關(guān)于牽連體速度及加速度變化規(guī)律的分析

許 龍

(安徽省太和一中 安徽 阜陽 236600)

楊培軍

(阜陽市教育局物理教研室 安徽 阜陽 236000)

在備戰(zhàn)高考的復(fù)習(xí)中，常遇到繩牽連體問題，許多學(xué)生對此非常棘手；尤其是尋找牽連體速度極值位置時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：兩者同時(shí)達(dá)到速度極值，速度極值位置在二者靜止的位置.其實(shí)不然，利用牛頓第二定律、能量守恒和一定的數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)后就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩牽連體速度并非同步變化.下面筆者就結(jié)合一道高考模擬題來分析牽連體速度極值的位置.

解決此類問題時(shí)要明確兩點(diǎn)：牽連體沿著繩方向速度大小相等，能量守恒.

1 真題回放

【題目】(2017年南通高三第一次調(diào)研)如圖1所示，足夠長的光滑直桿傾斜固定，桿上套有質(zhì)量為m的小滑塊A，用足夠長、不可伸長的輕繩將A與另一質(zhì)量為2m的小物塊B繞過光滑的定滑輪相連接，A位于O點(diǎn)，此時(shí)滑輪左側(cè)輕繩恰好水平.現(xiàn)將A從O點(diǎn)由靜止釋放，B在運(yùn)動(dòng)過程中不觸碰滑輪和直桿，則( )

A．滑塊A釋放瞬間，繩對A的拉力為2mg

B．滑塊A速度最大時(shí)，物塊B的速度也最大

C．滑輪左側(cè)的輕繩與直桿垂直時(shí)，滑塊A速度最大

D．滑輪左側(cè)的輕繩與直桿垂直時(shí)，滑塊A機(jī)械能最大

解析：設(shè)初始時(shí)桿與水平面夾角為α，滑塊A釋放瞬間繩子拉力為T，對A,B受力分析可得

(1)

由幾何關(guān)系得aAcosα=aB，整合后有

故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

圖1 題圖

A下滑至滑輪左側(cè)的輕繩與直桿垂直的過程中，A和B的高度皆降低，速度均增大；此后A繼續(xù)下滑，假設(shè)A稍下滑一點(diǎn)，繩與桿垂直方向夾角為β(β極小)，繩子拉力為F，對A和B受力分析得

(2)

由幾何關(guān)系可得

aAsinβ=-aB

聯(lián)立后有

故A的速度將繼續(xù)增大，B的速度將減小，由此可知選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤.

A下滑至繩與桿垂直的過程中，繩子拉力對A做正功，機(jī)械能增加；滑過與桿垂直位置后，繩子拉力對A做負(fù)功，A機(jī)械能減小，故D選項(xiàng)正確.

答案解析并無錯(cuò)誤，但并未對兩牽連體速度和加速度進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，其變化規(guī)律到底如何并未作詳細(xì)說明.下面筆者就這種牽連體的一般模型進(jìn)行分析計(jì)算，尋找速度和加速度表達(dá)式，并利用特殊值驗(yàn)證計(jì)算.

2 速度變化規(guī)律

設(shè)光滑桿與水平夾角為α，經(jīng)過一段時(shí)間繩與水平夾角為θ，滑輪左側(cè)繩長為L,A的速度v1，沿桿運(yùn)動(dòng)位移x；B的速度為v2，亦為A沿繩子上的分速度，此時(shí)二者速度關(guān)聯(lián)v2=v1cosα+θ，如圖2所示.由此可知，當(dāng)

時(shí)，A沿繩子方向分速度沿繩向上，B向下運(yùn)動(dòng),當(dāng)

時(shí)，A沿繩子方向分速度沿繩向下，B向上運(yùn)動(dòng)；所以當(dāng)

時(shí)，A,B重力做正功，B速度為零，A機(jī)械能最大.

