共振線極化光實現原子矢量磁力儀的理論研究?

張軍海 王平穩 韓煜 康崇 孫偉民

(哈爾濱工程大學,纖維集成光學教育部重點實驗室,哈爾濱 150001)

1 引 言

原子磁力儀通過測量原子磁矩進動的拉莫爾頻率,來實現對外界磁場的高靈敏度測量[1].近年來隨著小型半導體激光器的發展,以及消除基態極化原子自旋交換弛豫效應的實現,原子磁力儀已經成為當今磁場靈敏度測量最精密的儀器,其最高靈敏度已經達到0.16 fT·Hz?1/2水平[2].原子磁力儀按照測量磁場的能力分為標量原子磁力儀和矢量原子磁力儀.前者能測量指定方向磁場的起伏,可用于磁共振[3,4]、生物醫學成像[5,6]、物理常數測量[7,8]等領域;而矢量磁力儀可以給出磁矢量的全部信息,在地磁導航、磁異常信號檢測、中子電偶極矩研究[9?11]等領域有著廣泛的應用.矢量磁力儀結構復雜,不易小型化,通常可利用三維磁場補償技術、交叉調制解調技術、多光束進動相位檢測、電磁感應透明等方法獲取磁場方向參量[11?16].原子磁力儀按照激發磁矩的形式又可分兩類:一種是利用共振圓偏振光激發外層電子躍遷,使原子獲得沿光傳輸方向的矢量磁矩(magnetic vector moment,MVM),該磁矩有時也被稱為Orientation,通過記錄Orientation進動的頻率和在指定方向投影的相位來獲得磁場參數,稱為MVM進動型原子磁力儀[17,18];另一種是利用共振線偏振光激發電子躍遷,使基態原子獲得沿光極化方向對稱分布的張量磁矩(magnetic tensor moment,MTM),此磁矩有時也被稱為Alignment,通過記錄Alignment進動信息來獲得磁場信息,稱為MTM進動型原子磁力儀[19?21].實驗和理論證明具有量子數大于1/2的基態原子與共振線偏振光相互作用都將產生MTM,在具有任意強度射頻信號的外磁場中都將發生磁矩進動[22,23].由于線偏振光有傳輸矢量和電極化兩個特征方向,因此更有利于獲取磁場方向信息,這種MTM型矢量磁力儀具有磁探頭結構簡單、易于集成和小型化、方便構成磁力儀陣列等優點.文獻[22]提出在已知拉比頻率的條件下可以利用兩諧波振幅的比值和旋轉光極化方向的方法來確定磁場方向,但在矢量磁場的測量中,預先準確知道射頻信號在垂直磁場方向的投影顯得不太現實,而且旋轉光極化方向將增加矢量磁力儀結構的復雜性,因此需要深入研究線偏振光激發原子磁矩在磁場中進動的模型,研究在保持磁探頭簡單化的基礎上如何獲得磁場方向.

本文受文獻[22]的啟發,研究在矢量磁場和射頻信號的共同作用下,磁矢量引起基態電子MTM進行拉莫爾進動的模型,通過求解劉維爾方程,獲得透射光時域完全解析解.研究發現兩諧波間的干涉效應不僅可使直流分量和一次諧波對稱成分產生譜線分裂,使一次諧波反對稱成分在共振附近激起條紋,還將導致直流分量和二次諧波的線寬僅為一次諧波的38%.結果顯示待測磁場與光偏振方向的夾角決定利用哪種共振分量(直流、一次及二次諧波)測量磁場變化能獲得最佳靈敏度;同時還可利用共振時直流分量、兩諧波對稱成分的振幅及反對稱成分相位角來確定待測磁場的兩個方向角,進而實現MTM型矢量原子磁力儀.

圖1 坐標系旋轉變換 (a)實驗室坐標系;(b)以z為軸旋轉α角,使磁場位于x′oz′平面;(c)以y′為軸旋轉φ角,使磁場指向z′′方向;(d)以z′′為軸、ω為角速度使坐標系旋轉,形成旋轉坐標系xrotyrotzrotFig.1.The rotation transformation of the Cartesian coordinate frame:(a)A laboratory coordinate;(b)a rotation by angle α around the z-axis and the magnetic field is located in x′oz′plane;(c)a rotation by angle φ around the y′-axis,and the magnetic field is along the z′′-axis;(d)rotating x′′y′′z′′coordinate around the z′′-axis with angular speed ω forms a new rotating coordinate frame xrotyrotzrot.

