直線與二次曲線位置關(guān)系的安全判定協(xié)議

于金霞,趙翠平,張 靜,湯永利

(河南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,河南 焦作 454000)

1 引 言

網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅猛發(fā)展為多方協(xié)作計(jì)算創(chuàng)造了大量的應(yīng)用前景,但這些計(jì)算很可能發(fā)生在沒有信任關(guān)系的參與者之間,個(gè)人隱私數(shù)據(jù)會被泄露或者篡改.安全多方計(jì)算[1](SMC)是信息社會隱私數(shù)據(jù)保護(hù)的核心技術(shù),它是指兩個(gè)或多個(gè)參與者能夠在不泄露各自輸入的隱私數(shù)據(jù),并利用這些隱私數(shù)據(jù)參加保密計(jì)算,共同完成某項(xiàng)計(jì)算任務(wù).安全多方計(jì)算在大數(shù)據(jù)安全與隱私保護(hù)、基因序列、數(shù)據(jù)挖掘、密鑰分配、科學(xué)計(jì)算等方面應(yīng)用廣泛.

計(jì)算幾何問題的保密計(jì)算(Privacy-Preserving Computional Geometry,PPCG)是安全多方計(jì)算的一個(gè)重要研究領(lǐng)域,最初是由Atallah等[2]提出.具體地說,PPCG問題的研究就是根據(jù)特殊應(yīng)用設(shè)計(jì)出具體協(xié)議,在執(zhí)行協(xié)議的過程中,參與方雖然可以使用對方的隱私數(shù)據(jù),但不能知道對方的隱私數(shù)據(jù).隱私保護(hù)的計(jì)算幾何問題在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義,已成為國際眾多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一.Du等[3]主要從線段相交、點(diǎn)包含、凸包以及多邊形相交等方面研究了隱私保護(hù)的計(jì)算幾何問題.Du[4]首次提出了二維空間上兩條直線問題和凸包問題,不僅基于置換協(xié)議和安全兩方點(diǎn)積協(xié)議給出了解決方案,而且給出了解決此類問題有用的知識模塊,但是函數(shù)求值時(shí)可能產(chǎn)生信息泄露.文獻(xiàn)[5]針對Du的算法進(jìn)行了修改,但當(dāng)用戶輸入的隱私數(shù)據(jù)需要得到保護(hù)時(shí),對傳統(tǒng)算法做簡單改進(jìn)也不能滿足要求,對此提出半誠實(shí)模型下計(jì)算幾何中關(guān)于線段最核心的算法—叉積協(xié)議.文獻(xiàn)[6]針對Du的凸包問題,基于Paillier同態(tài)加密方案設(shè)計(jì)了安全兩方線段求交協(xié)議,此協(xié)議通過求交點(diǎn)的坐標(biāo)來判斷兩條線段是否相交,并給出惡意模型下的協(xié)議,保護(hù)隱私的凸包求交集協(xié)議首次實(shí)現(xiàn)了求解凸包并集時(shí)的隱私保護(hù),并用Goldreich證明法證明了該協(xié)議是安全的.文獻(xiàn)[7]針對Du的兩線段相交計(jì)算復(fù)雜性高的問題提出一種高效的不經(jīng)意傳輸協(xié)議,并將高效不經(jīng)意傳輸協(xié)議擴(kuò)展到判定兩個(gè)任意多邊形和兩個(gè)任意幾何圖形相交問題.文獻(xiàn)[2,8-11]研究了點(diǎn)包含問題,文獻(xiàn)[2]中Atallah的協(xié)議只適用于一些簡單多邊形域,文獻(xiàn)[8]研究的是點(diǎn)與圓域,文獻(xiàn)[9]研究的是點(diǎn)與橢圓域,文獻(xiàn)[10]研究的是點(diǎn)與凸多邊形域.文獻(xiàn)[11]針對協(xié)議本身的局限性和算法復(fù)雜度高的問題,提出了保護(hù)私有信息的點(diǎn)包含協(xié)議,該協(xié)議在效率上優(yōu)于現(xiàn)有方案,并具有可擴(kuò)展性,但還不能判斷點(diǎn)和任意多邊形的位置關(guān)系.由于文獻(xiàn)[2,8-11]都具有特殊性,文獻(xiàn)[12]利用角旋轉(zhuǎn)法提出了保護(hù)隱私的任意多邊形點(diǎn)包含兩方計(jì)算協(xié)議并給出正確性和安全性證明,但此協(xié)議計(jì)算效率低.文獻(xiàn)[13]所提協(xié)議不僅可以判定點(diǎn)與任意多邊形的包含問題而且比現(xiàn)有協(xié)議更加高效和安全.文獻(xiàn)[2,8-11]研究的都是點(diǎn)包含問題,但在實(shí)際應(yīng)用中具有局限性.文獻(xiàn)[14]研究了點(diǎn)與曲線關(guān)系的隱私保護(hù)協(xié)議,解決了在不泄露任何信息的情況下和在不同情形下判定點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的問題.文獻(xiàn)[15] 基于保密點(diǎn)積協(xié)議,研究了空間線與面的夾角問題和兩線間的距離問題,有效降低了計(jì)算復(fù)雜性.文獻(xiàn)[16]基于拉格朗日乘數(shù)法,研究了幾何圖形的相交問題并給出此類問題的解決方案.文獻(xiàn)[17]根據(jù)幾何方法提出了保護(hù)私有信息的直線與橢圓和直線與雙曲線位置關(guān)系判定協(xié)議,但所提協(xié)議只能單一地判定直線與橢圓或者直線與雙曲線的位置關(guān)系.

