基于卡爾曼濾波的陀螺儀降噪處理

張 敏,李 凱,韓 焱,史 策,李 坤

(中北大學(xué)信息探測(cè)與處理山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030051)

角速率是慣性導(dǎo)航領(lǐng)域的關(guān)鍵參數(shù)之一[1-2],微機(jī)械(MEMS)陀螺儀是慣性導(dǎo)航領(lǐng)域內(nèi)測(cè)量角速率的常用傳感器,但其精度問題限制了其在慣性導(dǎo)航領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展。

目前,降低MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移影響的方法有硬件設(shè)計(jì)和軟件編程,軟件設(shè)計(jì)主要利用算法對(duì)誤差建立模型,通過合適的濾波器對(duì)誤差進(jìn)行修正,優(yōu)勢(shì)在于研制周期短,成本低,而且精度提升的空間較大[3]。常用的建模方法有利用滑動(dòng)自回歸建模方法[4],其主要思想是基于時(shí)間序列分析建立滑動(dòng)自回歸模型,但滑動(dòng)自回歸模型的階數(shù)太高就無法精確描述隨機(jī)漂移誤差;有基于小波分析的建模方法[5-6],小波變換能根據(jù)信號(hào)頻率進(jìn)行不同分辨率分析,然而小波基函數(shù)選取不合理就無法精確建模;還有根據(jù)MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)手冊(cè)建模方法[7],建模精確度高但不適用于所有MEMS陀螺儀,以上模型都能補(bǔ)償部分隨機(jī)漂移誤差,但都無法提供精確的MEMS陀螺儀測(cè)量信息。卡爾曼濾波器因其解算速度快[8-11],實(shí)時(shí)性好而成為常用的MEMS陀螺儀降噪算法,但模型不合理會(huì)造成濾波器發(fā)散。

本文針對(duì)MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移誤差嚴(yán)重的問題,提出一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的卡爾曼濾波算法。統(tǒng)計(jì)MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移誤差內(nèi)部蘊(yùn)含的規(guī)律,提高卡爾曼算法對(duì)外界輸入的適應(yīng)能力和濾波精度,在MEMS陀螺儀的數(shù)據(jù)處理方面具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

1 系數(shù)辨識(shí)與濾波算法

1.1 Allan方差分析法

已知采樣的時(shí)間間隔為Tn,采樣總時(shí)長(zhǎng)為T,此時(shí)就會(huì)獲得總數(shù)為N=T/Tn的數(shù)據(jù)樣本。

①按采樣間隔的順序?qū)?shù)據(jù)均分為n個(gè)子集,每個(gè)子集存放的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為K=N/n(K≥2),每個(gè)數(shù)據(jù)子集所用的平均時(shí)間為t(n)=nTn;

③不同的子集之間的方差表示為式(1):

(1)

文獻(xiàn)[12]中指出,噪聲因素在進(jìn)行系數(shù)擬合時(shí),使用Allan標(biāo)準(zhǔn)差精度更高,不同的t(n)對(duì)應(yīng)不同的噪聲因素,在Allan標(biāo)準(zhǔn)差雙對(duì)數(shù)曲線圖上對(duì)應(yīng)不同的斜率[10],根據(jù)上述的表達(dá)式,得到Allan方差與MEMS陀螺儀常見誤差源的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1。

表1 Allan標(biāo)準(zhǔn)差與常見噪聲對(duì)應(yīng)關(guān)系

1.2 卡爾曼濾波算法

卡爾曼濾波是時(shí)域內(nèi)一種最優(yōu)化數(shù)據(jù)濾波器,將信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律用動(dòng)力學(xué)方程表示,采用遞推的方式實(shí)時(shí)更新觀測(cè)數(shù)據(jù),解算出新的卡爾曼濾波值,建模過程簡(jiǎn)單,數(shù)據(jù)解算速度快。結(jié)合Allan方差使用,能夠在時(shí)域內(nèi)全面、精確的辨識(shí)出MEMS陀螺儀測(cè)量數(shù)據(jù)中代表不同物理意義的噪聲因素[13],實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)量信息的高精度獲取。

卡爾曼濾波理論采用了狀態(tài)空間法來描述系統(tǒng),其不僅能處理非平穩(wěn)的隨機(jī)過程,也能處理多維隨機(jī)過程,在了解了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律后,建立能夠準(zhǔn)確描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的狀態(tài)方程,將狀態(tài)方程與卡爾曼濾波器的遞推迭代公式結(jié)合起來使用,這就是卡爾曼濾波的量測(cè)更新過程。

