基于剛柔耦合的綜合傳動匯流行星排斷齒故障動態特性仿真研究

郝馳宇, 馮廣斌, 閆鵬程, 孫華剛(1．陸軍工程大學(石家莊校區) 火炮工程系,石家莊 050003；．軍械技術研究所，石家莊 050003)

相比于定軸齒輪傳動，行星齒輪具有結構緊湊、傳動效率高、承載能力大、工作平穩等優點，因此在工程機械、航空航天、船舶艦艇、風力發電等領域[1-3]得到了廣泛的應用。

綜合傳動裝置作為我軍新型履帶式裝甲底盤的重要組成部分，采用了直駛傳動和無級轉向的雙功率流傳動技術，極大地提高了軍用履帶車輛的快速機動能力。匯流行星排是綜合傳動中的重要組成部分，由于其具有工作負荷大、工況惡劣等特點，在使用過程中易產生磨損、燒蝕等故障，如圖1所示，影響底盤系統的轉向靈活性，嚴重時導致車輛無法轉向；而工作環境密閉、難以拆卸的特點則導致故障定位困難，加大了維護保養的難度，因此當前對匯流行星排的故障機理、故障診斷及特征提取的問題得到了廣泛的關注[4-5]。

在工程實際中，多體系統的部件在運行過程中不存在絕對的剛性體，肯定會表現出一定的柔性體特征，剛柔耦合多體動力學建?？梢愿鎸嵉哪M機構的實際動態特性[6-8]。本文基于多柔性體動力學(MFBD)技術，采用RecurDyn中創新的FFLex(有限元柔性體)模塊，建立了其剛柔耦合動力學仿真模型，得到了行星齒輪的動態等效應力圖并確定了危險點的位置，對考慮柔性變形前后的動態響應進行了對比分析；在此基礎上建立了行星齒輪斷齒故障仿真模型，并通過其接觸力和振動信號完成了其時頻域上的特征提取，為匯流行星排的故障診斷、壽命預測提供了一定的依據。

1 剛柔耦合模型的動力學理論基礎

1.1 基于RecurDyn的多體動力學理論

韓國開發的多體動力學仿真軟件RecurDyn，基于相對坐標系動力學方程理論，采用的完全遞歸算法可以完成復雜機械運動的仿真與受力分析，在處理復雜多體系統動力學上，尤其是在求解大規模、高速及剛性問題時，其求解速度和效率要優于傳統的多體動力學軟件[9]?；谙鄬ψ鴺讼甸_發的RecurDyn軟件的詳細理論公式參見文獻[10]。

在絕對坐標系中物體的速度可以表示為

(1)

式中:nc為絕對坐標系中的坐標數

在相對坐標系中物體的速度可以表示為

(2)

式中:nr為絕對坐標系中的坐標數

因此所有物體的笛卡爾速度可以通過如下形式獲得

(3)

式中：系數矩陣B可以用相對坐標來表達。

系統的運動方程可從第一類拉格朗日方程獲得

(4)

1.2 柔性體運動方程

如圖2所示，柔性體上的任一點P的位置向量為

r=r0+A(sP+uP)

(5)

式中:r為P點在慣性坐標系中的向量；r0為相對坐標系原點在慣性坐標系中的向量；A為方向余弦矩陣；sP為柔性體未變形時P點在相對坐標系中的向量；uP為相對變形向量。如式(6)，uP可采用模態坐標來描述

uP=ΦPqf

(6)

式中:ΦP為變形模態矩陣；qf為變形的廣義坐標。因此，柔性體上任一點的速度向量及加速度向量為

(7)

(8)

圖2 柔性體變形模型

1.3 柔性體動力學方程

考慮節點P變形前后的位置、方向和模態，柔性體的廣義坐標可表示為

(9)

柔性體的動力學方程由拉格朗日方程導出

(10)

式中:Ψ為約束方程；λ為對應于約束方程的拉氏乘子；ξ為如式(9)定義的廣義坐標；Q為投影到ξ的廣義力；L為拉格朗日項，定義為L=T-W，T和W分別表示動能和勢能，Γ表示能量損耗函數。則最終的運動微分方程為

(11)