本文針對直線與橢圓、雙曲線和拋物線的位置關(guān)系判定問題提出了直線與二次曲線位置關(guān)系的安全判定協(xié)議.首先,需要利用Paillier同態(tài)加密算法,保密點(diǎn)積協(xié)議通過構(gòu)造輔助數(shù)據(jù)來分別隱藏自己的具體數(shù)據(jù);然后,利用社會主義百萬富翁協(xié)議通過比較輔助數(shù)據(jù)的大小來判斷函數(shù)值;最后,根據(jù)相關(guān)函數(shù)值安全判定直線與二次曲線的具體位置關(guān)系,并對該協(xié)議的正確性和安全性分別進(jìn)行證明.

2 預(yù)備知識

2.1 基礎(chǔ)協(xié)議

百萬富翁協(xié)議由姚期智教授[1]于1982年首次提出,問題:有兩個(gè)百萬富翁,他們想知道對方是否比自己更富有,但又不想讓對方知道自己的財(cái)富值,所以需要保密地進(jìn)行比較.具體原理如下:

輸入:Alice擁有保密數(shù)據(jù)i,Bob擁有保密數(shù)據(jù)j.

輸出:Alice和Bob安全地計(jì)算函數(shù)GT,GT(i,j)=[i>j](GT(i,j)).當(dāng)GT(i,j)=1(GT(i,j)=1)時(shí),i>j成立;否則GT(i,j)=0(GT(i,j)=0),i≤j.

輸入:Alice擁有保密數(shù)a,Bob擁有保密數(shù)b.

輸出:P(a,b)

1)Alice計(jì)算EK1(a),Bob計(jì)算EK2(b).

2)Alice和Bob交換EK1(a),EK2(b).

3)Alice計(jì)算EK1(EK2(b)),Bob計(jì)算EK2(EK1(a)).

4)Alice和Bob交換EK1(EK2(b)),EK2(EK1(a)),若EK1(EK2(b))=EK2(EK1(a)),輸出0;否則,輸出1.

2.2 Paillier加密方案

Paillier加密方案[19]由密鑰生成、加密算法和解密算法三部分組成:

密鑰產(chǎn)生:

隨機(jī)的選取兩個(gè)素?cái)?shù)p和q,且滿足gcd(pq,(p-1)(q-1))=1.計(jì)算n=pq和λ=lcm(p-1,q-1).