1.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模仿了人類大腦的神經(jīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu),具有人腦的自學(xué)習(xí)、非線性映射與聯(lián)想記憶功能,能用來對(duì)非線性系統(tǒng)建立模型[14],通過訓(xùn)練與學(xué)習(xí),BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以學(xué)習(xí)出卡爾曼濾波器的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)非線性復(fù)雜系統(tǒng)精度高于傳統(tǒng)的最小二乘法辨識(shí)、梯度校正參數(shù)辨識(shí)和極大似然函數(shù)辨識(shí)函數(shù)等[14],其基本思想是自變量信號(hào)從輸入層正向傳播經(jīng)隱層加權(quán)求和得到輸出值,輸出值與實(shí)際期望輸出值之間的誤差反向分布分?jǐn)偨o每層的各個(gè)節(jié)點(diǎn)[15],用以修正下一次輸出。3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以辨識(shí)任何的動(dòng)力學(xué)方程為非線性的系統(tǒng)[16]。

2 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)

系統(tǒng)整體設(shè)計(jì)的流程圖如圖1所示。利用BP算法的精確的非線性映射能力統(tǒng)計(jì)MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移誤差內(nèi)部蘊(yùn)含的規(guī)律,提高卡爾曼算法對(duì)外界輸入的適應(yīng)能力和濾波精度,避免建立的模型不精確而造成卡爾曼濾波器發(fā)散。

圖1 濾波器設(shè)計(jì)整體框圖

將學(xué)習(xí)好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合卡爾曼濾波遞推方程進(jìn)行濾波,利用Allan方差辨識(shí)MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移誤差源的系數(shù)下降情況來判斷濾波效果的好壞,同時(shí)建立基本卡爾曼模型,與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的濾波性能。

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)

本文采用3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)漂移系統(tǒng)進(jìn)行學(xué)習(xí),建立能精確描述系統(tǒng)的模型。為避免輸入輸出數(shù)據(jù)數(shù)量級(jí)過高使學(xué)習(xí)函數(shù)發(fā)散而影響預(yù)測(cè)精度[17],故對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化。

圖2 神經(jīng)元工作示意圖

MEMS陀螺儀靜態(tài)漂移模型用隨機(jī)漂移噪聲來訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò),是一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng),輸入層與輸出層神經(jīng)元數(shù)目都是1,隱層神經(jīng)元數(shù)目遵循2n+1的規(guī)律,先設(shè)定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目為3,一個(gè)神經(jīng)元的工作模式如圖2所示,輸入層輸入x后,經(jīng)過加權(quán)系數(shù)W加權(quán)整合,當(dāng)輸入超過閾值T,神經(jīng)元被激發(fā)產(chǎn)生脈沖,經(jīng)過非線性的傳遞函數(shù)f整合得出輸出O,本網(wǎng)絡(luò)使用的傳遞函數(shù)為L(zhǎng)-M優(yōu)化算法。在MATLAB中調(diào)用newff函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

建立網(wǎng)絡(luò)對(duì)象后,通過調(diào)用train函數(shù),設(shè)定訓(xùn)練函數(shù)為tansig函數(shù)、迭代次數(shù)為5、學(xué)習(xí)率為0.5,學(xué)習(xí)率越高,學(xué)習(xí)越精細(xì),給網(wǎng)絡(luò)輸入樣本進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練與學(xué)習(xí)。

網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)完成后,利用sim函數(shù),取學(xué)習(xí)樣本對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真,得到仿真輸出,將仿真輸出與已有樣本進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確性,如果誤差較大,重新調(diào)整訓(xùn)練過程中的樣本個(gè)數(shù)和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)以使仿真輸出與已有樣本誤差最小。隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目選取與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的均方誤差對(duì)應(yīng)如表2所示。

表2 隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)與網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)均方誤差和迭代次數(shù)

由表2可知,在學(xué)習(xí)率為0.8時(shí),隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目為100時(shí),網(wǎng)絡(luò)仿真輸出與樣本均方誤差最小,但隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)目過多造成學(xué)習(xí)時(shí)間過長(zhǎng),綜合考慮,選取隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為8時(shí),網(wǎng)絡(luò)整體學(xué)習(xí)效果最好,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立完成。

模型建立完成后,在網(wǎng)絡(luò)每層都得到精確地權(quán)值和閾值,系統(tǒng)每層的傳遞函數(shù)也已知,這樣可以確定卡爾曼濾波系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣F。系統(tǒng)觀測(cè)方程見式(2):

Xk+1|k=FXk|k

(2)

式中:Xk+1|k表示下一時(shí)刻估計(jì)狀態(tài);Xk|k表示當(dāng)前預(yù)測(cè)狀態(tài);F表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