2 理論模型

假設共振線偏振光沿y軸方向傳輸,極化方向沿z軸,見圖1(a)所示,極化強度E足夠弱,以至于它僅能使原子基態產生張量(二階)磁矩,即忽略對稱性更高的高階磁矩,則該磁矩在z方向的投影為[24,25]

其中F,M和pM分別代表基態能級超精細結構量子數、磁量子數和該磁子能級上的布居數.矢量磁場B0與z軸的夾角分別為φ,如圖1(a)所示,?α是磁場B0在xoy平面的投影與x軸方向的夾角,有0≤φ≤π,?π/2≤α≤π/2.假定磁矩進動的頻率遠大于磁矩的弛豫系數,則在磁矢量場的作用下磁矩在B0方向的穩態解為[22]

在原子與光相互作用的同時存在沿x軸振蕩的射頻場B1cos(ωt),其中B1,ω分別代表射頻場振幅和頻率,該射頻場將激發原子基態磁子能級間的磁偶極躍遷,實現基態粒子布居數的重新分布,此時誘發原子塞曼躍遷的有效磁場為射頻信號中垂直B0的分量,可表示為

這里的系數1/2是考慮旋轉波近似的結果,即只有與進動方向相同的射頻信號才會激發磁子能級間的躍遷.為方便計算,首先xoy平面以o點為中心,z為軸旋轉α角,形成坐標系x′y′z′,使旋轉后的x′軸與B0在xoy平面的投影相重合,如圖1(b)所示;然后再以o點為中心,y′為軸旋轉φ角,使旋轉后的z′軸與B0相重合,形成坐標系x′′y′′z′′,如圖 1(c)所示;最后以z′′為軸、ω為角速度進行旋轉,形成xrotyrotzrot旋轉坐標系,見圖1(d);原子狀態在xrotyrotzrot旋轉坐標系與實驗室xyz坐標系之間滿足如下旋轉變換:

在圖1(d)所示的旋轉系中原子所感受的總磁場為

其中Γ0,Γ1,Γ2分別是布居數、MVM和MTM的弛豫系數.利用Mathematica11軟件求方程(5)中m2,q的穩態解,然后對穩態解進行旋轉逆變換,即乘以D?1(α,φ,ωt),獲得我們所關心的在xyz實驗室靜止坐標系下m2,0(?,δ,φ,t)的解析表達式.實驗中通常利用激光透射光譜來分析原子磁矩的演化過程,為了描述方便,定義激光歸一化透射光譜信號:

3 結果與分析

通過求方程(5)的定態解,歸一化光譜解析表達式可寫為

其中,hdc,hω,h2ω分別代表磁場方向對透射光直流、一次諧波、二次諧波的影響;Adc,Aω,A2ω分別代表磁矩進動對透射光直流、一次諧波、二次諧波中對稱成分的影響;Dω,D2ω分別代表磁矩進動對一次諧波、二次諧波中反對稱成分的影響.研究發現:當??1時,直流分量和一次諧波的線寬約為Γ1,二次諧波的線寬約為而當Γ2≥2.38Γ1時,二次諧波對直流分量和一次諧波分量的影響可以忽略,此時同MVM相比MTM進動頻譜不再具有提高測磁靈敏度的能力.為突出MTM在磁場中進動的物理本質,我們假設Γ0≈Γ1≈Γ2≈1.則這些符號所代表的具體解析表達式如下:

3.1 直流分量

從表達式(7d)中可以發現透射的直流分量包含兩項,其中前一項類似于傳統的Mz磁力儀,具有洛倫茲吸收線型且不受射頻信號垂直磁場分量取向的影響[27];第二項是MTM進動所特有的干涉項,其產生的原因與一次諧波對稱成分一致(見后面的分析).圖2是?=0.2,,1時的透射頻譜.分析發現存在臨界狀態即當時,隨著?的增加譜線呈展寬趨勢,仍保持單吸收峰線型,其線寬(半高半寬)Δζdc≈1+1.78?2;但當時,單吸收峰出現劈裂,隨著?的增加吸收峰向兩側移動,使其分離的距離不斷加大,且雙峰間距滿足共振透射信號隨?的增大而增加,這種直流信號共振譜線分裂的現象在基態零場非線性漢勒效應中曾被觀測過[24,28,29],但據我們所知它在線共振光激發MTM型Mz磁力儀的研究中未見報道.直流分量可用于辨析磁場大小,研究表明當?=1.03最佳拉比頻率時,中心干涉條紋寬度僅為0.38,考慮到φ=0°為最敏感方向,則利用直流共振干涉條紋可獲得最佳磁場鑒別斜率約為0.12.