解密:m=L(cλmodn2)umodn.

本文運(yùn)用的是Paillier加密方案的加法同態(tài)性質(zhì)Ek(x)·Ek(y)=Ek(x+y),由加法同態(tài)性的性質(zhì)可以推算出E(x)m=E(mx).

2.3 安全性證明

定義1.(半誠實(shí)參與者的保密性[20]) 對于一個(gè)函數(shù)F,如果存在概率多項(xiàng)式時(shí)間算法S1與S2(也稱這樣的多項(xiàng)式時(shí)間算法為模擬器)使得

(1)

(2)

3 直線與二次曲線位置關(guān)系的解決方案

3.1 問題描述

圖1 直線與二次曲線的位置關(guān)系Fig.1 Line and quadratic curve position relationship

3.2 主要思想

文獻(xiàn)[17]解決了直線與橢圓、雙曲線的位置判定問題,但具有特殊性.本文提出了一種安全高效的方案,并具有可擴(kuò)展性.方案的主要思想是把直線方程代入到二次曲線方程,整理得關(guān)于t的方程:

(a11X2+a12XY+a22Y2)t2+[(2a11x0+a12y0+a13)X+

(a12x0+2a22y0+a23)Y]t+

即

φ(X,Y)t2+[XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)]t+F(x0,y0)=0

(1)

1)當(dāng)φ(X,Y)≠0時(shí),方程(1)是關(guān)于t的二次方程,其判別式為:

Δ=[XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)]2-4φ(X,Y)F(x0,y0)

①Δ>0時(shí),方程(1)有兩個(gè)不等的實(shí)根t1,t2,直線與曲線相交,即P(C,L)=-1.

②Δ<0時(shí),方程(1)無解,直線與曲線相離,即P(C,L)=0.

③Δ=0時(shí),方程(1)有兩個(gè)相等的實(shí)根t1,t2,直線與曲線相切,即P(C,L)=1.

2)當(dāng)φ(X,Y)=0時(shí),方程(1)為:

[XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)]t+F(x0,y0)=0

(2)

①當(dāng)XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)≠0時(shí),方程(2)有唯一解,直線與曲線有唯一實(shí)交點(diǎn),即P(C,L)=2.

②當(dāng)XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)=0,F(x0,y0)≠0時(shí),方程(2)無解,直線與曲線沒有交點(diǎn),即P(C,L)=3.

③當(dāng)XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)=0,F(x0,y0)=0時(shí),方程(2)有無窮多解,直線與曲線有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)(此時(shí)二次曲線為退化的兩相交直線,直線L必為其中的一條),即P(C,L)=4.

要安全判定直線與二次曲線的位置關(guān)系:

1)利用Paillier同態(tài)加密算法將自己二次曲線方程的系數(shù)隱藏,并構(gòu)造輔助數(shù)據(jù)M1,N1(M1=φ(X,Y)+N1,N1是Bob在協(xié)議3步驟1中所選隨機(jī)數(shù)的總和),通過社會主義百萬富翁協(xié)議比較M1是否等于N1來判斷函數(shù)φ(X,Y)是否等于0.若φ(X,Y)≠0,則判斷判別式Δ的大小;若φ(X,Y)=0,則判斷函數(shù)XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)的值.

2)利用Paillier同態(tài)加密算法和百萬富翁協(xié)議來安全判斷判別式Δ與0的大小關(guān)系.

3)利用保密點(diǎn)積協(xié)議將雙方生成的私有向量進(jìn)行乘積,并構(gòu)造輔助數(shù)據(jù)UA,UB(UA=XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)+UB,其中UB是Bob選擇的隨機(jī)數(shù).)來隱藏自己的具體數(shù)據(jù),通過社會主義百萬富翁協(xié)議比較的UA,UB大小關(guān)系來判斷函數(shù)XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)是否等于0,若函數(shù)XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)=0,則判斷函數(shù)F(x0,y0)的值.