由于卡爾曼濾波系統(tǒng)輸入為MEMS陀螺儀三軸的數(shù)據(jù),所以卡爾曼濾波器的觀測(cè)矩陣H設(shè)定為I3×3,噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣G設(shè)定為I3×3。

噪聲協(xié)方差的設(shè)定精度與卡爾曼濾波器的性能息息相關(guān),它會(huì)對(duì)卡爾曼濾波器的協(xié)方差矩陣造成影響。通過對(duì)MEMS陀螺儀測(cè)量的靜態(tài)噪聲經(jīng)過多次的測(cè)量并進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì),將系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差矩陣Q設(shè)定為10-5diag(2.252,1.434 8,1.184 4),通過查閱MEMS陀螺儀的數(shù)據(jù)手冊(cè),將測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣R設(shè)定為diag(0.001,0.001,0.001)。協(xié)方差矩陣Q和R不隨時(shí)間的變化而改變。將其代入式(3)求解協(xié)方差矩陣:

Pk+1|k=FPk+1|k+1FT+GQGT

(3)

式中:Pk+1|k表示當(dāng)前時(shí)刻估計(jì)值的協(xié)方差矩陣;Q表示系統(tǒng)噪聲的協(xié)方差矩陣。

通過式(4)運(yùn)用卡爾曼濾波增益來判斷卡爾曼濾波器中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與實(shí)際測(cè)量值的權(quán)重來達(dá)到濾波的目的。

Kk+1=Pk+1|kHT[HPk+1|kHT+R]-1

(4)

式中:Kk+1表示卡爾曼濾波增益;H表示系統(tǒng)觀測(cè)矩陣;R表示測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣。

得出卡爾曼濾波增益后,利用式(5)能夠得出最佳卡爾曼濾波值,并通過式(6)求出用于下一次迭代的協(xié)方差矩陣:

Xk+1|k+1=Xk+1|k+Kk+1(Yk+1-HXk+1|k)

(5)

Pk+1|k+1=[In-Kk+1H]Pk+1|k

(6)

式中:Xk+1|k+1表示最佳卡爾曼濾波值;Pk+1|k+1表示下一時(shí)刻的估計(jì)協(xié)方差矩陣。

2.2 基本卡爾曼模型的濾波器設(shè)計(jì)

當(dāng)陀螺儀沒有外加輸入時(shí),MEMS陀螺在零輸入情況下的輸出是白噪聲和一個(gè)近似平穩(wěn)隨機(jī)數(shù)集合的疊加[18],將MEMS陀螺儀的實(shí)際角速度和零位偏置不穩(wěn)定性列為狀態(tài)量,設(shè)定合適的參數(shù),建立基本卡爾曼濾波模型。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及數(shù)值分析

3.1 MEMS陀螺儀原始數(shù)據(jù)的采集

此次試驗(yàn)采用高速轉(zhuǎn)臺(tái)作為試驗(yàn)平臺(tái),將傳感器模塊固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上,敏感軸平行于轉(zhuǎn)臺(tái)軸,溫度保持25 ℃,保持轉(zhuǎn)臺(tái)靜止?fàn)顟B(tài),接通電源后,采用5 kHz采樣頻率,采集共計(jì)50 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。對(duì)采集到的靜態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值分析以及后續(xù)的信號(hào)處理,MEMS陀螺儀三軸靜態(tài)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 MEMS陀螺儀三軸原始數(shù)據(jù)

3.2 MEMS陀螺儀噪聲因素的系數(shù)辨識(shí)

對(duì)采集到的MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)進(jìn)行Allan方差分析,得到如圖4所示的Allan標(biāo)準(zhǔn)差雙對(duì)數(shù)曲線圖。

將圖4所示雙對(duì)數(shù)曲線圖分段按照不同的斜率進(jìn)行擬合,辨識(shí)出的誤差因素及其系數(shù)如表3所示。

圖4 原始數(shù)據(jù)Allan標(biāo)準(zhǔn)差曲線圖

誤差因素X軸Y軸Z軸量化噪聲/(°)-0．00160．00150．0070零偏不穩(wěn)定性/[(°)/h]0．49273．35506．2229速率隨機(jī)游走/[(°)/h3/2]-37．78-154．03-267．79

