利用函數(shù)思想解大題的思考

鐘夢(mèng)聽昕

[摘要]函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有十分重要的地位，利用構(gòu)造函數(shù)思想來解數(shù)學(xué)中的大題，不僅能夠有效提高解題效率，還能促進(jìn)學(xué)生發(fā)散性思維能力的發(fā)展。本文簡(jiǎn)要論述了在求解數(shù)學(xué)大題過程中應(yīng)用函數(shù)思想的必要性，并進(jìn)一步詳細(xì)地探討了具體的應(yīng)用策略，希望能夠?yàn)閷W(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供一些有價(jià)值的參考建議。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)思想 數(shù)學(xué)解題策略 思路探討

一、在數(shù)學(xué)大題解題過程中應(yīng)用函數(shù)思想的價(jià)值分析

數(shù)學(xué)大題通常出現(xiàn)在試卷最后部分，不僅在總分值中占據(jù)了較大的比重，還綜合考察了多項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于提升學(xué)生們的數(shù)學(xué)綜合能力具有十分積極的作用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，掌握科學(xué)、清晰的解題思路往往比學(xué)會(huì)某一種具體的解題方法更重要。因此，學(xué)生們?cè)谇蠼鈹?shù)學(xué)大題目時(shí)，應(yīng)結(jié)合題目信息合理應(yīng)用函數(shù)構(gòu)造思想，一方面，能夠有效簡(jiǎn)化解題思路，既快速又準(zhǔn)確地求解出最終答案；另一方面，也很好地鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和實(shí)踐應(yīng)用能力，對(duì)于其今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和終身發(fā)展而言有著十分重要的價(jià)值。

二、利用函數(shù)思想解大題的具體策略探討

（一）一次函數(shù)的應(yīng)用

一次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高中解析幾何知識(shí)的必要前提，一般形式為y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）。在許多大題目的求解過程中，通過構(gòu)造一次函數(shù)模型，有利于學(xué)生快速理清題目已知條件中各變量信息之間的關(guān)系，進(jìn)而有效提高他們的解題效率。例如，在解決以下這種類型的題目時(shí)，可以利用一次函數(shù)思想：

例1：已知不等式5x-3>m（x²-2），該不等式在|m|≤3時(shí)恒成立，試求未知數(shù)x的取值范圍。

在求解這道題目時(shí)，不妨先將不等式轉(zhuǎn)化為（x²-2）m-（5x-3）<0，然后在此基礎(chǔ)上構(gòu)造關(guān)于m的一次函數(shù)：f（m）=（x²-2）m-（5x-3），（|m|≤2），其中k=（x²-2），b=-（5x-3），再結(jié)合該函數(shù)的圖像，不難得出未知數(shù)x的實(shí)際取值范圍。需要注意的是，在利用一次函數(shù)解題時(shí)，一定要明確各變量、常量的信息，跳脫出x，y形式束縛，根據(jù)題目實(shí)際條件找準(zhǔn)變量，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)模型。

（二）二次函數(shù)的應(yīng)用

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax²+bx+c（a≠0），其最初定義為二次多項(xiàng)式，一般多應(yīng)用于解決下類問題：

例2：某投資公司在進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)：若單獨(dú)投資甲產(chǎn)品，所獲得利潤(rùn)y_a（萬元）與投資金額x（萬元）之間的關(guān)系為y_a=kx+b，并且當(dāng)x=4時(shí)，y_a=3；若單獨(dú)投資B產(chǎn)品，則獲取利潤(rùn)的表達(dá)式為y_b=ax²+6，當(dāng)x=2時(shí)，y_b=2.4，x=3時(shí)，y₂=2.7。如果該公司同時(shí)相對(duì)A、B兩種產(chǎn)品進(jìn)行投資，并且預(yù)算投資金額為15萬元，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)投資方案，才能使公司獲得的利潤(rùn)最大化。

在求解該題時(shí)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來思考，通過構(gòu)造函數(shù)模型，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像來得出最終答案，解題過程如下：