4)利用Paillier同態(tài)加密算法和社會主義百萬富翁協(xié)議來安全判斷函數(shù)F(x0,y0)是否等于0.

5)根據(jù)相關(guān)函數(shù)值及方案的主要思想安全判定直線與二次曲線的具體位置關(guān)系.

3.3 協(xié)議設(shè)計(jì)

協(xié)議:直線與二次曲線位置關(guān)系的安全判定協(xié)議(記為協(xié)議P0)

輸出:P(C,L)

協(xié)議3的執(zhí)行過程:

步驟1.

①設(shè)Paillier同態(tài)加密方案是(G,E,D),安全參數(shù)是k,Alice運(yùn)行G(k)生成同態(tài)加密的公鑰和私鑰,Alice將生成的公鑰發(fā)送給Bob.

②Alice用公鑰將E(C)={E(a11),E(a12),E(a22)}加密,并發(fā)送給Bob.

③Bob選取隨機(jī)數(shù)R1,R2,R3,并計(jì)算.

T1=E(a11)X2·E(R1)=E(a11X2+R1)

T2=E(a12)XY·E(R2)=E(a12XY+R2)

T3=E(a22)Y2·E(R3)=E(a22Y2+R3)

N1=R1+R2+R3

并發(fā)送給Alice.

⑤Alice與Bob通過社會主義百萬富翁協(xié)議比較M1是否等于N1.若M1≠N1,則φ(X,Y)≠0,執(zhí)行步驟2;若M1=N1,則φ(X,Y)=0,執(zhí)行步驟3.

步驟2.

①Alice計(jì)算

I9=4a13a22-2a12a23,I10=2a13a23-4a12a33

對Ii(i=1,2,…,10)用公鑰進(jìn)行加密,并將E(Ii)發(fā)送給Bob.

②Bob選取隨機(jī)數(shù)R4,R5,R6,R7,R8,R9,R10,R11,R12,R13,并計(jì)算

T5=E(2a12a13-4a11a23)X2y0·E(R5)=E[(2a12a13-4a11a23)X2y0+R5]

T8=E(2a12a23-4a13a22)Y2x0·E(R8)=E[(2a12a23-4a13a22)Y2x0+R8]

T11=E(4a11a23-2a12a13)XYx0·E(R11)=E[(4a11a23-2a12a13)XYx0+R11]

T12=E(4a13a22-2a12a23)XYy0·E(R12)=E[(4a13a22-2a12a23)XYy0+R12]

T13=E(2a13a23-4a12a33)XY·E(R12)=E[(2a13a23-4a12a33)XY+R13]

并發(fā)送給Alice.

④Alice與Bob通過百萬富翁協(xié)議比較M2,N2的大小,若M2>N2,則Δ>0,輸出P(C,L)=-1;若M2

步驟3.

③Alice與Bob利用社會主義百萬富翁協(xié)議比較UA與UB的大小,若UA≠UB,則XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)≠0,輸出P(C,L)=2;若UA=UB,則XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)=0,執(zhí)行步驟4.

步驟4.

①Alice用公鑰加密E(C)={E(a11),E(2a12),

E(a22),E(2a13),E(2a23),E(a33)}并發(fā)送給Bob.

②Bob選取隨機(jī)數(shù)r1,r2,r3,r4,r5,r6,并計(jì)算

t2=E(a12)x0y0·E(r2)=E(a12x0y0+r2)

t4=E(a13)x0·E(r4)=E(a13x0+r4)

t5=E(a23)y0·E(r5)=E(a23y0+r5)

t6=E(a33)·E(r6)=E(a33+r6)

并發(fā)送給Alice.

④Alice與Bob協(xié)同調(diào)用社會主義百萬富翁協(xié)議比較M3是否等于N3.若M3≠N3,則F(x0,y0)≠0,輸出P(C,L)=3;若M3=N3,則F(x0,y0)=0,輸出P(C,L)=4.

