對“頂桿游戲”的力學問題分析

吳壽寵 黃紹書

(六盤水市第23中學 貴州 六盤水 553000)

在靜態平衡中，物體的重心越低，其穩度就越高.然而，在動態平衡的情況下，物體的重心越低，反而越難維持其平衡狀態.

我國民間的很多地方有一項為大眾所喜聞樂見稱為“頂桿游戲”的競技表演，這一游戲也是很多戲團的雜耍項目之一.

所謂“頂桿游戲”，就是參與游戲的人用前伸的食指或中指頂著一根細桿，使細桿在動態中能夠維持豎直狀態或繞某準定軸轉動而不傾倒，如圖1所示.

圖1 頂桿游戲示意圖

“頂桿游戲”是動態平衡的典型范例.本文從動力學角度，對“頂桿游戲”中的幾個力學問題進行定量分析.

1 微小擾動下的豎直平衡調整

處于豎直平衡的桿由于受到某微小擾動，將會繞著支撐點(手指)轉動而偏離豎直位置一個小角度.這時就必須在有限的時間內對桿進行調整，使之恢復豎直狀態，游戲才能繼續進行.

1.1 轉動時間與桿長度的關系

為了便于說明問題，假定“頂桿游戲”中的桿為粗細均勻的勻質細桿.假設重力加速度為g，桿的長度為l,質量為m，桿在豎直位置受到某一擾動獲得初始角速度ω0后開始繞著支撐點N轉動，轉過角度θ時角速度變為ω，如圖2所示.

圖2 轉動時間與桿的長度的關系分析圖

在此過程中，根據剛體轉動的動能定理[1]，有

(1)

(2)

若桿轉過的角度由θ增為θ+dθ的過程中，經歷的時間為dt，那么

dθ=ωdt

(3)

將式(2)代入式(3)，列出積分式,得

(4)

(5)

圖3 對式(5)編程截圖

圖4 對式(5)編程，程序運行截圖

由計算結果可看出，隨著桿長的增加，達到相同角度所需時間也在增加.因此，桿越長，留給游戲者的調整時間也越長.所以，在“頂桿游戲”中，一般來說，桿越長越容易成功.

1.2 微小擾動調整的動力學分析

桿偏離豎直位置θ角后進行調整的過程中，桿受到重力mg,支撐點N的支持力FN和靜摩擦力f的作用，如圖5所示.這時，桿的頂端M點是幾乎不動的準定點，可認為桿繞M點轉動，因此，重力mg,支持力FN,靜摩擦力f對M點的轉動力矩分別為

(6)

MF=FNlsinθ

(7)

Mf=flcosθ

(8)

在緩慢調整的準平衡過程中，可認為FN=mg.桿能否恢復豎直狀態，就取決于這3個力矩之間的約束關系，也就是:

圖5 微小擾動調整的動力學分析

2 準定軸轉動的動力學原理

在“頂桿游戲”中，演技高超的游戲者，能使桿繞某準定軸轉動而不傾倒，其轉動面是一個或兩個圓錐面.如圖6所示，這種情況下，桿同樣受到重力mg,支撐點N的支持力FN和靜摩擦力f(圖中只畫出其法向分力f⊥)的作用.

設準定點O與支撐點N之間的距離為l0，那么各個力對準定點O的轉動力矩分別為

(9)

MF=FNl0sinθ

(10)

Mf=f⊥l0cosθ

(11)

這3個力矩之間的約束關系，決定了桿轉動的穩定情況.在相對穩定轉動的過程中，仍可認為FN=mg，因此可得:

圖6 準定軸轉動的動力學原理分析圖

3 結束語與說明

本文對“頂桿游戲”的分析還不很徹底，期待同行們的進一步深入探討.同時，本文的上述分析中，有兩點還須作適當說明.

(1)在微小擾動的豎直平衡情形中，桿轉過某一小角度dθ的時間問題，也可由式(2)、(3)進行定性分析.

(2)桿繞某準定軸轉動的情況下，靜摩擦力f的法向分力f⊥提供了桿繞準定軸轉動的向心力，而其切向分力f//(圖中未畫出)的作用是補償桿轉動過程中的能耗，以維持或改變桿的轉速.

1 漆安慎，杜嬋英.力學(第2版).北京：高等教育出版社，2005.224～225,231～232

2 彭芳麟.計算物理基礎.北京：高等教育出版社，2010.140～141