基于NSCT的區域自適應圖像插值算法

2018-03-28 05:09:20范清蘭張云峰包芳勛沈曉紅姚勛祥

計算機研究與發展 2018年3期

范清蘭張云峰包芳勛沈曉紅姚勛祥

1(山東財經大學計算機科學與技術學院濟南 250014) 2(山東省數字媒體技術重點實驗室濟南 250014) 3(山東省高校經濟運行動態仿真重點實驗室濟南 250014) 4 (山東大學數學學院濟南 250100) (fan_qinglan@163.com)

圖像插值是指將低分辨率(low resolution, LR)圖像通過某種算法處理獲得其對應的高分辨率(high resolution, HR)圖像的一類圖像處理技術.圖像插值一直以來都是圖像處理領域中的重要研究內容之一，在醫學、遙感、圖像識別、網絡傳輸、動畫制作與合成等領域有著重要應用.

目前，圖像插值仍然是國內外學者們研究的熱點問題，并且提出了許多高效的圖像插值算法.從插值思想的角度來看，插值算法大致可分為離散方法和連續方法2類.離散方法一般利用已知像素通過某種變換來直接確定插值點的像素值.在離散方法中，傳統的插值方法如最近鄰插值、雙線性插值比較簡單，容易實現，但重建后的圖像會產生模糊和失真現象.為了解決這些問題，文獻[1]提出了一種基于邊緣指導的插值(new edge-directed interpolation, NEDI)算法，基本思想是利用LR與HR協方差系數的幾何對偶性來確定插值函數中的權重系數，從而求出未知點的像素值.此算法能夠有效地提高圖像的整體視覺效果，尤其在圖像的邊緣區域，但在處理紋理細節較多的區域時，會導致紋理扭曲、變形或產生噪點.針對這一問題，Wang等人[2]結合雙線性插值和NEDI方法提出了一種邊緣自適應插值算法，在邊緣區域采用NEDI方法，其他區域使用雙線性插值.但這種算法得到的圖像在紋理細節保持方面效果不理想.與字典學習相結合，文獻[3]將非局部自回歸模型(nonlocal autoregressive modeling, NARM)嵌入稀疏表示模型提出了一種圖像插值算法.該算法可以有效降低樣本矩陣與稀疏表示字典的相關性，從而使得稀疏表示更加有效.雖然此算法取得了較好的視覺效果，但是時間復雜度較高.

與離散的插值方法相比，連續方法則需要構造插值曲面，通過曲面確定插值點的數值，即把離散圖像采樣數據還原為連續的灰度曲面.早期的插值算法如雙三次插值、三次樣條插值等[4-5]因易于實現，得到廣泛應用，但是獲得的圖像容易產生鋸齒、模糊等人工痕跡.為了解決這些問題，基于小波變換的插值方法引起人們的關注，例如小波雙三次插值[6]、小波分形插值[7]等，盡管這些方法可以較好地消除模糊和失真現象，但重建后的圖像存在鋸齒現象.自然圖像具有非線性屬性，有理函數又是一種典型的非線性模型，因此，有理函數的插值模型能夠較好地刻畫圖像的非線性屬性.與理想核函數[8]接近的有理樣條插值函數[9-13]作為一種新的方法已被用于圖像處理中.文獻[14-16]以有理樣條插值函數為基礎，研究了圖像的放大和增強，取得了明顯的效果.Liu等人[15]構造了一種有理函數的混合加權圖像插值模型，插值后的圖像能夠保持圖像原有的紋理.總的來說，采用有理函數重構出的圖像具有較好的視覺效果，不僅能有效保持圖像的細節信息，且時間復雜度較低.但是，一般的有理函數模型對圖像插值后，圖像邊緣區域容易出現鋸齒現象.

基于以上分析，可以看出在圖像插值研究中，既能有效保持圖像紋理細節又能使圖像邊緣區域不失真，且保證較低的時間復雜度，仍然是圖像插值技術的一個難題.

Fig. 1 Framework of the region adaptive image interpolation algorithm圖1 區域自適應圖像插值算法框架

1 C2連續有理插值函數構造

基于我們前期的研究工作[9-11]，本文構造一種新的C2連續有理樣條插值函數模型.本節將介紹該模型的構造過程及其性質.