1.4 MFBD技術

MFBD(Multi-Flexible-Body Dynamics)技術采用節點法對傳統的模態縮減法進行了補充擴展，將多體動力學和有限元分析兩個單獨的領域結合起來，克服了傳統模態縮減法的弊端，能夠精確表達接觸力引起的局部變形，并能夠表達柔性體累計的非線性變形，可以有效地求解機構的大變形及非線性的問題，結合其強大的接觸分析能力還可以實現“剛-柔”“柔-柔”等復雜接觸的建模與分析問題[11]。在分析的過程中，可以得到結構柔性體上節點應力隨時間變化的過程。

2 匯流行星排簡介

2.1 基本結構和傳動原理

如圖3所示，綜合傳動裝置為雙功率流傳動形式，其動力由發動機輸入后，直駛功率流通過直駛變速機構，傳遞到匯流行星排的齒圈上；而轉向功率流則通過液壓轉向機構傳遞給匯流行星排的太陽輪上，兩路功率流在匯流行星排處匯流并輸出，驅動車輛實現直駛、轉向。

圖3 綜合傳動裝置工作原理圖

2.2 周轉輪系(行星齒輪結構)原理

履帶車輛在直駛工況下，匯流行星輪為行星輪系，自由度為1，而在轉向工況下，其為周轉輪系自由度為2。本文模擬其轉向工況下的動力學特性開展研究，以齒圈和太陽輪為輸入，行星架為輸出。

如圖4所示為差動輪系的結構簡圖，其中構件1為太陽齒輪，構件2為行星齒輪，構件3為齒圈，H為行星架。

圖4 差動輪系結構簡圖

(12)

(13)

若ω1、ω2、ω3及ωH中有兩者是已知的，就可以求得第三者。

太陽輪與行星輪以及行星輪與大齒圈相嚙合的節點線速度相等，因此可得：

(14)

也即：

|f1-fH|×Z1=|f2-fH|×Z2=|f3-fH|×Z3

(15)

根據實際工況，當發動機輸入轉速為1 550 r/min時，齒圈輸出轉速(即匯流行星排輸入轉速)770 r/min，設定轉向輸入(即匯流行星排太陽輪輸入)為95.5 r/min時，根據上述傳動原理及各構件齒輪參數(見表1)，可以計算得出

(1)齒圈轉頻為：770/60=12.83 Hz。

(2)太陽輪轉頻為：95.5/60=1.59 Hz，由于太陽輪與齒圈、行星架的旋轉方向相反，可記作太陽輪的旋轉方向為“+”，則大齒圈，行星架的轉向都為“-”。

(5)行星包的嚙合頻率為：

表1 匯流行星排齒輪參數

3 匯流行星排剛柔耦合建模

3.1 剛柔耦合模型動力學分析方法[13]

RecurDyn中存在兩種柔性體模塊：RFlex(模態柔性體)和FFLex(有限元柔性體)，其中RFLex是利用模態縮減法，將在有限元程序中計算出的模態參數來代替系統中的剛性體；而FFLex采用RecurDyn創新的完全柔性體技術，只需對剛體進行網格的劃分，無需進行模態分析，自動調用RecurDyn中的有限元程序進行分析。

RFLex只需將有限元程序中的網格模型縮減成模態信息，計算簡單易行，但是其缺點也很明顯，構件之間的接觸只能通過虛擬的點來搭建，模態柔性體變形后需要在外部有限元程序中進行模態的更新，這很難實現。而本文所選用的FFLex相對于RFLex有明顯的優勢，柔性體模型的修改只需重新進行網格的劃分，而且由于變形是利用柔性體節點上的相對變形來描述，所以可以考慮柔性體的大變形、非線性等非線性變形的積累。

本文對匯流行星排進行剛柔耦合分析的流程圖如圖5所示，利用三維建模軟件CREO，有限元分析軟件ANSYS及多體動力學軟件RecurDyn，基于軟件之間的接口程序可以快速的建立剛柔耦合動力學模型。

