解決概率問(wèn)題應(yīng)把握的關(guān)系

摘 要：本文從概率題的三方面關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生把握概率問(wèn)題的內(nèi)在規(guī)律和特點(diǎn)，形成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法和解題技巧。

關(guān)鍵詞：概率；關(guān)系；方法

概率題是高考的熱點(diǎn)題型之一，概率題的背景材料也各種各樣。解決概率問(wèn)題，學(xué)生與老師各有難處，學(xué)生容易把互斥事件、對(duì)立事件等知識(shí)點(diǎn)的概念混淆；老師進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，概念題的解釋已經(jīng)足夠充分了，可學(xué)生仍然聽(tīng)不明白。以下就如何把握好三方面關(guān)系來(lái)突破概率學(xué)習(xí)這一難題談?wù)剛€(gè)人的看法。

一、 “至少有一……”的概率問(wèn)題與對(duì)立事件的關(guān)系

由于事件A∪A是一個(gè)必然事件，對(duì)互斥事件A與B有P（A∪B）=P（A）+P（B），故P（A∪A）=P（A）+P（A），于是有P（A）=1-P（A），如果對(duì)這個(gè)公式靈活運(yùn)用，那么這道題的計(jì)算就可以簡(jiǎn)便許多，如果不能直接計(jì)算某事件概率，那就通過(guò)求事件的對(duì)立事件概率獲得。面對(duì)這類題型，首先要辨別此事件是否為互斥事件和對(duì)立事件，再?zèng)Q定用哪種概率公式來(lái)計(jì)算：次，出現(xiàn)關(guān)鍵詞“至多”“至少”的問(wèn)題常考慮用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算。

【例1】 現(xiàn)有十個(gè)特征完全一樣的六面體骰子每次同時(shí)拋這10個(gè)骰子，拋5次，求骰子至少一次全部是同樣點(diǎn)數(shù)的概率 。

分析：這道題迷惑性較強(qiáng)，但把握住“至少有一次”，轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件就容易理解了。

解：題干中對(duì)立事件為“所拋五次，每次點(diǎn)數(shù)不完全一致”。“而拋一次，點(diǎn)數(shù)不完全相同的”的概率為6×1610=169，從而求得其拋5次，朝上點(diǎn)數(shù)不完全一致的概率為1-169，所以拋5次至少有一次朝上點(diǎn)數(shù)一致的概率為1-1-1695。

二、 “至少有一……”的概率問(wèn)題與二項(xiàng)式定理的關(guān)系

“至少有一次”出現(xiàn)在題目里往往會(huì)使題目帶有迷惑性，不易理解，可以轉(zhuǎn)換思路，運(yùn)用其與互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率結(jié)合相關(guān)公式計(jì)算。

【例2】 現(xiàn)有10個(gè)標(biāo)有1，2，3，4，5，6的自制骰子，每次將其同時(shí)拋出，求得其朝上面為同一數(shù)字的概率 。

分析：例1那種解法很常用，然而讀者并不能完全理解，其實(shí)抓住“至少有一次”這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，解決問(wèn)題就相對(duì)方便些。

解：“朝上面數(shù)字全部一致”的互斥事件有以下幾種：“剛好且只有一次朝上數(shù)字面全部一致”、“剛好且有2次朝上面數(shù)字全部一致”、“剛好且有3次朝上面數(shù)字全部一致”、“剛好且有4次朝上面數(shù)字全部一致”和“剛好且有5次朝上面數(shù)字全部一致”，故求得其概率為：

C151-1694·169+C251-1693·1692+C351-1692·1693+C451-169·1694+C551695=1-169+1695-C051690·1-1695=1-1-1695。

注：這種解法看似繁瑣，但學(xué)生易理解。

三、 等可能性事件的概率問(wèn)題與排列、組合的關(guān)系

假設(shè)實(shí)驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)n種不同的結(jié)果，而事件A所含有的結(jié)果有m種，則其發(fā)生的概率為P（A）=mn，從排列。組合的角度看，n實(shí)際上是某些事件的排列數(shù)、組合數(shù)。因此這種等可能性事件的概率問(wèn)題和有關(guān)排列組合的計(jì)算是一回事。但應(yīng)特別注意計(jì)算時(shí)要嚴(yán)防遺漏、決不重復(fù)。

【例3】 實(shí)驗(yàn)安排3個(gè)男同學(xué)和3個(gè)女同學(xué)并列站成一排，從第二個(gè)人（從左往右看）其的任何一個(gè)人，其前面的所有人中男同學(xué)不比女同學(xué)少的概率。

分析：本題的關(guān)鍵是求出“從第二人（從左往右看）起的任何一個(gè)人，其前面的所有人中男同學(xué)總數(shù)不比女同學(xué)總數(shù)少”的排法種數(shù)。

解：題目中6名同學(xué)的排列方式方法計(jì)算為6！=720，而題干中所求自第二人（從左到右）起任何一個(gè)，排在其前面的人中女同學(xué)比男同學(xué)多的排列方式有以下5種：每種情形中的3男3女又可分別進(jìn)行全排列，共有5×（3！）×（3！）=180種排法。

男男男-女-女-女

女男-女-女

女-男-女

女-男男-女-女

女-男-女

故所求概率為5×（3！）×（3！）6！=180720=14。

總之，不管是概率題還是數(shù)學(xué)的其他題型，只要能根據(jù)題型的特點(diǎn)，選擇與之相適應(yīng)的方法，必可簡(jiǎn)潔求解。所以在平時(shí)的教學(xué)中，我們不僅要“授之以魚”，更要“授之以漁”；同時(shí)，積極引導(dǎo)學(xué)生去探索各種題型的內(nèi)在規(guī)律和特點(diǎn)，形成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法和解題技巧。只有這樣才能調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)習(xí)的效率與信心。

作者簡(jiǎn)介：

謝曉玲，福建省三明市，三明市第九中學(xué)。