(shè)無法保證在加強(qiáng)筋整個(gè)寬度上與矩形板間位移的連續(xù)，因此可沿加強(qiáng)筋的中線近似取加強(qiáng)筋和板的界面位移沿y=b/2線連續(xù)，則根據(jù)各層間位移連續(xù)性，得到一個(gè)關(guān)于系數(shù)Rm、Jm、Qm、Sm之間的齊次線性方程組，用矩陣形式可表示為

(30)

式中： 各個(gè)系數(shù)詳細(xì)表達(dá)式見附錄。

由于系數(shù)不全為0，根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，可知其系數(shù)行列式的值為零，就得到整個(gè)系統(tǒng)的頻率方程

(31)

利用行列式搜根法可求出各階固有頻率，將頻率值代入式(30)可求出各個(gè)系數(shù)的相對(duì)值，再將這些結(jié)果值代入相應(yīng)的位移函數(shù)，就可以得到各階振型。

6 收斂性分析和算例

首先研究本文方法的收斂性，假設(shè)方板的泊松比vp=0.3，彈性模量Ep=30 000 MPa,板的長(zhǎng)寬a=b=5 000 mm，板厚h=100 mm，密度ρ=2.4×10-9T/mm3加強(qiáng)筋的泊松比υb=0.3，彈性模量Eb=30 000 MPa，加強(qiáng)筋高H=200 mm，寬B=100 mm；CFRP的彈性模量Ec=200 000 MPa，每層CFRP布的厚度為0.6 mm，密度ρc=1.8×10-9T/mm3，每層CFRP布兩端受到的預(yù)拉力使CFRP布產(chǎn)生0.5%的拉應(yīng)變，換算得預(yù)拉力T=600 N/mm。收斂性分析和與有限元結(jié)果對(duì)比如表1和表2所示。

表1 各階頻率收斂性分析

從表1可以看出本文的結(jié)果具有很好的收斂性，在級(jí)數(shù)N取到40時(shí)，可保證三位以上的有效數(shù)字，故在以后的分析中級(jí)數(shù)項(xiàng)全部取N=40。有限元ANASYS分析板和FRP均采用殼單元Shell181，加強(qiáng)筋采用實(shí)體單元Solid185，預(yù)張拉施加采用溫度法。表2給出了本文解與有限元ANSYS解的比較，從表中可以看出，本文解與有限元解吻合很好，最大誤差只有2.1%，證明了本文模型的正確性。另外用Mathematics畫出了前三階振型圖，如圖6所示。

表2 本文解與有限元解的比較

圖6 矩形加筋板的前三階振型Fig.6 The first three mode shapes of the rectangular stiffened plate

表3和表4分別研究CFRP布層數(shù)和CFRP布預(yù)張力對(duì)固有頻率的影響，表3中每層CFRP布預(yù)張力的大小都是600 N/mm，由表3可知隨著CFRP層數(shù)的增加，加筋板各階的自振頻率相應(yīng)增大，加固效果隨CFRP布層數(shù)的增加越來越明顯。表4為CFRP布粘貼一層情況下預(yù)張力變化對(duì)各階自振頻率的影響，由表4可知隨CFRP布預(yù)張力的增加，各階自振頻率亦相應(yīng)增大；比較表3和表4可以發(fā)現(xiàn)，增加CFRP的層數(shù)比增加預(yù)張力的大小對(duì)提高加筋板固有頻率的影響更大。不管是增加CFRP層數(shù)還是提高預(yù)張力大小，都提高了加筋板的剛度，從而使得加筋板的自振頻率增大，符合實(shí)際工程情況。

表3 粘貼不同層數(shù)CFRP對(duì)加筋板固有頻率的影響

表4 不同預(yù)張力CFRP對(duì)加筋板固有頻率的影響

7 結(jié) 論

本文研究了預(yù)張拉CFRP增強(qiáng)加筋矩形板的動(dòng)力學(xué)分析，將整體系統(tǒng)沿界面分割成薄板、加強(qiáng)筋、CFRP三部分，將界面力作為待定未知外力，分別對(duì)三部分進(jìn)行分析，以三角級(jí)數(shù)形式表示各個(gè)方向的位移函數(shù)和應(yīng)力，根據(jù)各部分界面間的位移連續(xù)性條件得到一齊次代數(shù)方程組，由系數(shù)行列式為零條件得到以固有頻率為未知量的代數(shù)表達(dá)式，數(shù)值搜根得到各階固有頻率。計(jì)算結(jié)果與有限元ANSYS解對(duì)比證明了本文模型的準(zhǔn)確性。分析了不同層數(shù)CFRP和不同預(yù)張力值對(duì)加筋板固有頻率的影響，通過對(duì)比可知，隨著CFRP層數(shù)和預(yù)張力的增加，CFRP增強(qiáng)加筋板的固有頻率逐漸增加，這意味著加固有明顯效果；研究表明CFRP層數(shù)的增加比預(yù)張力的增加對(duì)CFRP增強(qiáng)加筋板固有頻率的影響更大。

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附錄：