圖5 剛柔耦合動力學分析流程

3.2 多剛體模型的建立

本文利用三維建模軟件CREO對其部件進行參數化建模，并利用虛擬裝配、干涉檢查來確定模型建立的正確性，建立的三維實體模型如圖6所示。

圖6 匯流行星排實體模型

為了簡化分析的目的，將輪系中的連接和支撐部件如螺栓、銷釘和軸承體等進行簡化約減，之后將實體模型導入到RecurDyn中，按照表2匯流行星排的材料參數進行設置。

按照實際的傳動關系對匯流行星排中各構件施加約束：①輸入齒圈、行星架、太陽齒輪和大地之間分別施加旋轉副，共3對；②四個行星齒輪和行星架之間分別添加旋轉副，共4對；③輸入齒圈和四個行星齒輪之間添加接觸力，共4對；④太陽輪和四個行星齒輪之間添加接觸力，共4對。

表2 匯流行星排的材料參數

3.3 接觸力參數的設定

基于Hertz彈性撞擊理論[14-15]，RecurDyn中計算接觸力的公式為

(16)

式中:k為接觸剛度系數；c為阻尼系數；m1，m2，m3分別為剛度指數、阻尼指數及凹痕指數，δ為穿透深度。

在齒輪傳動中，接觸剛度的計算公式如下

(17)

(18)

(19)

式中：R1和R2分別為兩輪齒嚙合點處的當量半徑(齒輪嚙合傳動時變形很小，可以用分度圓半徑近似)；E1和E2分別為兩輪齒材料的彈性模量：u1和u2分別為輪齒材料的泊松比。

根據表2中匯流行星排的材料參數，計算可得齒圈和行星齒輪、行星齒輪和太陽輪之間的接觸剛度分別為6.7×105N/mm3/2和6.2×105N/mm3/2。阻尼系數設為50 N/(s·mm)，非線性指數設為1.5，最大擊穿深度設為0.1 mm。接觸中同樣考慮潤滑力，齒輪間按潤滑處理，其靜摩擦因素設為0.08，動摩擦因素設為0.05，靜態阻力滑移速度為設0.1 mm/s，動態阻力轉換速度為設10 mm/s[16-17]。

3.4 剛柔耦合模型的建立

選取匯流行星排中的行星齒輪進行柔性化建模，在ANSYS經典環境中完成材料屬性的設置后進行網格劃分，可以通過“CDWRITE”命令生成相應模型的*cbd文件，圖7所示為導入的不同網格密度的有限元模型。可以看出圖7(a)中網格比較稀疏，其輪齒齒廓面已發生變形，會影響到仿真結果的精度；而圖7(c)中網格最為密集，但在保證精度的情況下由于網格過多，極大的影響了計算的效率，因此綜合考慮利用圖7(b)所示的有限元模型進行仿真分析，其網格數量為24 181，較為密集，可提高精度并且保證仿真效率。

(a) 網格數量：7 715

(b) 網格數量：24 181

(c) 網格數量：76 110

將行星齒輪的有限元模型導入到RecurDyn中替換原有的構件之后，原有構件的接觸及約束關系都會消失，需要對有限元模型進行進一步的處理。根據圖所示利用FFLex/mesher將有限元模型進行修改，如圖8所示。

圖8 齒輪有限元模型的修改

(1)創建節點集和剛性FDR單元代替原剛體行星輪與行星架之間的旋轉副；

(2)將行星輪齒齒面定義為“patch”單元，利用FFLex中的有限元柔性體接觸(Surface to Fsurface)來建立柔性行星輪與齒圈、太陽齒輪間的接觸，之后添加其接觸力參數，建立完整的剛柔耦合模型如圖9所示。

圖9 匯流行星排剛柔耦合模型

3.5 準確性驗證分析

在匯流行星排中的齒圈上加逆時針直駛驅動轉速770 r/min(80.6 rad/s)，定義轉速函數為STEP(TIME,0,0,0.02,80.6)，在太陽輪上加順時針轉向驅動轉速95.5 r/min(10 rad/s),定義轉速函數為STEP(TIME,0,0,0.02,-10)，在輸出端-行星架上添加負載轉矩6 000 N·m，定義負載驅動函數為STEP(TIME,0,0,0.02,6 000 000)，仿真時間為1 s，仿真步進為2 000。

圖10中可以看出，各構件在0～0.02 s中出現波動并逐漸上升到穩定工況，且行星架和行星齒輪的轉動速度均在計算值(ωH=52.8 rad/s，ω2=151.7 rad/s)上下小幅度波動，與理論值相符。