解：根據(jù)題目已給出的信息，我們不難計(jì)算得出投資甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤(rùn)與投資金額之間的關(guān)系式分別為：

通過二次函數(shù)圖像，我們不難得出該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)即為獲取利潤(rùn)的最大值，只需簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，便可得出結(jié)果，不僅能夠有效提高學(xué)生們的解題效率，還去除了多余冗長(zhǎng)的解題步驟，極大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程，有利于增強(qiáng)學(xué)生的解題信心。

（三）指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

指數(shù)函數(shù)是指形如y=a^x（a為常數(shù)，且a>0，a≠1），其函數(shù)定義域?yàn)镽，指數(shù)函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活的各個(gè)領(lǐng)域中都有著十分廣泛的應(yīng)用，如生物、金融、社會(huì)人口、房地產(chǎn)等，在數(shù)學(xué)應(yīng)用大題中，很多題目都可以通過構(gòu)造指數(shù)函數(shù)的方法來求解出答案。如下題所示：

例3：按復(fù)利計(jì)算利率的一種儲(chǔ)蓄，最初存入的本金為a元，每期利率為r，設(shè)本金和利息的和為y，求解：x年后取出本利之后，一共可以獲得多少錢。

在求解該題目時(shí)，要想得到年后的本利和，首先必須要知道y與x之間的關(guān)系公式，然后才能代入實(shí)際的本金數(shù)額得出最終答案，解題過程如下：

解：依據(jù)題目給出信息，建立指數(shù)函數(shù)關(guān)系式：y=a（1+r）^x；將本金α、利率r的數(shù)值代入，便可得到存款x年后能夠得到的實(shí)際金額。

與其他函數(shù)相比較而言，指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值隨變量增長(zhǎng)的變化十分明顯，故而在銀行存儲(chǔ)、資金管理等類型的題目中經(jīng)常會(huì)涉及到指數(shù)函數(shù)思想，學(xué)生們?cè)诮忸}時(shí)可適當(dāng)?shù)乜偨Y(jié)相應(yīng)的規(guī)律。

（四）分式函數(shù)的應(yīng)用

在求解這道題目時(shí)，我們不妨從構(gòu)造分式函數(shù)角度出發(fā)，先明確不等式中所包含的具體信息，如f（x）=|a+b|（x≥0），f（x）=|a|+|b|（x≥0），在此基礎(chǔ)上，再結(jié)合分式函數(shù)圖像的基本特征，我們不難得出該函數(shù)在[0，+∞]區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)出單調(diào)遞增的趨勢(shì)，同時(shí)又因?yàn)閍、b相加的絕對(duì)值小于a、b各自絕對(duì)值的相加之和，通過簡(jiǎn)單的運(yùn)算，我們便可得出f（|a+b|）4f（|a|+|b|）是恒成立的。

在求解這類題目時(shí)，學(xué)生首先要做的是將題目中已給出的不等式條件進(jìn)行拆分，提取出有價(jià)值的主干信息，然后再通過等式變換等方式構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，繪制出相應(yīng)的函數(shù)圖像，將原本抽象復(fù)雜的不等式求解與證明問題轉(zhuǎn)化為直觀、形象的圖形信息，根據(jù)圖像信息得出相應(yīng)的結(jié)論。

三、結(jié)語

綜上所述，函數(shù)思想在數(shù)學(xué)解題中有著十分重要的應(yīng)用價(jià)值，尤其是在求解一些綜合類的大題目時(shí)，適當(dāng)?shù)貞?yīng)用函數(shù)構(gòu)造思想，不僅能夠快速提取出題目的主干內(nèi)容，還能有效提高學(xué)生的解題效率，促進(jìn)其發(fā)散性思維能力的發(fā)展，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用抽象的函數(shù)構(gòu)造知識(shí)來解決實(shí)際問題，從而達(dá)到切實(shí)提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的目的。所以，作為一名合格的數(shù)學(xué)教師應(yīng)高度重視學(xué)生函數(shù)思想培養(yǎng)，并不斷探索函數(shù)思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方法。