首先，對每一個y=yj,j=1,2,…,m，創建x方向的插值曲線為

(1)

其中：

定義：

(2)

則式(1)定義的插值函數為在[a,b]區間內C2連續，滿足:

在節點x1和xn，偏導數的值計算為

(3)

(4)

其中:

其中，βi,j>0.式(4)定義的插值函數Pi,j(x,y)稱作雙變量分段有理插值函數，滿足:

式(4)定義的有理插值函數Pi,j(x,y)可以表示為

(5)

其中:

其中，ar,s(θ,η)，br,s(θ,η)，cr,s(θ,η)，r=i,i+1；s=j,j+1被稱作插值函數的基函數.

定理1給出了插值函數Pi,j(x,y)滿足C2連續的充分條件.其詳細證明見附錄A.

定理1. 如果變量x為等距節點，即hi=(b-a)/n,則對于插值函數Pi,j(x,y)，i=1,2,…,n-1;j=1,2,…,m-1.在整個插值區域[x1,xn;y1,yn]為C2連續的充分條件是：參數βi,j=βi,j+1.

本文提出的有理插值函數是對理想插值函數(被插函數)的近似表達，定理2給出了插值函數Pi,j(x,y)的誤差估計.

定理2. 設f(x,y)∈C2是被插函數(理想函數)，Pi,j(x,y)為由式(4)定義的有理樣條插值函數，則不論αi,j和βi,j取得何正值，有:

其中:

我們構造的有理插值函數可以很好地逼近被插函數，下面通過具體實例說明逼近效果.

例1. 被插函數f(x,y)=cos(x2+y)，(x,y)∈[0, 0.8;0,0.8]，令hi=lj=0.2,xi=0.2(i-1),yj=0.2(j-1),i,j=1,2,3,4,5,αi,j=0.3+0.2i+0.1j,βi,j=0.6+0.1j.表1列出了插值數據.在點(xi,yj)(i,j=1,2,3,4,5)處的局部偏導數di,j由式(2)(3)得出，并且有：

其中，j=2,3,…,m-1.

Table 1 Set of the Interpolating Data fi,j表1 插值數據fi,j

圖2給出了誤差曲面f(x,y)-P(x,y)，從圖2中可以看出，誤差范圍為[-8×10-3，6×10-3].

Fig. 2 Graph of surface cos(x2+y)-P(x,y)圖2 誤差曲面cos(x2+y)-P(x,y)

例2. 被插函數f(x,y)=ln(1+x2+y2)，(x,y)∈[0,0.4;0,0.4].圖3給出了誤差曲面f(x,y)-P(x,y)，從圖3中可以看出，誤差范圍為[-2×10-3，3×10-3].

Fig. 3 Graph of surface ln(1+x2+y2)-P(x,y)圖3 誤差曲面ln(1+x2+y2)-P(x,y)

例3. 被插函數f(x,y)=1/(1+x2+y2)，(x,y)∈[0,0.4;0,0.4].圖4給出了誤差曲面f(x,y)-P(x,y)，從圖4中可以看出，誤差范圍為[-6×10-3，6×10-3].

Fig. 4 Graph of surface 1/(1+x2+y2)-P(x,y)圖4 誤差曲面1/(1+x2+y2)-P(x,y)

算例說明本文提出的有理插值函數模型應用于圖像插值，其誤差分析可以保證插值圖像能夠很好地逼近原始圖像.

一般的有理函數模型圖像插值，在紋理區域和平滑區域保真度高，但是邊緣區域存在鋸齒現象.究其原因，有理函數模型的光滑性對圖像的插值效果有重要影響.為此，我們構造了C2連續有理函數插值模型.該模型繼承了一般有理函數在紋理區域保真度高的優點，在一定程度上又減少了插值圖像邊緣鋸齒的出現.

2 本文算法

自然圖像具有非線性屬性，與多項式函數相比，有理函數作為一種典型的非線性模型，更適應于圖像插值.因此，我們提出了C2連續有理函數插值模型，此模型對插值后的圖像細節保持方面有明顯的優勢，但在處理圖像中的邊緣區域時，效果仍不夠理想.而NEDI算法在處理圖像的邊緣區域時，具有很好的視覺效果.基于此，利用NSCT捕獲到圖像的邊緣輪廓信息，將圖像劃分為邊緣區域和非邊緣區域，提出一種符合區域特征的自適應插值算法.1)圖像經過NSCT，獲得高頻子帶信息，以此作為劃分邊緣區域與非邊緣區域的依據;2)根據高頻子帶信息，計算出區域劃分閾值;3)基于圖像局部特征，不同區域采用不同插值模型.