圖2 不同拉比頻率下的透射信號的直流分量隨頻率失諧的變化Fig.2.The time-independent component of transmission spectrum as a function of radio-frequency detuning when the Rabi frequency is different.

3.2 一次諧波分量

從表達式(7e)和(7g)中可發現透射信號的一次諧波對稱和反對稱成分也包含兩項,其中第一項類似于傳統的Mx磁力儀[13,30],第二項為相干項,激起干涉條紋.圖3(a)—(d)分別是1,2時的透射頻譜,實線(虛線)代表對稱(反對稱)成分.研究發現相干項表達式分別是二次諧波對稱成分(7f)式第一項與一次諧波對稱成分(7e)式和反對稱成分(7g)式相乘的結果,我們認為它是兩諧波相互干涉所致,該解釋不同于二次諧波和射頻場相互干涉[22].表達式(7e)與(7d)成正比,其比例系數僅為拉比頻率,因此顯示對稱成分分裂的閾值、譜線寬度及譜線分裂間距隨拉比頻率的變化與上面討論的直流分量滿足相同的規律;不同點在于當時,對稱成分的振幅于共振處達到最大值,見圖3(b),然后隨?的增大而減小;而反對稱成分在共振附近條件下將出現干涉條紋,且條紋幅度隨?的增大而增大(見圖3(c)和圖3(d)).在?→0條件下分析反對稱項表達式(7g)所對應的線寬:Δζω=1,即極限線寬等于弛豫系數,此時干涉項的影響可以忽略不計.當?=0.28時反對稱譜線的中心有最大的斜率,考慮到最靈敏的磁場取向φ=25.5°,此時可探測的最大斜率為:0.141.

圖3 (a)?=0.2,(b)(c)1,(d)2時一次諧波對稱(實線)、反對稱(虛線)成分隨頻率失諧的變化Fig.3.The symmetric(solid line)and antisymmetric(dash line)components of the first harmonic versus frequency detuning:(a)?=0.2;(b);(c)?=1;(d)?=2.

3.3 二次諧波分量

二次諧波對稱和反對稱成分的解析表達 式 見(7f)和(7h),圖4(a)—(d)分 別 是?=時的透射頻譜,實線(虛線)代表對稱(反對稱)成分.對稱成分的線寬隨?的增加而增大,但不會出現分裂.反對稱成分在共振附近將不再出現干涉條紋,在?→0條件下分析反對稱項(7h)所對應的線寬:Δζ2ω=0.38,僅為一次諧波線寬的38%,它可以解釋為兩諧波相互干涉導致的線寬壓窄,其形成機理目前正在研究中.當?=0.1時,分析諧波干涉對譜線對稱成分的影響,見圖5.虛線(點線)描述(7f)式中第一(第二)項,實線是兩者疊加的結果,顯然此時干涉導致譜線明顯變窄.當時,反對稱譜線的中心有最大的斜率,如圖4(b)所示,考慮到最靈敏的磁場取向φ=90°,此時可探測的最大斜率為0.25.可見在探測信號磁等效噪聲譜密度相同的情況下,與一次諧波檢測相比,利用二次諧波可使標量磁力儀靈敏度提高77%.

然而對矢量磁力儀而言,方向角φ直接影響利用直流、一次諧波和二次諧波探測磁場變化的靈敏度.在最佳拉比頻率的條件下,分析以上三種方式共振中心處鑒別磁場變化的曲線斜率隨方向角φ的變化,結果如圖6所示.圖中4個圓點代表取向分界點,分別對應φ1=13.2°,φ2=45.0°,φ3=135.0°,φ4=166.8°. 即在固定噪聲譜密度的情況下:當0＜φ ＜φ1或φ4＜φ ＜180°時利用直流分量將獲得最佳測磁靈敏度,當φ1＜φ＜φ2或φ3＜φ＜φ4時利用一次諧波檢測將獲得最佳測磁靈敏度,當φ2＜φ＜φ3時利用二次諧波檢測將獲得最佳測磁靈敏度.