圖10 匯流行星排各傳動件速度仿真值

3.6 仿真結果分析

對剛柔耦合模型進行仿真后，在RecurDyn的后處理模塊中可以得到行星齒輪在轉向工況下的動態應力分布，如圖11所示，行星齒輪在實際工況下等效應力的最大值發生如圖所示紅色區域位置，在行星輪齒輪的端面輪齒節點下界點附近[18]。

圖11 行星輪應力最大時等效應力分布云圖

Fig.11 Stress distribution nephogram of planetary gear with max stress

柔性行星輪與太陽輪的接觸力如圖12所示(上圖為剛體模型，下圖為剛柔耦合模型)，可以看出剛柔耦合模型中動態接觸力的變化范圍比剛體模型中的要大，這是由于柔性體接觸受力后發生彈性形變，導致兩輪齒之間嚙合的瞬態沖擊增大引起的。通過計算得可得，剛柔耦合模型中動態接觸力平均值為8 104 N，剛體模型動態接觸力平均值為10 131 N，其原因是由于柔性體對外載沖擊有緩沖作用，從而使接觸力的均值較剛性體較小[19]。

(a)

(b)

圖13為接觸力頻譜的比較圖，可以看出圖中均出現了行星包的嚙合頻率(220.3 Hz)和倍頻，但是相較于剛體模型，柔體模型對時域和頻域上的響應特征更加明顯，這是因為柔性齒輪產生的彈性變形造成了嚙合過程中的載荷波動使得嚙合頻率受到調制[20]。

(a)

(b)

綜上可知，相較于剛體模型，剛柔耦合模型可以實時反映構件在運動過程中的動態應力分布，并確定其危險位置；且考慮到柔性變形之后，其在時域和頻域上的響應特征相對明顯，更能反映匯流行星排中構件的實際運行狀態。

4 匯流行星排故障仿真分析

4.1 故障仿真模型的建立

根據前文分析，輪系在實際工況下等效應力的最大值發生行星齒輪的端面輪齒節點下界點附近，實際工況中，齒輪齒根處經過多次疲勞變形后易發生斷裂，因此本文在CREO中模擬輪齒斷裂故障，如圖14所示，并將其進行柔性化后導入到剛柔耦合模型當中進行分析。

圖14 斷齒故障齒輪的建立

4.2 接觸力信號時頻域特性分析

按照前文的工況設定進行仿真，之后在RecurDyn后處理模塊中提取出行星輪接觸力的時域信號比較如圖15所示，經過FFT后的頻域信號比較如圖16和17所示。

(a) 無故障

(b) 斷齒故障

從時域比較圖(圖15)中可以看出，在行星齒輪正常狀態和斷齒狀態下的接觸力都包含有周期性沖擊，周期約為0.06 s，對應行星齒輪的特征頻率15.74 Hz，與理論計算值相吻合，且在斷齒故障中產生的周期性沖擊載荷要高于正常值。

在頻域比較圖(圖16和17)上可以看出，在正常狀態下，存在著行星包的主頻(220.3 Hz)及其倍頻成分(440.6、661.5、881.8 Hz)，在主頻及倍頻周圍存在著逐漸衰減的邊頻帶，間距約為16 Hz，對應行星齒輪轉動的特征頻率，分布不規律但總體趨勢是對稱的；而在斷齒故障狀態下，主頻、倍頻及其邊頻成分幅值有明顯增加。

(a) 無故障

(b) 斷齒故障

(a) 無故障

(b) 斷齒故障

Fig.17 Comparison of contact force in partly frequency domain(150—300 Hz)

4.3 加速度信號時頻域特性分析

在實際情況下對齒輪間接觸力的測試難度較大，在工程實際中通常用加速度信號來對其進行分析，如圖18下行星齒輪上測得的加速度時域信號比較，圖19和20為經過FFT變換后的頻域信號比較。

在時域比較圖(圖18)中可以看出，相較于正常狀態，斷齒故障后存在著較大的沖擊載荷，但是其周期性不明顯。

(a) 無故障

(b) 斷齒故障

(a)

(b)