3.3 濾波結(jié)果及分析

根據(jù)2.1節(jié)的分析構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),將MEMS陀螺儀采集到的靜態(tài)數(shù)據(jù)作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入,進(jìn)行訓(xùn)練后可以獲得輸入層、隱層、輸出層各個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)值和閾值以及傳遞函數(shù),配合卡爾曼濾波器的迭代公式,建立基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的卡爾曼濾波系統(tǒng)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)樣本的時(shí)間平均為9 s,數(shù)據(jù)點(diǎn)有50 000個(gè),平均學(xué)習(xí)一個(gè)點(diǎn)需要18 ms,而本次試驗(yàn)的采樣頻率為5 kHz,學(xué)習(xí)的結(jié)果符合系統(tǒng)要求,滿足實(shí)時(shí)性要求。

根據(jù)基本卡爾曼濾波模型的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程,設(shè)定系統(tǒng)噪聲協(xié)方差陣Q的取值為diag(2.25×10-5,1.43×10-5,1.18×10-4),設(shè)定系統(tǒng)的濾波周期T=0.000 2 s,濾波初值X0為[0]6×6估計(jì)值的協(xié)方差陣初值P0為diag(0.01,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01)。

分別構(gòu)建兩種不同濾波模型對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行卡爾曼濾波,以Y軸的信號(hào)為例,濾波結(jié)果對(duì)比如圖5所示。

對(duì)原始數(shù)據(jù)和濾波后的信號(hào)進(jìn)行數(shù)值統(tǒng)計(jì)特性對(duì)比,分析結(jié)果如表4所示。

表4 原始數(shù)據(jù)與不同模型濾波后方差對(duì)比

由表4可以看出濾波后的系統(tǒng)的隨機(jī)噪聲收斂很明顯,說明卡爾曼濾波器能夠有效補(bǔ)償MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移噪聲對(duì)系統(tǒng)測(cè)量精度的影響,而基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型濾波后的有用信號(hào)的波形更為清晰、光滑、平穩(wěn),隨機(jī)漂移量明顯減小。表4中兩種模型補(bǔ)償后的信號(hào)方差都大幅度減小,說明數(shù)據(jù)離散程度都比原始數(shù)據(jù)低,基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型濾波后的信號(hào)離散程度比原始數(shù)據(jù)下降到2到3個(gè)數(shù)量級(jí),信號(hào)比基本模型濾波后更為穩(wěn)定。

采用Allan方差分析法對(duì)進(jìn)行誤差補(bǔ)償后的信號(hào)進(jìn)行分析辨識(shí),以MEMS陀螺儀的Z軸為例,濾波后的Allan標(biāo)準(zhǔn)差雙對(duì)數(shù)曲線圖如圖6所示。

圖6 Z軸兩種模型Allan標(biāo)準(zhǔn)差曲線圖

在圖6中,平均時(shí)間較小的情況下,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的噪聲情況改善更明顯,平均時(shí)間更大的時(shí)候兩種模型下的濾波效果不分伯仲,與圖3所示的各個(gè)信號(hào)的波形圖表現(xiàn)出的特點(diǎn)相符,將卡爾曼濾波后的信號(hào)進(jìn)行誤差因素的系數(shù)辨識(shí),仍以陀螺儀Z軸為例,基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型濾波后的信號(hào)的量化噪聲為0.001 5°、零偏不穩(wěn)定性為0.968 7°/h、速率隨機(jī)游走為-38.875 3°/h3/2。濾波后噪聲系數(shù)下降倍數(shù)如表5所示

表5 Z軸噪聲因素下降倍數(shù)

在表5中,基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型卡爾曼濾波器的噪聲降低倍數(shù)要高于基本卡爾曼模型。可見基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)辨識(shí)建模的卡爾曼濾波器具有更好的濾波效果。這說明在描述陀螺儀的隨機(jī)漂移特性時(shí),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)建模能更準(zhǔn)確的識(shí)別MEMS陀螺儀的輸入,方法簡(jiǎn)潔易操作精確度高,能更大程度提高陀螺儀的輸出精度。

4 結(jié)論

本文提出了一種BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與卡爾曼濾波算法結(jié)合的MEMS陀螺儀角速率降噪方法。利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力對(duì)MEMS陀螺儀的隨機(jī)漂移誤差精確地訓(xùn)練學(xué)習(xí)建立模型,利用能實(shí)時(shí)解算數(shù)據(jù)的卡爾曼濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理,通過Allan方差分析法對(duì)卡爾曼濾波效果進(jìn)行定量分析來觀察不同建模方式對(duì)MEMS陀螺儀的降噪效果的影響。通過MATLAB仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模更為精確,使卡爾曼濾波能夠更加有效降低MEMS陀螺儀的隨機(jī)漂移噪聲,能較大幅度提高M(jìn)EMS陀螺儀的角速率測(cè)量精度。

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