無限長直電流對共面圓電流的安培力

鄒俊峻

(長安大學(xué)汽車學(xué)院 陜西 西安 710064)

文獻[1]中給出了過圓心的無限長直線電流對共面圓形電流的安培力的習(xí)題.文獻[2]中給出了d=0(過圓心)和d>R(不過圓心)兩種情況下,共面的無限長直線電流對圓形電流的安培力,但該題的習(xí)題解答[3]中關(guān)于數(shù)學(xué)積分的部分沒有寫出詳細過程，學(xué)生在求解這個積分時常常遇到困難.本文利用高等數(shù)學(xué)知識,對d>R和d

【題目】如圖1[2]所示,已知半徑為R的平面圓形線圈中載有電流I2,另一無限長直導(dǎo)線AB中載有電流I1,且平面圓形線圈與長直導(dǎo)線AB共面,求圓形電流所受作用力?

圖1 d >R時圓形電流的安培力

1 d >R時圓形電流所受安培力

如圖1所示,建立直角坐標系xOy,先分析右邊半圓形電流受到的安培力,在右邊半圓形電流的P點取電流元I2dl,由安培環(huán)路定理可得:長直電流I1在P點處所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為

(1)

方向垂直紙面向里.電流元I2dl所受安培力大小為

(2)

方向沿半徑向外.在x軸下方取Q點,Q點與P點關(guān)于x軸對稱,并在Q點取相同大小的電流元I2dl′,由對稱性可知電流元I2dl和I2dl′所受的安培力關(guān)于x軸對稱,其y軸分量相互抵消,x軸分量同向且等量.所以右半圓受到的安培力大小為

(3)

方向沿x軸正方向.

同理可得:左邊半圓形電流受到的安培力大小為

(4)

方向沿x軸負方向.

所以圓形電流所受安培力的大小為

F=F1x-F2x=μ0I1I2-

(5)

(6)

令

其分母有兩個一階零點

(7)

因此式(6)的積分為

(8)

同理可得式(5)中第二項積分為

(9)

將式(8)和式(9)代入式(5),得整個圓形電流所受安培力的大小為

(10)

式(10)中F<0,表示合力方向沿x軸負方向.此結(jié)果與文獻[1～3]是一致的,但本文給出了詳細的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程.

2 d

如圖2所示,先分析右邊半圓形電流受到的安培力,由式(1)～(3)可知右半圓受到的安培力大小為

(11)

方向沿x軸正方向.

圖2 d

由式(4)可得導(dǎo)線AB與y軸之間的兩段圓弧電流受到的安培力為

(12)

類似地,可得導(dǎo)線AB左邊圓弧電流受到的安培力大小為

(13)

方向沿x軸正方向.

綜合式(12)和式(13)可得:左邊半圓所受安培力的大小為

(14)

所以整個圓形電流所受安培力的大小為

(15)

代入,則有

(16)

(17)

同理可得

(18)

將式(17)、(18)代入式(15),可得整個圓形線圈所受安培力的大小為

(19)

式(19)中F>0,表示合力方向沿x軸正方向,且力F與導(dǎo)線AB位置d無關(guān),恒等于μ0I1I2,也等于無限長直線電流通過圓心時對圓形電流所施加的安培力[1～3].如圖2所示,當直線電流從圓心位置向左移動時,d從0→R,F1x因d增大而減小,F2x因d增大而增大,但是F=F1x+F2x會保持不變,如表1所示,在表1中選取4個不同的值分別計算了F1x,F2x和F,結(jié)果表明:d增大時F1x會減小,F2x會增大,但F保持不變.

表1 R=4 m時不同d值對應(yīng)的力

注：表中, 力F1x,F2x,F的單位是μ0I1I2.

3 結(jié)論

綜上所述,本文求解了無限長直線電流對共面圓形電流的安培力. 利用恒定磁場的安培環(huán)路定理、安培定律和高等數(shù)學(xué)知識,針對d>R和dR時安培力與d有關(guān),當d

1 吳百詩.大學(xué)物理(上冊)(第二次修訂本).西安:西安交通大學(xué)出版社,2004.342～343

2 程守洙,江之永.普通物理學(xué)(2)(第5版).北京:高等教育出版社,1998.274

3 周遜選,黃伯堅.新編普通物理解題(修訂本).武漢:華中科技大學(xué)出版社,2001.329～330

4 四川大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(第4冊)(第2版).北京:高等教育出版社,1985.107

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