2.1 基于NSCT的區域劃分

對于圖像插值問題來說，區域劃分是插值算法的關鍵步驟之一，區域劃分是否精確將直接影響圖像的插值質量.基于此，我們利用NSCT能夠捕獲到圖像的邊緣輪廓信息及平移不變性的特性，將圖像劃分為邊緣區域和非邊緣區域.閾值選取是區域劃分的關鍵，閾值選取的精確與否會直接影響區域的劃分，從而影響到圖像的插值效果.

2.1.1 非下采樣Contourlet變換

Contourlet變換(contourlet transform, CT)是Do等人[17]在2002年提出的一種有效表示圖像的方法，此方法可以很好地刻畫圖像的幾何結構.CT具有方向性、各向異性的特性，其主要原因是該變換采用的是類似于輪廓段的基結構來逼近圖像，基的支撐區間是“長條形”結構, 其長寬比是隨尺度變化的.由于CT的基函數分布在多尺度多方向上，因此只需要少量Contourlet系數就能夠有效地獲取圖像的邊緣輪廓信息.換言之，CT對于圖像邊緣具有稀疏性表示.與之相比，二維小波變換基的支撐區間是正方形，因而缺乏方向性，且不具有各向異性.再者，正方形結構在描述圖像邊緣時，采用不同大小的正方形對應小波變換的多分辨率，在圖像分辨率較高的情況下，小波變換就變成用點來捕獲圖像的邊緣輪廓信息，難以做到對圖像邊緣的稀疏性表示.圖5給出了Wavelet和Contourlet逼近圖像邊緣輪廓的示意圖.但是，CT存在下采樣過程，這使得圖像經過CT分解后不具有平移不變性，容易出現吉布斯現象.

Fig. 5 Wavelet versus Contourlet圖5 Wavelet和Contourlet逼近圖像邊緣輪廓示意

Fig. 6 Nonsubsampled contourlet transform圖6 非下采樣Contourlet變換示意圖

圖像經過NSCT后，能夠檢測到圖像的邊界信息，因此本文將NSCT作為圖像劃分區域的依據，具體方法是：圖像經過NSCT獲得各個方向的高頻信息，其系數反映的是圖像的邊界輪廓等細節信息，圖像的邊界越清晰，對應系數的絕對值越大，且NSCT具有平移不變性，因此，可通過選取合理的閾值將圖像自適應的劃分為邊緣區域和非邊緣區域.

2.1.2 自適應閾值選取

利用NSCT高頻系數與圖像邊界信息對應關系，我們引入一種新的閾值選取方法，從而自適應地將圖像劃分為邊緣區域和非邊緣區域.

對于一般的自然圖像來說，大部分區域是非邊緣區域(紋理區域和平滑區域)，邊緣區域只占小部分.從統計學的角度分析發現，高頻子帶系數近似服從正態分布.正態分布概率密度函數為

其中，μ是均值，σ是方差，曲線分布如圖7所示.以Lena，Barbara，Rail圖像一個方向的高頻信息為例，

直方圖分布情況如圖8所示，從圖8中可以看出，系數近似服從正態分布.我們采用K-S檢驗[22]來檢驗高頻子帶系數服從正態分布的置信度，經檢驗得置信度高于95%，因此，可將高頻子帶系數視為服從正態分布.

Fig. 7 Normal distribution curve圖7 正態分布曲線圖

Fig. 8 Test image and high frequency sub-band coefficient histogram圖8 測試圖像及其高頻子帶系數直方圖

由NSCT的性質可知，圖像的邊界越清晰對應的系數絕對值越大.基于以上分析，我們的目標是選取合理的閾值將圖8中紅框標注的系數檢測出來.根據正態分布曲線特征，選取拐點μ+σ作為閾值.基于此，圖像經過NSCT后獲得多個方向的高頻信息(本文選取4個方向)，如果系數的絕對值大于相應方向的閾值則對應圖像的邊緣區域.

我們提出的閾值計算方法，可有效地檢測到圖像的邊緣信息，如圖9所示.從而將圖像劃分為邊緣區域和非邊緣區域，實現對圖像分區域插值.