圖2 兩物速度與位置圖像

在滑塊A運(yùn)動(dòng)的任意位置、初點(diǎn)、繩子與滑輪懸點(diǎn)圍成的三角形，內(nèi)角分別為α，θ，π-α+θ，可由三角形正弦定理得

(3)

可得A下滑位移x和B沿繩向下位移Δh

(4)

同時(shí)利用機(jī)械能守恒得到其速度大小

(5)

(6)

2sinα+θ-2sinα·

(7)

由表達(dá)式已能看出二者速度并非同步變化.可由Mathematica作出二者隨繩擺角θ的變化圖像，能更形象地表示出二者變化規(guī)律.

圖時(shí)兩物體速度隨繩子擺角變化規(guī)律

由圖像更能直觀看出二者速度變化規(guī)律：速度變化并不同步，物塊B速度有兩個(gè)極值，而A只有一個(gè).對于速度極大值的位置可以利用求導(dǎo)的方法進(jìn)行計(jì)算：令速度為θ的函數(shù)，并令其導(dǎo)函數(shù)為零，求解的根即為速度最大值時(shí)對應(yīng)的繩子擺角.可用Mathematica的尋根命令，解得滑塊A速度極大值的位置在θ=0.685 3 rad附近；而物塊B速度極值有兩個(gè)，分別在θ=0.181 4 rad和θ=1.279 9 rad.其中物塊B速度為零的位置正是α的余角.

圖時(shí)兩物體速度隨繩子擺角變化規(guī)律

3 加速度變化規(guī)律

由于牽連體在沿著繩子方向上速度相同，即

v2=v1cosα+θ

兩邊同時(shí)對時(shí)間求導(dǎo)，得

(8)

v⊥=v1sinα+θ

即有

(9)

將式(9)代入式(8)整合后有

(10)

同時(shí)對二者受力分析，如圖5所示.

圖5 兩物體受力示意圖

(11)

消去繩子拉力T也可得A,B兩物體加速度關(guān)系

a1=gsinα+2g-a2cosα+θ

(12)

聯(lián)立式(10)和式(12)，可得加速度表達(dá)式

(13)

(14)

將式(6)代入式(13)、(14)即得兩物體加速度隨繩子擺角變化關(guān)系

(15)

(16)

由Mathematica可模擬出二者加速度隨擺角之間的變化規(guī)律，它們并不同步變化.為了體現(xiàn)與上文的連貫性，我們依然采用以下兩個(gè)角度加以分析.

圖時(shí)兩物體加速度隨繩子擺角變化規(guī)律

由圖可知：二者在初始時(shí)刻加速度并不為零，一起做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為零時(shí)速度應(yīng)達(dá)到極值，該圖像明顯反映出滑塊A只有一個(gè)速度極值，而物塊B有兩個(gè)速度極值，其角度大小與上文所得結(jié)果一致.

圖時(shí)兩物體加速度隨繩子擺角變化規(guī)律

發(fā)現(xiàn)在初始一段時(shí)間內(nèi)物塊B加速度為負(fù)，說明結(jié)果與式(10)和式(11)中假設(shè)B豎直向下的加速度方向相反：在此種情況下初始時(shí)刻B應(yīng)該是向上加速運(yùn)動(dòng)，這也是與事實(shí)相吻合的.

4 總結(jié)

分析此類復(fù)雜的非勻變速運(yùn)動(dòng)我們采用了機(jī)械能守恒的方法，從而避開了運(yùn)動(dòng)過程中變化的受力，相對更簡便一些.對于有些牽連體問題，二者速度、加速度并非同步變化，其速度并非同時(shí)達(dá)到極值，而是有先有后.這就要求教師在教學(xué)中對待問題不但要知其然，還要知其所以然，分析原因解決疑難.只有深刻地掌握物理模型，才能在今后的教學(xué)中收放自如.

1 王波.探析繩連體模型的加速度關(guān)系.物理教師，2011，32(3)：41～43

2 閆峰.對連接體最大速度位置的分析.物理教師，2016，37(9)：88～89

3 姜付錦.MathCAD在連接體問題研究中的應(yīng)用.物理通報(bào)，2011(12)：75～78