對一道“繩聯物體”運動的力學問題研究

陳璽君

(丹陽市呂叔湘中學 江蘇 鎮江 212300;

廣西師范大學物理科學與技術學院 廣西 桂林 541004)

1 引言

“繩聯物體”指物體拉繩(桿)或繩(桿)拉物體的問題. “繩聯物體”是高中物理一個較難的知識點，學生學習困難較大，也是各地高考、模擬、競賽試題出題的熱點.本文從一道“繩聯物體”典例出發，剖析其中原理以期和讀者共享.

2 問題引出

高一物理在運動的合成與分解問題這一節，教師往往都會舉出這樣一個“繩聯物體”典型例題：

如圖1所示，物體A和B的質量均為m,且分別與跨過定滑輪的輕繩連接(不計繩與滑輪、滑輪與軸之間的摩擦),在用水平變力F拉物體B沿水平方向向右做勻速直線運動的過程中，則( )

A.物體A也做勻速直線運動

B.繩子拉力始終大于物體A所受重力(0<

α<90°)

C.繩子對物體A的拉力逐漸增大

D.繩子對物體A的拉力逐漸減小

圖1 題圖

這是一道典型的繩的末端速度分解問題，處理上述問題的關鍵步驟是：

(1)找到物體B運動的合運動(如合速度、合位移、合加速度等，難易程度一般).

(2)尋找合運動的兩個有效的分運動.(較難)

(3)使用平行四邊形定則處理合運動與分運動的關系.

而高中物理教材(如人教版教材)中沒有關于合運動的明確定義，這給學生尋找合運動造成一定困擾.筆者建議合運動可以這樣感性地定義：眼睛觀察到的物體的實際運動為合運動.如上題中眼睛觀察到物體B是水平向右運動，因此物體B的合運動合速度水平向右.緊接著是如何將物體B的速度vB進行有效分解.繩的末端B點(即物體B的運動)可等效為參與了如下兩個分運動：

(1)繩的末端B點繞滑輪(圓心)轉動(做圓周運動).

(2)繩的末端B點沿繩方向伸長(或收縮)的直線運動.

有了這兩個分運動的方向使用平行四邊形定則分解唯一，如圖2所示.

圖2 用平行四邊形定則分析圖示

由圖可知

v∥=vA=vBcosα

v⊥=vBsinα

則α減小，vA增大(單調遞增)，故A向上加速運動，具有豎直向上的加速度，由牛頓第二定律可知

T-mg=maA

拉力T>mg，選項A錯誤，B正確.在處理C,D選項拉力的變化規律時，由于是變力，遇到了很大的挑戰.筆者見到這樣一種解法,受力分析如圖3所示.由正交分解法可得

解得

由于α減小，因此拉力T減小.

圖3 用正交分解法分析受力圖示

這種解法看似完美，雖然拉力T減小的結論是正確的，但由于題目并未交代物體B與地面的動摩擦因數μ為定值，顯然這種解法是不嚴謹的.

下面給出這道題定量細致的推導過程，以期獲得教學方面的理論指導.

3 研究過程

3.1 速度關系和角速度關系

v∥=vA=vBcosα

(1)

v⊥=vBsinα

(2)

而

(3)

所以

(4)

式(1)、(2)、(4)表明，當α減小時，vA增大，v⊥和ω均減小.

若設m=0.1 kg,vB=2 m/s,h=5 m，則

在幾何畫板作圖如圖4所示.

圖4 ω-α關系圖

3.2 加速度關系

B向右運動過程中，α減小，故

(5)

(6)

將式(5)代入式(6)得

(7)

式(7)表明，當α減小時，aA減小.

若設m=0.1 kg,vB=2 m/s,h=5 m,則

在幾何畫板作圖如圖5所示.

圖5 aA-α關系圖

3.3 角加速度關系

(8)

式(8)表明，當α減小時，角加速度β先增大后減小.

若設m=0.1 kg,vB=2 m/s,h=5 m, 則

在幾何畫板作圖如圖6所示.

圖6 β-α關系圖

由以上分析可知：垂直于繩方向做的是線速度v⊥減小，角速度ω減小，角加速度β先增大后減小的變加速圓周運動.

3.4 位移關系

(9)

對式(9)積分有

(10)

可得

(11)

(12)

式(12)由幾何關系亦可求出，結論一致.

若設m=0.1 kg,vB=2 m/s,h=5 m,則

在幾何畫板作圖如圖7所示.

圖7 xA-α關系圖

3.5 拉力(變力)關系

由牛頓第二定律知

T-mg=maA

(13)

故

(14)

可知，拉力T隨α角的減小而減小.

若設m=0.1 kg,g=10 m/s2,vB=2 m/s,h=5 m,則

在幾何畫板作圖如圖8所示.

圖8 T-α關系圖

3.6 拉力(變力)做功關系

dWA=TdxA=

(15)

積分

(16)

得

(17)

若設m=0.1 kg,g=10 m/s2,vB=2 m/s,h=5 m, 得

在幾何畫板作圖如圖9所示.

圖9 WT-α關系圖

此結論由功能關系亦可求得，結論一致，此處不再贅述.

通過以上分析可知，從運動的合成與分解的角度來看，物體B水平向右的勻速直線運動可等效為變加速圓周運動與變加速直線運動的合運動.

物體A做的是vA增大，aA減小的豎直向上的變加速直線運動,物體A發生超重現象.不僅拉力T大于重力mg，且拉力T隨α角的減小而減小.

本題答案B,D.

4 其他思考

高中物理有沒有什么方法來解決上述題目中拉力大小的變化規律呢？筆者見到不少高考復習資料上是這樣解答的：若從極限的角度去理解，當α→0時，vA→vB，由此可推斷A的速度越來越大，物體A最后做勻速運動，A的加速度為零，從而判斷A的加速度隨α角的減小而減小，似乎可以完美解決，但又帶來一個思考，A的加速度是不是隨著vA的增大而單調遞減這個結論無法得知，顯然不夠嚴謹.

5 綜述

5.1 處理方法

上述研究采用的主要物理方法有隔離法、理想模型法、運動的合成與分解法、微分法、積分法.

5.2 教學指導

“繩聯物體”運動模型題是高中學生比較怕做的一類題型，教師在指導學生處理這一類問題時，務必要培養學生能夠獨立尋找合運動以及它的兩個有效的分運動方法的能力.高中物理對于處理變力問題時要用到高等數學知識往往顯得力不從心，如以上采用了正交分解法、極限思想等方法來變換處理，雖很巧妙，但思維不夠嚴謹，假如教師能夠從普通物理微分和積分的角度認清這類問題的本質和結論，然后再對上述模型進行特殊處理和加工，如以上正交分解法中可假設動摩擦因數μ恒定來分析，如此一來，既可以方便討論，簡化問題，又可以減輕學生負擔，培養學生解題思維能力，對高中物理教學可以起到很好的理論指導的作用，真正促進高效物理課堂教學.

6 結束語

本文以“繩聯物體”運動模型為例詳實、細致地研究了這個力學問題，獲得了這個問題的速度、加速度、力、功的關系，加深了對處理這一類問題的心理預期，使之不再停留在感性的認知上，通過理論分析產生對這一類問題的實踐指導，為這一類問題的解答提供了一個理論指導，不足之處請指正.

1 漆安慎.普通物理學教程 力學學習指導書(第2版).北京：高等教育出版社，2009

2 王朝銀.創新設計.昆明：云南人民出版社，2016.06

3 江蘇省物理學會.物理學奧賽教程(增訂本).南京:南京大學出版社,2004.06