4 協(xié)議正確性與安全性證明

定理1.協(xié)議P0是正確的.

證明:

2)當(dāng)M2>N2時(shí),由步驟2中的①②③可知:[XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)]2>4φ(X,Y)·F(x0,y0);根據(jù)前面3.2可知Δ>0.

3)由1)2)可知,當(dāng)M1≠N1且M2>N2時(shí),即φ(X,Y)≠0且Δ>0時(shí),根據(jù)前面3.2可知直線L與曲線C有兩個(gè)不同的實(shí)交點(diǎn),故協(xié)議P0是正確的.同理可證其它5種情況.

定理2.協(xié)議P0是安全的.

證明通過構(gòu)造出使(1)和(2)成立的模擬器S1和S2來證明其安全性.

1)構(gòu)造模擬器S1.

在本方案中

S1的模擬過程如下:

因?yàn)?/p>

令

2)構(gòu)造模擬器S2.

在本方案中

S2的模擬過程如下:

因?yàn)?/p>

令

根據(jù)預(yù)備知識2.6的安全性證明可知協(xié)議P0是安全的.

5 性能分析

計(jì)算復(fù)雜性:文獻(xiàn)[17]協(xié)議二共調(diào)用一次點(diǎn)線關(guān)系判定協(xié)議和一次點(diǎn)積協(xié)議.文獻(xiàn)[17]協(xié)議三共調(diào)用三次點(diǎn)積協(xié)議.本文協(xié)議P0共執(zhí)行19次Pailler加密運(yùn)算,19次Pailler解密運(yùn)算和一次點(diǎn)積協(xié)議.假設(shè)安全參數(shù)為m,一次點(diǎn)積協(xié)議至少需要2mlgk次模指數(shù)運(yùn)算;一次點(diǎn)線關(guān)系判定協(xié)議共需要3次Pailler加密運(yùn)算、3次Pailler解密運(yùn)算;Pailler一次加密需要2次模指數(shù)運(yùn)算,一次解密需要1次模指數(shù)運(yùn)算.一般情況下當(dāng)m>5,k>8時(shí)才能達(dá)到基本的安全級別,文獻(xiàn)[17]協(xié)議二共需2mlgk+3×2+3次模指數(shù)運(yùn)算,故至少需要39次模指數(shù)運(yùn)算;協(xié)議三共需6mlgk次模指數(shù)運(yùn)算,故至少需要90次模指數(shù)運(yùn)算;本文協(xié)議P0共需2mlgk+19×2+19次模指數(shù)運(yùn)算,故至少需要87次模指數(shù)運(yùn)算.

通信復(fù)雜性:在安全多方計(jì)算研究中通常用通信輪數(shù)來衡量通信復(fù)雜性,文獻(xiàn)[17]協(xié)議二通信輪數(shù)為m+3次,協(xié)議三通信輪數(shù)為3m次,本文協(xié)議P0通信輪數(shù)為m+7次.各方案復(fù)雜性比較如下頁表1所示,功能性比較如下頁表2所示.

表1 各方案復(fù)雜性比較
Table 1 Complexity comparing of schemes

協(xié) 議計(jì)算復(fù)雜性通信復(fù)雜性文獻(xiàn)[17]協(xié)議22mlgk+9m+3文獻(xiàn)[17]協(xié)議36mlgk3m本文協(xié)議P02mlgk+57m+7

貢獻(xiàn)總結(jié):本文利用判別式法提出直線與二次曲線位置關(guān)系的安全判定協(xié)議,該協(xié)議首先通過Paillier同態(tài)加密算法和百萬富翁協(xié)議判斷函數(shù)φ(X,Y)是否等于0.①若φ(X,Y)≠0,則利用Paillier同態(tài)加密算法和百萬富翁協(xié)議判斷判別式Δ的大小.若Δ>0,輸出P(C,L)=-1,直線與曲線相交;