圖4 (a)?=0.2,(b)(c)2,(d)5時二次諧波對稱(實線)、反對稱(虛線)成分隨頻率失諧的變化Fig.4.The symmetric(solid line)and antisymmetric(dash line)components of the second harmonic versus frequency detuning:(a)?=0.2;(b)(c)?=2;(d)?=5.

圖5 當?=0.1時,二次諧波對稱成分隨頻率失諧的變化(劃線為不考慮諧波干涉的結果;點線為干涉項的變化曲線;實線為虛線和點線求和的結果)Fig.5.The dependence of the symmetric component of the second harmonic signal on frequency detuning(dash line,the result without taking harmonic interference into account;dot line,in fl uence of the harmonic interference on the spectrum;solid line,sum of the above both curves).

圖6 直流分量、一次諧波分量及二次諧波分量在共振中心處鑒別磁場變化曲線的斜率對φ的依賴關系Fig.6.The slopes of variation curves of magnetic intensity,discriminated by the direct current component, first harmonic,and second harmonic,as a function of φ.

3.4 磁場方向分析

與圓偏振光相比,共振線偏振光激發的MTM進動頻譜更利于辨析待測磁場方向,實現原子矢量磁力儀.在保持物理探頭結構簡單的基礎上,為了獲得磁場的方向信息,得到兩個方向角,必須找到僅依賴磁場取向的可觀測物理量,因為射頻場在垂直待測場方向投影產生的拉比頻率完全不可預知.經過上面的分析,發現在δ=0條件下直流信號與二次諧波對稱成分振幅的比值Rdc/2ω、二次諧波對稱成分與一次諧波對稱成分振幅的比值R2ω/ω,如下:

可見Rdc/2ω僅是φ的函數,與拉比頻率和α都無關,可通過(8a)式確定磁場所具有的方向角φ,見圖7(a).由于?恒大于零,(8b)式的符號可決定φ是銳角還是鈍角,即圖7(a)中φ=0.5π直線平分整個平面,曲線關于該直線對稱.在確定φ以后,分析共振情況下兩諧波反對稱成分相移的差值,有

如圖7(b)所示.圖7(a)和圖7(b)顯示在φ=0.5π附近,即此時MTM型矢量磁力儀具有測量磁場大小的最佳靈敏度,但失去了方向分辨能力.

圖7 (a)磁場方向角φ與Rdc/2ω的依賴關系;(b)磁場方向角α與諧波相位角θ的依賴關系Fig.7.(a)The dependence of φ on Rdc/2ω;(b)the dependence of α on θ.

4 結論與展望

本文受文獻[22]啟發,理論研究了共振線偏振光使原子獲得MTM,及在射頻場存在的條件下矢量磁場引起原子MTM進行拉莫爾進動的模型,獲得了透射光信號時域完整的解析解.當拉比頻率大于時,發現兩諧波間的干涉效應將導致直流分量和一次諧波對稱成分的譜線分裂,一次諧波反對稱成分在共振附近呈現干涉條紋,直流分量和二次諧波譜線寬均小于弛豫系數.理論論證了在不同的φ角區間,分別利用直流分量、一次諧波和二次諧波共振信號獲得最佳的磁測靈敏度;同時發現可利用共振時的直流分量、一次諧波對稱成分振幅、二次諧波對稱成分振幅來確定磁場與光極化方向的夾角,利用兩諧波反對稱成分相移來確定待測磁場在垂直于光極化方向的投影與射頻場方向的夾角,進而實現MTM進動型矢量原子磁力儀.然而這種矢量磁力儀仍然存在死區問題,一個是磁場沿x軸方向,另一個是磁場位于魔角(magic angle)方向[25].因此,利用共振光偏振態調制代替這里的射頻場[31],利用激光偏振平衡分析代替這里的透射光強檢測[32],實現全方位無死區高靈敏度磁場矢量測量將是我們下一步努力的方向.同時從實驗角度改善原子氣室內表面鍍膜工藝,減小磁矩進動的弛豫系數,并實現Γ0≈Γ1≈Γ2也值得細致的研究.

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