例談幾何畫板軌跡功能在動態變化類問題中的應用

陳永康

探索滿足某種條件的動點軌跡歷來被認為是教學和初數研究中的難點，特別是軌跡問題需要判斷軌跡的形狀、大小和位置，確定它們往往更多地依賴于探究者的學識、經驗和想象力，并且常局限于幾種基本軌跡（點、線、線段、圓、圓弧等），其復雜性使教師往往詞窮，探究者不時陷入困惑中。《幾何畫板》可以較好地幫助我們解決這一問題。《幾何畫板》是一種動態幾何演示軟件，它可以使圖形在運動變化的過程中保持相關元素既定的幾何關系不變。借助于《幾何畫板》的軌跡跟蹤功能，我們可以快捷地獲得欲求軌跡的基本信息和模擬圖形，這給教學和研究帶來很大的幫助。以下借助于《幾何畫板》的探索軌跡功能，通過兩個基本作圖，例談《幾何畫板》探索軌跡在動態變化類問題中的應用。

一、單重運動

動點在某一確定的約束條件下運動，稱之為單重運動。一般地說，約束條件通常有關于量的刻畫和關于位置關系的刻畫，根據《幾何畫板》軌跡跟蹤功能的運用原理，我們首先作出一個在僅滿足量的約束條件的路徑上運動的點，稱之為主動點（控制點），另作一個關于位置關系約束條件的點，稱之為被動點（被控制點），再讓被動點跟蹤主動點的運動變化，那么當主動點在路徑上運動時，被動點將畫出同時滿足關于量和位置關系約束條件的軌跡。

問題1求當Rt△ABC的兩銳角頂點A、B在兩條互相垂直的直線上運動時直角頂點C的軌跡。

分析：由題意可知直角三角形的運動方式是某種轉動，欲求軌跡不能達無窮遠，但較為具體的形態不好想象，如果利用《幾何畫板》將直角頂點的運動軌跡畫出來，我們不僅會獲得軌跡的可視圖像，繪制的過程還將向我們展現相關元素之間的制約關系，這對最終解決問題的幫助是不言而喻的。

作法：

1）作Rt△EFG，使之全等于Rt△ABC，G是直角頂點；任作兩條互相垂直的直線l1、l2；

2）在l2上任取一點標記為A，選擇點A并按住shift鍵，再選擇線段EF，點擊構造——以圓心和半徑劃圓⊙O1；選擇⊙O1并按住shift鍵，再選擇l1，點擊構造——交點，該交點記為B（只取右方的交點）；

3）選擇點A并按住shift鍵，再選擇點B，點擊構造——線段；選擇線段AB，點擊構造——中點，中點記為M；選擇點M并按住shift鍵，再選擇線段AM（可先構造線段AM），點擊構造——以圓心和半徑劃圓⊙O2；選擇點B并按住shift鍵，再選擇線段FG，點擊構造——以圓心和半徑劃圓⊙O3；選擇⊙O2并按住shift鍵，再選擇⊙O3，點擊構造——交點，該交點記為C（只標記一個交點）；構造線段AC、BC；

4）選擇點A并按住shift鍵，再選擇l2，點擊編輯——按鈕——動畫，此時界面上出現動畫圖標；

5）選擇點A并按住shift鍵，再選擇點C，點擊菜單顯示——軌跡跟蹤點；

6）選擇不必要的元素，點擊顯示——隱藏對象，使界面簡潔；

7）雙擊動畫圖標，則隨著點A在在直線l2移動，點C上畫出一線段。

至此我們知道欲求軌跡可能是一線段。將點A拖到適當的位置，比如使AC平行于l1；使AB與l2重合；使點A與l2和l2的交點重合等，為進一步的數學分析、證明提供動態的、交互式的幫助。還可以試試看，如果三角形不是直角三角形，軌跡如何？

二、多重運動的疊加

如果動點的運動方式是由多重互不關聯的運動組合而成，構建軌跡的基本思想是相通的，只是需設計若干個主動點各自在不同的路徑上運動，而被動點的運動是由它們不同的運動方式疊加而成。

問題2平面上一動點沿一直線作勻速運動，同時，這條直線又繞它上面一定點作等角速轉動，求動點軌跡（等速螺線）。

作法：

1）在平面上任取一點A，將鼠標對準畫線工具，按下鼠標左鍵并拖到射線工具處松鼠標，以A為起點作射線，標記為l1；在l1上任取一點B，按住shift鍵，再選擇點A，點擊構造——線段；

2）在平面上任作圓c1，圓心標記為O1；在圓c1

上任取一點D，選擇點O1、點D，點擊構造——射線，標記為l2；

3）選擇點O1、線段AB，點擊構造——以圓心和半徑劃圓，標記為圓c2；選擇圓c2、射線l2，點擊構造——交點，標記為M；

4）選擇點B并按住shift鍵，再依次選擇射線l1、點D、圓c1，點擊編輯菜單——按鈕——動畫，在出現的畫面中依次點擊每一句，將速度調為較慢；

5）選擇點B并按住shift鍵，再選擇點M，點擊顯示——軌跡跟蹤點；

6）選擇不必要的元素，點擊顯示——隱藏對象，使界面簡潔；

7）雙擊動畫圖標，點M劃出等速螺線的運行軌跡。

注意4）、5）反映點M的運動是由兩種運動疊加而成。

從演示的結果可以看出，課件設計是否科學、簡潔明了，能準確地表現相應的幾何關系，主動點滿足約束條件的路徑設計是非常關鍵的，這里數學原理起著至關重要的作用。

如果多重運動是相關的，那么還需要考慮主動點相互間的制約關系。如考慮車輪滾動時，車輪邊緣上一點的運動，若將其運動分解為一個圓的圓心作直線運動，圓本身作圓周運動，則必須注意車輪前進的距離和車輪邊緣轉動的距離是一致的，即它們實際上是一個運動，此時可以利用《幾何畫板》的測量計算功能實現主動點間運動的相互聯系。

教師可以利用空閑時間教會學生使用幾何畫板，讓學生在課堂上自己動手操作，并在操作過程中觀察、發現、感受、驗證，促使學生在“做中學”，以激發學生的學習興趣，提高學生的學習效率。為此，教師要積極打造適合進行實驗的環境，加強數學實驗教學，引導學生參與其中，激發學生的自主意識，提高學生的實踐能力。例如，先用幾何畫板畫出一個任意三角形，再畫出三角形的三條中線，并說出其中的規律，之后再拖動三角形其中一個頂點隨意改變三角形的形狀，看看這個規律是否發生改變。在活動課中讓學生動手實踐、自行探索，讓他們在合作交流、疑問解惑的過程中重現知識的再發現過程。通過自主動手探究的過程，可以激發學生的自主意識，提高學生的觀察能力和總結能力，讓學生在研究過程中找到樂趣，樹立學生的自信心，滿足學生的成就感。