而從頻域圖(圖19和20)中可以看出，在正常狀態下可以看出行星包的嚙合主頻(220.3 Hz)，兩側無規律地分布著間距約16 Hz的邊頻帶，但由于各頻率的混疊，其倍頻(440.6、661.5、881.8 Hz)不太明顯，；而發生斷齒時，主頻及其倍頻的幅值均有增加，而且嚙合頻率(220.3 Hz)兩側的邊頻成分和幅值也有明顯增加，這與接觸力上的特征值變化趨勢相符。

4.4 斷齒故障仿真結果分析

綜上所述，針對正常與斷齒故障狀態下，其接觸力和加速度信號時頻域上的對比分析，可以得出以下結論：

(a) 無故障

(b) 斷齒故障

Fig.20 Comparison of acceleration in partly frequency domain(150—300 Hz)

(1)在時域上，與正常狀態下的平穩嚙合相比，發生斷齒故障后表現為：存在幅值較大的沖擊型振動，其振動能量也有較大幅度的增加。

(2)在頻域上，發生斷齒故障后斷齒故障的特征更為明顯，其表現為：一方面，嚙合頻率分量大幅度增加；另一方面，邊頻帶能量增加，邊頻峰值突出顯現，邊頻譜峰提高、增多。

(3)相較于加速度信號，斷齒后對于齒輪間接觸力動態特性的影響更為明顯，這是由于在匯流行星排的運行過程中，其加速度信號中存在著多種特征頻率的混疊，導致其周期性不明顯，不易進行辨識。

分析斷齒故障對匯流行星排的影響，齒輪的局部故障往往表現為轉動頻率對嚙合頻率及其倍頻的調制，因此在譜圖上形成以嚙合頻率及其倍頻為中心的一系列邊頻帶，邊頻帶反映了故障源信息，邊頻帶的間隔反映了故障源的頻率，幅值的變化反映了故障的程度，而行星齒輪發生斷齒故障后對載波信號的調制要比正常時高出很多[21-22]。

5 結 論

(1)基于多柔性體動力學(MFBD)技術，利用多體動力學仿真軟件RecurDyn，建立起綜合傳動匯流行星排的多體動力學模型，并根據理論計算值對仿真結果進行了驗證。

(2)研究了利用剛柔耦合建模來對匯流行星排的系統動態特性進行分析的方法，仿真結果表明，利用剛柔耦合模型可以得出實際工況下的動態應力分布并確定其危險位置，且考慮到柔性變形之后，在時域和頻域上的相應特征更加明顯，更能反映構件的動態特性。

(3)建立了斷齒故障模型，利用接觸力及加速度的時頻域分析，提取出了匯流行星排中斷齒故障特征，其時域上表現為幅值較大的沖擊型振動，在頻域上是以斷齒所在齒輪的旋轉頻率為調制信號，對嚙合頻率附近的邊頻產生了調幅調頻的現象，且嚙合頻率及其附近邊頻成分及能量值均有顯著增加。

[1] 巫世晶, 劉振皓, 王曉筍, 等. 基于諧波平衡法的復合行星齒輪傳動系統非線性動態特性[J]. 機械工程學報, 2011, 47(1): 55-61.

WU Shijing, LIU Zhenhao, WANG Shaosun, et al. Nonlinear dynamic characteristics of compound planetary gear train sets based on harmonic balance method[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(1): 55-61.

[2] 劉欣. 基于虛擬樣機技術的直齒行星傳動動力學研究[D]. 天津: 天津大學機械工程學院, 2007: 52-69.

[3] MARK W. Stationary transducer response to planetary-gear vibration excitation II: Effects of torque modulations[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2009, 23(7): 2253-2259.

[4] INALPOLAT M, KAHRAMAN A. A theoretical and experimental investigation of modulation sidebands of planetary gear sets[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 323(4):677-696.

[5] BARTELMUS W, ZIMROZ R. Vibration condition monitoring of planetary gearbox under varying external load[J].Mechanical Systems and Single Processing, 2009, 23(1): 246-257.

[6] 高準, 屈效池, 張天孝, 等. 基于Hertz接觸力模型的慣性平臺內框架組件失穩倒臺動力學建模與仿真分析[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(14): 52-55.

