傾斜軌道衛(wèi)星在三維場景下運動規(guī)律的研究

姜付錦

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 湖北 武漢 430300)

涂德新

(江西師范大學(xué)附屬中學(xué) 江西 南昌 330046)

1 提出問題

所謂傾斜軌道衛(wèi)星是指運行軌道平面與地球赤道平面存在不為零傾角的軌道，普遍情況下為橢圓，特殊情況下為圓.本文研究衛(wèi)星公轉(zhuǎn)周期等于地球自轉(zhuǎn)周期的橢圓軌道和公轉(zhuǎn)周期不等于地球自轉(zhuǎn)周期下的圓軌道兩種情況下的三維場景.為了簡單起見，這里假設(shè)地球為質(zhì)量均勻分布的球體， 且僅考慮地球和衛(wèi)星構(gòu)成的二體孤立系統(tǒng).

2 推導(dǎo)三維場景下的參數(shù)方程

2.1 由機械能守恒定律和角動量守恒定律推導(dǎo)

研究軌道為橢圓的情況，設(shè)衛(wèi)星傾斜軌道相對地球赤道平面的傾角為α，橢圓的半長軸為a，離心率為e， 衛(wèi)星的運動周期為T，地球的質(zhì)量為M.

橢圓的極坐標方程為(從近地點開始計時)

(1)

其中φ為極角.

如圖1所示，地球在橢圓的右焦點處，衛(wèi)星在橢圓上的p點處，β為偏近點角，角β和角φ之間存在幾何關(guān)系[1]

acosβ=c+rcosφ

(2)

圖1 地球位于橢圓右焦點

由式(1)、(2)聯(lián)立可以求得

a-r=aecosβ

(3)

以及

此式可以化簡為

(4)

在近地點和遠地點有方程[2]

和

mrv=L

可以化簡為

此方程組的兩個解是

r1=a-cr2=a+c

利用韋達定理可以求得

(5)

衛(wèi)星在運動過程中機械能和角動量守恒

(6)

L=mrvφ

(7)

由式(5)、(6)、(7)可以求得

又由于

于是

代入式(3)可以得到

考慮上下限后積分得

上式可以改寫為

其中

為衛(wèi)星的運行周期.

這就得到了時間t與偏近點角β的解析式.

2.2 由開普勒第二定律推導(dǎo)

如圖2所示， 當(dāng)衛(wèi)星的極角為φ時，利用式(1)可得衛(wèi)星和地心的連線掃過的面積為

圖2 衛(wèi)星的極角為φ時的示意圖

考慮開普勒第二定律, 則有

可得

可以這樣求上邊的積分：

查積分公式表有(a>e)

(8)

注意到

(9)

同時

可以化簡得

(10)

由式(8)、(9)、(10)可得

注意到e<1，令a=1可得

如果2kπ+π<φ<2kπ+3π，上述積分可以改寫為

于是可以將時間t寫為:

當(dāng)2kπ+π<φ<2kπ+3π時

k=0,1,2,…

當(dāng)φ=2kπ+π時

這就得到了時間t與極角φ的解析式.

2.3 兩種推導(dǎo)等價

考慮到偏近點角β可能為任意正值,分析式(4)后極角φ與偏近點角β有如下的關(guān)系:

當(dāng) 2kπ+π<β<2kπ+3π時

k=0,1,2,…

當(dāng)β=2kπ+π 時

φ=2kπ+πk=0,1,2,…

利用這個關(guān)系可以證明由偏近點角β和極角φ為參數(shù)來求時間t的結(jié)果是一致的.

2.4 由地心平動坐標系轉(zhuǎn)換到地球轉(zhuǎn)動參考系

如圖3所示, 分析可知從近地點開始計時,衛(wèi)星在地心平動坐標系O-x′y′z′ 中的坐標為(認為橢圓的短軸與赤道面平行，橢圓的近地點離北極最近，從近地點開始計時，衛(wèi)星為順行繞行方向)

x′=-rsinφy′=rcosφcosαz′=rcosφsinα

圖3 地心平動坐標系

如圖4所示, 由地心平動坐標系O-x′y′z′繞z′軸沿逆時針轉(zhuǎn)θ角到地球轉(zhuǎn)動坐標系O-xyz， 存在坐標變換公式

x=x′cosθ+y′sinθ

y=-x′sinθ+y′cosθ

z=z′

再將x′y′z′代入化簡可得

x=r(cosφsinθcosα-sinφcosθ)

y=r(cosφcosθcosα+sinφsinθ)

z=rcosφsinα

這就是衛(wèi)星在地球轉(zhuǎn)動參考系中的三維場景坐標.

圖4 地心平動坐標系變換到地球轉(zhuǎn)動參考系

3 模擬三維場景下的軌跡

3.1 傾斜橢圓軌道的三維場景

傾斜軌道同步衛(wèi)星橢圓的半長軸a=42 000 km, 周期T=24 h, 這里假設(shè)e=0.12，運動軌跡如圖5所示.

圖5 傾斜橢圓軌道的三維場景

由模擬圖可以看出，若衛(wèi)星相對于地心的軌跡是一個橢圓且周期為24 h，則地面上的人看到它的三維運動圖仍是閉合的，在z-x面上的投影是一個變形的二維“8”字，如圖5中的(a)、(b)所示；若衛(wèi)星相對于地心的軌跡是一個圓，則地面上的人看到它的三維運動圖仍是閉合的，在z-x面上的投影是一個二維“8”字，回旋的個數(shù)為2個，如圖5中的(c)、(d)所示.

3.2 傾斜圓軌道衛(wèi)星的三維場景

若衛(wèi)星的周期是4 h，則運動軌跡如圖6所示，其中圖6(a)是俯視圖，圖6(b)是三維圖.

圖6 傾斜圓軌道衛(wèi)星的三維場景

由圖可以看出，若衛(wèi)星的周期是4 h且相對于地心的軌跡是一個圓周時，地面上的人看到它的運動軌跡是一個閉合三維曲線，這個曲線在z-x面上的投影是一個閉合的二維曲線，回旋的個數(shù)為12個.

4 總結(jié)

通過以上的分析可以發(fā)現(xiàn), 傾斜軌道衛(wèi)星在三維場景中運動規(guī)律與衛(wèi)星的運動參數(shù)有密切關(guān)系, 可以采用偏近點角或極角為參數(shù)得到三維場景中運動軌跡的表達式, 進一步研究發(fā)現(xiàn),若地球的自轉(zhuǎn)周期與衛(wèi)星運動的周期之比為兩個整數(shù)之比, 則衛(wèi)星在地球轉(zhuǎn)動參考系中的軌跡是閉合的，軌跡的回旋個數(shù)為兩個周期比的2倍.這個特點就是三維尼薩如圖的規(guī)律，所以地面上的人看到衛(wèi)星相對于人的運動軌跡圖其實就是三維的尼薩如圖形，在某一個平面上的投影就是我們熟悉的二維尼薩如圖形.

1 楊嘉墀,范劍峰.航天器軌道動力學(xué)與控制.北京:中國宇航出版社,2001.60～62

2 金尚年,馬永利.理論力學(xué).北京:高等教育出版社,2006.77～78