2.2 分區域插值

與傳統的利用NSCT將圖像變換到頻域進行處理方式不同，我們利用NSCT檢測圖像的邊界信息，對圖像在空域進行插值.通過以上步驟，整幅圖像被分成邊緣區域與非邊緣區域.在邊緣區域，采用NEDI算法；在非邊緣區域，則采用有理函數插值模型.NEDI算法在保持邊緣清晰度方面有明顯優勢，C2連續有理函數插值模型能夠很好地保持圖像紋理細節.

Fig. 10 Sketch map of C2 continuous rationalinterpolation model圖10 C2連續有理插值示意圖

2.2.1C2連續有理函數插值模型

對于非邊緣區域，插值模型為C2連續有理函數，構造過程見第1節.如圖10所示，4個黑點所圍成的區域定義為待插區域，星點是待插像素點，其余各點為插值點，一共12個點，該有理函數插值模型的基本思想是利用已知的12個像素點求出圖10中黑點所在面片的函數表達式，從而求出待插像素點的值.

插值效果如圖11(b)所示：

Fig. 11 The result of C2 continuous rational interpolation圖11 C2連續有理函數插值效果圖

2.2.2 NEDI模型

對于邊緣區域，插值模型為NEDI，NEDI算法的基本思想是根據幾何對偶性，用LR協方差估計HR協方差，調整插值系數對任意方向的邊緣進行插值.如圖12所示，圓點為插值點，黑點為待插點，待插點的像素值是由周圍4個已知的像素點加權平均求得，其插值函數為

權重系數是由最小二乘法理論推導得出，即:

a=R-1r.

其中，R=(Rkl),0≤k,l≤3和r=(rk)(0≤k≤3)是HR局部協方差，根據幾何對偶性，可由LR協方差求出，從而求出權重系數.

Fig. 12 Sketch map of NEDI圖12 NEDI示意圖

插值效果如圖13(b)所示.

Fig. 13 The result of NEDI圖13 NEDI插值效果圖

本文算法充分利用了有理函數插值模型和NEDI算法的優勢，取得了較好的實驗結果.

3 實驗結果及分析

把高分辨率圖像經過下采樣得到對應的低分辨率圖像，下采樣方法為隔行隔列下采樣.圖像質量評價時，將下采樣后的圖像插值恢復成原圖像大小，然后將其與原圖像比較.我們選取了8張圖像作為測試圖像，如圖14所示.比較的算法均是被諸多文獻引用且比較過的算法：NEDI[1]，DFDF[23]，RSAI[24]，NARM[3]，Lee’s[25].其中，NARM是目前插值效果比較好的算法.除此之外，也同在頻域插值效果作了對比，其頻域插值(frequency domain interpolation, FDI)方法是圖像經過NSCT后得到一個低頻信息和4個方向的高頻信息.對低頻信息采用有理函數插值模型插值；對高頻信息，用相同的閾值計算方法，自適應的選取NEDI和有理函數插值模型2種方法插值.最后，通過逆變換獲得目標圖像.

本文主要從客觀數據、視覺效果以及時間復雜度3個方面來評價本文算法的插值效果.

表2給出了不同插值算法的客觀評價數據，每一行數據從上到下分別是峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)和結構相似性(structural similarity index, SSIM).PSNR是對圖像平均的質量評價, SSIM是一種基于視覺感知的質量評價方法，也廣泛應用在圖像質量評價中.從表2可以看出，相對于比較算法，本文提出的算法擁有最高平均PSNR和SSIM值，具有較大的優勢.

Table 2 PSNR and SSIM Results of the Reconstructed HR Images表2 不同插值算法PSNR和SSIM值對比

Note: Bold type is used for maximum values.

