淺析數(shù)學(xué)分析教學(xué)中絕對值不等式的證明方法

李 霞

（沈陽理工大學(xué)理學(xué)院，遼寧 沈陽 110159）

《數(shù)學(xué)分析》是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)和部分工科專業(yè)學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)理論課程。它所涉及的處理問題的思想、方法和技巧廣泛應(yīng)用到物理學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個領(lǐng)域。而在《數(shù)學(xué)分析》學(xué)習(xí)過程中，從極限的證明到連續(xù)性分析再到定積分、級數(shù)等，絕對值不等式的證明可謂是重中之重。因此，能否找到最適合題目的絕對值不等式的證明辦法，在很多情況下成了學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》的關(guān)鍵所在。本文通過實(shí)例對絕對值不等式的證明方法加以探討，以期對《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)與研究有所促進(jìn)。

1 利用絕對值不等式的等價條件去掉絕對值號

證明絕對值不等式的最直接方法就是利用絕對值不等式的一些等價條件諸如：|x-a|＜b?a-b＞x＜a+b，|x-a|＞b?x＞a+b 或 x＜a-b，以去掉絕對值號。 如：

例 1證明 ax(a＞0,a≠1)在任意點(diǎn) x0∈R連續(xù)[1].

證明對任意的x0∈R， 因?yàn)樗詫θ我饨o定的 ε＞0（不妨設(shè) ε＜ax0），為使ε，只要，或等價 地，令則

由定義知 ax在點(diǎn)x0連續(xù).

在本例中，由于絕對值號中式子形式簡單，故采取利用等價條件直接去掉絕對值的方式，這種方法也可用在在兩邊夾定理的證明中。

2 加項減項，同時利用三角不等式對絕對值不等式進(jìn)行拆分

在遇到絕對值內(nèi)表達(dá)式跨越有限多項相加減時，我們可以將該式中缺少的項通過加項減項的形式表達(dá)出來，并利用三角不等式對絕對值進(jìn)行展開，從而形成“通項”，便于證明絕對值不等式。如：例 2設(shè) a為常數(shù)，若數(shù)列{xn}滿足條件(n=2,3,…).

證明數(shù)列{xn}收斂[2].

由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列{xn}收斂.

在本例中，絕對值內(nèi)式子跨越數(shù)列的p+1項，類似的情況我們同樣在柯西收斂定理與一致收斂的定義中可以見到，同時，這種思想在實(shí)變函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中也有著更加廣泛的應(yīng)用。

3 利用已知恒等式或不等式對絕對值不等式進(jìn)行放縮

本例通過伯努利不等式將絕對值內(nèi)的式子進(jìn)行代換，從而簡單有效地解決了不等式的證明問題。

除了上述三種方法之外，絕對值不等式的處理方法還有很多，在解題過程中，重點(diǎn)還是要學(xué)會靈活應(yīng)用，才能熟能生巧。

［1］劉春根,等.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社 ，2014.

［2］李世金,趙潔.數(shù)學(xué)分析解題方法 600例[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，1992.