“消失的硬幣”
——一個光學小實驗的計算分析

陽 麗 白克釗 胡君輝

(廣西師范大學物理科學與技術學院,廣西 桂林 541004)

1 實驗過程

“消失的硬幣”是一個有趣的光學小實驗．[1]這個實驗的原理就是利用光的全反射現象．全反射是指光由光密介質(即光在此介質中的折射率大)射到光疏介質(即光在此介質中折射率小)的界面時,當入射角大于臨界角時，全部被反射回原介質內的現象．[2]

實驗所需材料:1枚硬幣、透明燒杯以及寬口玻璃器皿．實驗分兩步(圖1).步驟1： 先將1枚干燥的硬幣放在干凈的玻璃器皿中,然后把玻璃燒杯放在硬幣上(硬幣放在杯底中心區域)．剛開始還沒倒水時,我們從燒杯的側面可以清晰地看到硬幣,然后往燒杯里慢慢倒水,當水面到達一定高度,硬幣憑空消失了．從杯子的側面看不到硬幣(只能從燒杯口往下看才能看到硬幣)．步驟2： 往底部的寬口玻璃器皿倒水,這時候在杯子的側面又可以觀察到硬幣了．

(a) 放置硬幣 (b) 硬幣消失 (c) 硬幣出現

2 已有的研究

以前的文獻對這個現象做了分析，[3-8]但是這些文獻一般都從硬幣上選取一個點進行研究,建立質點模型,忽略了玻璃杯子的折射率和玻璃杯壁的厚度．[3]而且研究者認為硬幣無論放在哪個地方都是整體消失或整體出現.[1]實際上,可以觀察到當水面上升到一定高度之后,硬幣才開始消失了,之后慢慢消失不見,就像“融化”在水中似的．于是為了能夠更好地解釋實驗現象,本文將玻璃杯的折射率(材質)和厚度考慮其中,精確計算硬幣的“融化”和水的高度的關系．

3 實驗探究

問題1: 在什么角度范圍內可以觀察到硬幣?

當硬幣不沾水的時候,硬幣與杯底之間有空氣間隙．當玻璃燒杯注入水之后,硬幣“發出”的光線路徑有兩種情況.情況1: 水位線高,光線的傳播路徑為:空氣—玻璃—水—玻璃—空氣;情況2: 水位線低,光線的傳播路徑為: 空氣—玻璃—水—空氣—玻璃—空氣．以第2種光的路徑為例,任取一條光線畫出光路圖(圖2),其中i為入射角,γ為折射角,d為硬幣厚度,d1為硬幣與玻璃杯底部的距離,d2為玻璃杯底的厚度,d3為玻璃杯側壁的厚度,d4為觀察者與玻璃杯之間的觀測距離,H為觀察者的觀察高度(距離杯底)．R為硬幣中心到玻璃內壁的距離．

圖2 光路圖

根據折射定律可寫出各界面的方程(計算中用到n玻=1.50,n水=1.33,n空=1.00)．

情況1：

n空sini1=n玻sinγ1，γ1=i2.

(1)

n玻sini2=n水sinγ2，γ2+i3=π/2.

(2)

n水sini3=n玻sinγ3，γ3=i4.

(3)

n玻sini4=n空sinγ3，γ3=γ4.

(4)

情況2:

n空sini1=n玻sinγ1，γ1=i2.

(5)

n玻sini2=n水sinγ2，γ2=i3.

(6)

n水sini3=n空sinγ3，γ3+i4=π/2.

(7)

n空sini4=n玻sinγ4，γ4=i5.

(8)

n玻sini5=n空sinγ5.

(9)

情況1中,要使得水—空氣界面和玻璃—空氣界面不發生全反射,則90°>i1>62°,42.5°>i2>36°,48.6°>i3>41°,42°>i4>36°．情況2中,要使得不發生全反射,則90°>i1>15°,42.5°>i2>0°,48.6°>i3>0°,75°>i4>0°, 42.5°>i5>0．兩種情況中,只有當硬幣發出的光線(能穿過水面射出)i1在某個范圍內,觀察者在杯壁外側可觀察到硬幣．雖然理論上在這個范圍內都能看到硬幣,但是隨著水面的上升,能射出水面的角度i1增大,i5也相應增大,當入射角i5接近臨界角48°,反射光線越強而折射光線越弱．[4]實際觀察中,人的眼睛與水面有一定距離d4,因此硬幣反射的光線無法進入觀察者所在的燒杯側壁處．其次,加之玻璃杯的底部(玻璃-水界面)入射角光線i2接近臨界角48°,反射光過亮,掩蓋了這個范圍內的折射光線,所以人眼無法觀察到硬幣．

問題2:水面高度與硬幣消失的關系?