GAO Zhun, QU Xiaochi, ZHANG Tianxiao, et al. Dynamic modeling of inertial platform’s inner gimbal component based on Hertz contact model and simulation of running away process due to instability[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(14): 52-55.

[7] 姚廷強, 遲毅林, 黃亞宇, 等. 剛柔耦合齒輪三維接觸動力學建模與振動分析[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(2): 168-171.

YAO Tingqiang, CHI Yilin, HUANG Yayu, et al. Contact dynamics modeling and simulation on rigid-flexible gear pair[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(2): 168-171.

[8] 隋立起, 鄭鈺其, 王三民. 剛柔耦合多體系統的沖擊響應分析方法及應用研究[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(15): 26-29.

SUI Liqi, ZHENG Yuqi, WANG Sanmin. Method of analysing impact reponse of multi-rigid-flexible system and its application[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(15): 26-29.

[9] YOO W S, KIM S S, PARK T W, et al. Multi-body dynamics research in Korea[J]. JSME, 2003,46(2): 449-458.

[10] BAE D S, HAN J M, YOO H H. A generalized recursive formulation for constrained mechanical system dynamics[J]. Mechanics of Structures and Machines, 1999,27(3):293-315.

[11] 焦曉娟, 張湝渭, 彭斌彬. RecurDyn多體系統優化仿真技術[M]. 北京: 清華大學出版社, 2010.

[12] 吳宗澤. 機械零件設計手冊[M]. 北京: 機械工業出版社,2003: 643-648.

[13] 劉義, 徐愷, 李濟順. RecurDyn多體動力學仿真基礎應用及提高[M]. 北京: 電子工業出版社, 2013.

[14] 向玲, 陳濤, 胡思磊. 基于虛擬樣機技術的故障行星齒輪系統接觸力仿真[J]. 機械傳動, 2015, 39(2): 104-106.

XIANG Ling， CHEN Tao， HU Silei. Simulation of contact force of fault planetary gear system based on virtural prototype technology[J]. Jixie Chuandong, 2015, 39(2): 104-106.

[15] 李潤方, 王建軍. 齒輪系統動力學[M]. 北京: 科學出版社, 1997: 33-45.

[16] 李小龍, 基于剛柔耦合的大功率風電機變槳減速器動力學仿真及分析[D]. 大連:大連理工大學, 2013.

[17] 路亮, 剛柔耦合齒輪箱系統的故障特征分析與研究[D]. 太原:太原理工大學, 2011.

[18] 尤小梅, 楊偉, 馬星國,等. 基于非線性接觸理論的行星傳動系統[J]. 振動、測試與診斷, 2010, 30(6): 679-683.

YOU Xiaomei, YANG Wei, MA Xingguo, et al. Planetary drive system based on nonlinear contact theory[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2010, 30(6): 679-683.

[19] 陳裴, 荊建平. 行星齒輪斷齒故障動力學仿真與故障提取[J]. 噪聲與振動控制, 2014, 34(5): 182-186.

CHEN Pei, JING Jianping. Dyammics simulation and fault extraction of teeth fracture fault of planetary gear systems[J]. Noise and Vibration Control, 2014, 34(5): 182-186.

[20] 楊富春, 周曉軍, 鄭津洋. 復式行星齒輪傳動系統綜合動力學模型及振動特性研究[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(8): 144-148.

YANG Fuchun, ZHOU Xiaojun, ZHENG Jinyang. Dynamic model and vibration characteristics of complex compound planetary gear set[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011,30(8): 144-148.

[21] 簡彥成, 張國新. 張力拉矯機的二自由度行星齒輪減速箱故障診斷[J]. 噪聲與振動控制, 2016, 36(1): 173-176.

JIAN Yancheng, ZHANG Guoxin. Faults diagnosis for the 2-DOF planetary gearbox of a tension leveller[J]. Noise and Vibration Control, 2016, 36(1): 173-176.

[22] 李國彥, 李方義, 朱兆聚. 復合行星齒輪系動態特性仿真分析[J]. 中南大學學報(自然科學版), 2015, 46(5): 1635-1640.

LI Guoyan, LI Fangyi, ZHU Zhaoju. Simulation of dynamic characteristics of compound planetary gear trains[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2015, 46(5): 1635-1640.