Fig.15 is cropped by black rectangle in Fig.14.Fig. 15 Texture-regional results of Girl圖15 不同算法紋理區域Girl對比圖

圖15到圖18來自于圖14中矩形框標注的部分，比較了Girl，Barbara，Rail圖像局部細節插值重建效果.圖16顯示了圖像邊緣區域插值效果，其余各圖顯示了圖像紋理細節區域的插值效果.從圖16中可以看出，RSAI算法和FDI算法在圖像的邊緣區域出現了嚴重的鋸齒現象，DFDF算法也出現了鋸齒現象，其余各算法在邊緣區域的插值效果相當, 都有效地抑制了鋸齒現象, 有較好的主觀視覺效果.對于圖15，從對頭發、毛衣等細節紋理區域的刻畫效果來看，本文算法插值效果優于其他各算法.圖17是Barbara圖像局部重建效果比較，從圖17中可以看到，NEDI算法產生了嚴重的噪聲點，DFDF算法已經使圖像的細節信息丟失，RSAI算法使圖像上的紋理發生扭曲變形，Lee’s算法出現了斑點噪聲，FDI算法出現了邊界模糊現象，本文算法與NARM算法視覺效果難分伯仲，但本文算法客觀質量評價數值要好.圖18是Rail圖像局部重建效果比較，從圖18中可以看到，NEDI 算法得到的圖像出現了斑點噪聲以及邊緣失真, DFDF 算法和FDI算法出現了邊界模糊現象，RSAI 算法和Lee’s算法產生了一些不連續的條紋, NARM算法與本文算法的插值效果最好.綜上所述，標準測試圖像的實驗表明，本文算法與其他算法相比優勢明顯，尤其是在包含紋理區域的高頻部分.

Fig.16 is cropped by black rectangle in Fig.14.Fig. 16 Edge-regional results of Girl圖16 不同算法邊緣區域Girl對比圖

Fig.17 is cropped by black rectangle in Fig.14.Fig. 17 Regional results of Barbara圖17 不同算法局部Barbara對比圖

Fig.18 is cropped by black rectangle in Fig.14.Fig. 18 Regional results of Rail圖18 不同算法局部Rail對比圖

在實際的應用中，不僅要求獲得好的圖像質量，同時，圖像的處理速度也是非常重要的，NARM算法與本文算法得到的插值效果相當，但時間復雜度遠大于本文算法，如表3所示，這在實際應用中是非常不便的.NEDI和DFDF算法的時間復雜度與本文算法相當，但其插值效果整體上不如本文算法.本文算法不僅可以獲得主客觀都滿意的插值效果，且時間復雜度較低(其實驗環境為 Matlab2010 b、處理器為i3處理器、內存為4 GB).

Table3RunningTimeComparisonofDifferentInterpolationAlgorithms

表3 不同插值算法運行時間對比 s

基于以上分析，NEDI算法和Lee’s算法是基于邊緣指導的插值算法，此類方法可以保持圖像清晰的邊緣結構，而在處理紋理細節較多的區域時，會導致紋理扭曲、變形或產生噪點.DFDF算法可以獲得較高的客觀評價數據，但是視覺效果不理想，尤其在圖像的非邊緣區域容易出現細節信息丟失現象.RSAI算法在一定程度上保持了圖像的細節信息，而在圖像的邊緣區域容易產生鋸齒現象.FDI算法不會使圖像的紋理細節扭曲變形，但出現了邊界模糊現象.NARM算法將學習方法應用到圖像插值，取得了較好的效果，但是該方法的時間復雜度高.相對于上述算法，在視覺效果上，本文算法保持了圖像原有的結構信息，在客觀數據方面，PSNR平均提高了0.5～1.5 dB，且時間復雜度較低.本文的閾值選取方法是基于統計規律的，因此閾值選取的精確性，還有進一步提升空間.

4 結論

本文構造了一類新的C2連續有理函數插值模型，此模型可以有效保持圖像的細節信息，并且在一定程度上消除邊界鋸齒現象.為了既能保持圖像的細節信息，又具有清晰的邊緣結構，我們提出一種基于NSCT的區域自適應插值算法.該算法并非利用NSCT將圖像變換到頻域進行處理的傳統模式，而是利用NSCT檢測圖像的邊界信息，通過其高頻信息的統計特性設定閾值，將圖像劃分為邊緣區域和非邊緣區域，對不同的區域基于區域特征采用相應的插值模型進行圖像插值，進而獲得目標圖像.實驗結果證明，本文算法不僅具有較好的主觀、客觀效果，且時間復雜度較低.

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FanQinglan, born in 1992. Master candidate. Her main research interests include image/video processing, image interpolation.

ZhangYunfeng, born in 1977. PhD, professor, master supervisor. His main research interests include computer aided geometric design, digital image processing, computational geometry, function approxi-mation.

BaoFangxun, born in 1968. PhD, professor, master supervisor. His main research interests include function approximation, computation geometry, computer aided geometric design and compute.