以情況2為例,下面推導硬幣的入射角i1與水面高度h的關系式.

根據圖2可得,

R=d1tani1+d2tanγ1+htanγ2+d5tanγ3.

(10)

(11)

將(5)～(9)式代入得

(12)

根據觀察高度

H=d+d1+d2+h+d5+d3tanγ4+d4tanγ5.

(13)

可得

d5=H-d-d1-d2-h-d3tanγ4-d4tanγ5.

代入(12)式,得

(14)

上式中,當硬幣放置的位置R、硬幣厚度(d、d1)、玻璃杯厚度(d2,d3)、觀察者高度(H)和距離(d4)不變的時候,將這些量近似看為常數,向杯中注水,h升高,i1將變小,當i1< 15°之后,硬幣“發射光線”的部分看不見了．隨著h升高,硬幣右側“發出”的光線出射角i1先變小,硬幣中心、硬幣左側的入射角度i1依次變小,所以當觀察者在右側觀察時候,硬幣右側先消失,然后慢慢融化．

4 探究的經驗

現象1:如果不需要用寬口玻璃器皿,直接把硬幣在水里沾濕,然后重復實驗步驟1,觀察者從側面一直都能看到硬幣,即得到與實驗步驟2相同的結果．

解釋:硬幣上沾水之后,硬幣發出的光線首先經過水-玻璃界面,通過公式(1)-(4)可計算得到,當41°

現象2:當燒杯注入水后,從杯子的水面上方看,在適當的角度可以觀察到3枚硬幣．

圖3 3個硬幣的圖像

解釋:當從杯子側面觀察硬幣的時候,某些角度下能看到3枚硬幣,(從上到下依次)第1枚為硬幣發出的光線通過水—空氣折射形成的虛像,這個硬幣的虛像比實際的硬幣高,類似于我們觀察到水中偏折的筷子．[9]第2枚為硬幣發出的光線通過玻璃—空氣界面(觀察者這一側)折射形成的虛像,第3枚則是通過杯子的側面(觀察者這一側)的水折射形成的像,此時的杯子側面相當于一個凸透鏡,[10]從而形成一個放大的虛像,和我們觀察放大鏡的成像類似．

5 結語

無論是關于物理學的基本概念的學習,還是對

于物理學整體結構的理解,都需要以實驗作為基礎．探究實驗能夠加深學生對于基礎知識的掌握,建立學生觀察和操作能力,即激發了學生的學習興趣、提高學生的積極性,又使得理論教學不再是紙上談兵．

1 史孝武,劉劍峰.為什么看不到水杯下的硬幣[J].中學物理教學參考,2014,40(11):19-20.

2 王少杰.新編基礎物理學[M].科學出版社，2015.

3 劉建鋒,徐書輝.看不見的杯底硬幣[J].物理教師，2014,35(11):46-48.

4 蘇明義.為什么看不到水杯下的硬幣了[J].物理教學探討,2013,31(3):1-2.

5 李貝,呂曉媛,祁瑞娟,張鐵炳.消失的圖像——光的全反射趣味實驗現象及原理分析[J].物理教學探討，2016,34(497):48-50.

6 魏紅波,李金.光的折射現象實驗改進[J].教學儀器與實驗，2011,27(2):17-18.

7 林平.硬幣的隱身術和分身術[J].農村青少年科學探究，2010(12):24-24.

8 孫曉明.玻璃杯中的有趣光學現象[J].物理教學探討.2003(11):46-47.

9 吳彩香,陳雪梅.光的折射現象和規律[J].初中生世界(初二物理版)，2007(2):16-17.

10 李光宇.柱形凸透鏡之研究[J].中學物理教學,2011,40(1):55-56.