表2 各方案功能性比較
Table 2 Function comparing of schemes

方 法判定直線與橢圓關(guān)系判定直線與雙曲線關(guān)系判定直線與拋物線關(guān)系文獻(xiàn)[17]協(xié)議2能不能不能文獻(xiàn)[17]協(xié)議3不能能不能本文協(xié)議P0能能能

若Δ<0,輸出P(C,L)=0,直線與曲線相離;若Δ=0,輸出P(C,L)=1,直線與曲線相切.②若φ(X,Y)=0,則利用保密點(diǎn)積協(xié)議和社會主義百萬富翁協(xié)議判斷函數(shù)XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)是否等于0.若函數(shù)XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)≠0,輸出P(C,L)=2,直線與曲線有唯一實(shí)交點(diǎn);若函數(shù)XF1(x0,y0)+YF2(x0,y0)=0,則利用Paillier同態(tài)加密算法和社會主義百萬富翁協(xié)議判斷函數(shù)F(x0,y0)的值是否等于0.若函數(shù)F(x0,y0)≠0,輸出P(C,L)=3,直線與曲線沒有交點(diǎn);若函數(shù)F(x0,y0)=0,輸出P(C,L)=4,直線與曲線有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)(此時(shí)二次曲線為退化的兩相交直線,直線L必為其中的一條).

方案比較:本文協(xié)議P0在計(jì)算復(fù)雜性和通信復(fù)雜性上比文獻(xiàn)[17]協(xié)議二略高,但在功能上具有明顯優(yōu)勢.文獻(xiàn)[17]協(xié)議二只能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,而協(xié)議P0不僅可以判斷直線與橢圓的位置關(guān)系而且可以判定直線與雙曲線和拋物線的位置關(guān)系.此外,協(xié)議P0不僅在計(jì)算復(fù)雜性和通信復(fù)雜性上比文獻(xiàn)[17]協(xié)議三的解決方案降低了3倍,而且在功能上也有很大改善.文獻(xiàn)[17]協(xié)議三只能判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系,而協(xié)議P0既可以判定直線與雙曲線的位置關(guān)系也可以判定直線與橢圓和拋物線的位置關(guān)系.總之,協(xié)議P0計(jì)算效率和通信效率更高,應(yīng)用范圍更廣.

6 結(jié)束語

在半誠實(shí)模型下,本文將保密點(diǎn)積協(xié)議和Paillier同態(tài)加密方案的巧妙結(jié)合提出了判定直線與二次曲線位置關(guān)系的解決方案,安全判定了兩者之間的位置關(guān)系,并且對協(xié)議P0的正確性和安全性分別給出證明.因?yàn)閰f(xié)議P0是基于半誠實(shí)模型的,還有不足之處,在惡意模型下對直線與二次曲線位置關(guān)系的保密判定協(xié)議進(jìn)行研究和分析會比較困難,未來我們將繼續(xù)對此進(jìn)行探討.

[1] Yao A C.Protocols for secure computations[C].Proceedings of the 23rd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science(FOCS 1982),Chicago,USA,Nov 3-5,1982,Los Alamitors,CA:IEEE Computer Society,1982:160-164.

[2] Atallah M J,Du W L.Secure multi-party computational geometry[C].Lecture Notes in Computer Science 2125(LNCS 2001),RI,USA,Aug 8-10,2001,Berlin:Springer,2001:165-179.

[3] Du W L,Atallah M J.Secure multi-party computation problems and their applications:a review and open problems[C].Proceedings of the New Security Paradigms Workshop 2001(NSPW2001),Cloudcroft,New Mexico,USA,September 10-13,2001,Berlin:Springer,2001:11-20.

[4] Du W L,Atallah M J.Privacy-preserving cooperative scientific computations[C].IEEE Workshop on Computer Security Foundations,Washington(CSFW 2001),DC,USA,June 11-13,2001,Los Alamitors,CA:IEEE Computer Society,2001:273-282.

[5] Luo Yong-long,Huang Liu-sheng,Jing Wei-wei,et al.Privacy-preserving cross product protocol and its applications[J].Chinese Journal of Computers(CJE),2007,30(2):248-254.

[6] Sun Mao-hua,Luo Shou-shan,Xin Yang,et al.Secure two-party line segments intersection scheme and ItsApplication in privacy-preserving convex hull intersection[J].Journal on Communications(JCM),2013,34(1):30-42.

[7] Li Shun-dong,Dai Yi-qi,Wang Dao-shun,et al.Secure multi-party computations of geometric intersections[J].Journal of Tsinghua University(Science and Technology)(JTU),2007,47(10):1692-1695.

[8] Li Shun-dong,Dai Yi-qi.Secure Two-party computational geometry[J].Journal of Computer and Technology(JCT),2005,20(2):258-263.

[9] Luo Yong-long,Huang Liu-sheng,Zhong Hong.Secure Two-party point-circle inclusion problem[J].Journal of Computer and Technology(JCT),2007,22(1):88-91.

[10] Luo Yong-long,Huang Liu-sheng.A secure protocol for determining whether a point is insider a convex polygon[J].Chinese Journal of Electronics(CJE),2006,15(4):578-582.

[11] Zhang Jing,Luo Shou-shan,Yang Yi-xian,et al.Research on theprivacy-preserving point-in-polygon protocol[J].Journal on Communications(JCM),2016,37(4):87-95.

[12] Chen L,Lin B.Privacy-preserving point-inclusion two-party computation protocol[C].2013 International Conference on Computational and Information Sciences(CAIS 2013),Shiyang,China,June 21-23,2013,Los Alamitors,CA:IEEE Computer Society,2013:257-260.

[13] Daoshurr W.Efficient secure multiparty computational geometry[J].Chinese Journal of Electronics(CJE),2010,19(2):324-328.

[14] Liu L,Wu C,Li S.TWO privacy-preserving protocols for point-curve relation[J].Journal of Electronics(CJE),2012,29(5):422-430.

[15] Zhong Hong,Sun Yan-fei,Yan Fei-fei,et al.Privacy-preserving relative position calculation protocols for spatial geometric objects [J].Journal of Harbin Engineering University(JHEU),2011,32(4):458-463.

[16] Qin J,Duan H,Zhao H,et al.A new lagrange solution to the privacy-preserving general geometric intersection problem[J].Journal of Network and Computer Applications(JNCA),2014,46(C):94-99.

[17] Zhang Di.Privately determining protocol of line and ellipseor hyperbola position relationship[D].Kunming:Yunnan University,2015.

[18] Zhang X H,Miao Y Q,Jie S U,et al.Privacy preserving association rules mining in vertically partitioned data[J].Computer Engineering &Design(CED),2012,33(5):1867-1870.

[19] Jie Hong W U,Zhang P,Shi X B.Research of MA protection based on addition-multiplication homomorphism and composite function technology[J].Journal of Chinese Computer Systems(JCCS),2012,33(10):2223-2226.

[20] Reimer B,Fried R,Mehler B,et al.Brief report:examining driving behavior in young adults with high functioning autism spectrum disorders:a pilot study using a driving simulation paradigm[J].Journal of Autism & Developmental Disorders(JADD),2013,43(9):2211-2217.

附中文參考文獻(xiàn)：

[6] 孫茂華,羅守山,辛 陽.安全兩方線段求交協(xié)議及其在保護(hù)隱私凸包交集中的應(yīng)用[J].通信學(xué)報(bào),2013,34(1):30-42.

[11] 張 靜,羅守山,楊義先,等.保護(hù)私有信息的點(diǎn)包含協(xié)議研究[J].通信學(xué)報(bào),2016,37(4):87-95.

[15] 仲 紅,孫彥飛,燕飛飛,等.保護(hù)私有信息幾何對象的相對位置計(jì)算[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào),2011,32(4):458-463.

[17] 張 迪.直線與橢圓、直線與雙曲線位置關(guān)系的安全判定協(xié)議[D].昆明：云南大學(xué),2015.