兩片變剛度全嚙合鋼板彈簧粒子群優化設計

游雄杰，干年妃，程 超

（湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410082）

1 引言

少片鋼板彈簧作為汽車懸架的彈性元件在重量上有很大的優勢，能夠有效的降低整車自重。同時它的材料利用率高，能夠節約原材料，降低成本。而少片變剛度鋼板彈簧不僅能夠實現輕量化，還能顯著提高整車的舒適性能。少片變剛度鋼板彈簧己經成為重型載貨汽車的發展趨勢[1]。

目前，少片變剛度鋼板彈簧廣泛應用于輕、微型汽車的懸架系統。主副簧接觸型式主要是拋物線型或漸開線型，對于少片變剛度鋼板彈簧的優化設計與計算中的應力計算一般采用經驗公式修正[2]，對整個接觸過程的板簧應力變化研究較少。主要是使用優化工具箱或其它優化算法，對板簧進行單目標輕量化的優化設計[3]。單目標輕量化的優化算法雖然對應力和剛度有約束，但仍具有很大的盲目性和隨機性，有時甚至會優化不出結果，得不到滿意的結論，導致做到輕量化的同時，懸架的可靠性能和平順性能又難以達到要求。

在原有設計理論的基礎上[4-6]，采用全嚙合曲線型的接觸型式，提出一種新的少片變剛度板簧的設計計算方法。以某重卡牽引車少片變剛度全嚙合鋼板彈簧為例，進行試驗設計，建立三個目標之間的二次多項式函數近似模型，將多目標優化算法引入到板簧優化設計過程中，找到幾個目標和變量之間的變化關系，從而得到一個非劣解集，根據設計需求從解集中選取期望的設計參數，以克服單個目標優化的盲目性。最終對少片變剛度全嚙合板簧進行優化設計，取得了良好的效果。

2 建立兩片變剛度全嚙合主副簧數學模型

由于鋼板彈簧左右對稱，故可取其一半進行分析。對于梯形變截面板簧，其設計參數包括：半主簧長度lm；主簧板端長度x（1）；主簧根部長度lm2；主簧板端厚度x（2）；主簧根部厚度x（3）；半副簧長度 x（4）；副簧根部長度 la2；副簧板端厚度 x（5）；副簧根部厚度x（6）。主副簧共同作用時板簧二分之一模型，如圖1所示。

圖1 主副簧共同作用時板簧二分之一模型Fig.1 One Half of Leaf Spring Model When Main Spring and Auxiliary Spring Acting Together

當主副簧開始共同起作用，即從開始接觸，直到完全接觸，主副簧質量與空載偏頻不隨接觸過程變化。單片板簧的質量與剛度空載偏頻計算[7]，此處不再贅述，全嚙合過程主副簧最大工作應力的計算方法推導如下。

當主副簧接觸位置距離主簧端部為x，此時加載在主簧端部的載荷為：

式中：p1—主副簧剛要開始接觸時加載在主簧端部載荷p的取值；p2—主副簧剛好完全接觸時加載在主簧端部載荷p的取值。

接觸過程中主副簧最大工作應力按以下兩種情形計算：

第一種情形：當 x（1）≤lm-x（4）時；

當 0≤x≤x（1），hz=（2）；

第二種情形：當 x（1）≥lm-x（4）時；

當 0≤x≤lm-x（4），hz=x（2）；

當 lm-x（4）≤x≤x（1），hz=x（2），變截面區間 hf與 x 呈線性變化；

式中：pw—滿載時主簧端部載荷；wz—主簧各截面斷面系數；Iz—主簧各截面慣性矩；wf—副簧各截面斷面系數；If—副簧各截面慣性矩；σmax_z—主簧最大工作應力；σmax_f—副簧最大工作應力。

主副簧的最大工作應力可按下式計算：

3 兩片變剛度全嚙合主副簧多目標優化試驗設計

以該牽引車兩片變剛度全嚙合鋼板彈簧的多目標優化設計為例來驗證結果是否可靠。該牽引車的前橋鋼板彈簧已經做到兩片變截面定剛度鋼板彈簧，原質量為37kg。具體設計參數如下：lm=765mm，lm2=la2=115mm，B=90mm。按超載設計，空載軸荷：19000N；滿載軸荷：47400N。板簧材料為51CrV4，抗拉強度達到1350MPa以上。

一般來說，板簧質量越輕，滿載剛度越小，滿載偏頻越小，這兩者不相矛盾，不用尋求平衡解。而理想的板簧設計參數是在做到輕量化的同時可靠性能和平順性能都較優，因此利用多目標算法對板簧質量、最大工作應力以及空載偏頻進行優化，以尋求三個目標之間的平衡解，找到滿足理想性能的板簧設計參數。板簧的多目標優化問題可以用公式表示：

式中：fm—鋼板彈簧質量；

σmax—主副簧最大工作應力；

fz—空載偏頻。

而在影響質量、應力和空載偏頻的諸多因素中，對板長和板厚的優化是最為可行的，因此選取板簧主簧板端長度x（1）；主簧板端厚度 x（2）；主簧根部厚度 x（3）；半副簧長度 x（4）；副簧板端厚度 x（5）；副簧根部厚度 x（6）作為此次優化的設計變量[8]。上述的取值范圍是根據板簧設計規格和加工要求確定的。各變量的優化區間，如表1所示。

表1 設計變量的優化區間Tab.1 Design Variable Bounds

其具體優化流程，如圖2所示。

圖2 板簧多目標優化流程圖Fig.2 Flow Chart of Leaf Spring Multi-Objective Optimization

3.1 試驗設計方法

基于回歸分析的近似模型方法是針對樣本數據進行操作的，因此樣本點選取的優劣決定了所構建的近似模型的正確性。為建立精度和效率都較高的近似模型，需要選取合適的樣本點，如果樣本選擇不當則有可能造成近似模型精度較低，甚至錯誤等結果。采用拉丁超立方試驗設計方法，該方法的基本思想是將每個設計參數的設計空間均勻地劃分為邊長為N的方陣，然后在方陣中隨機取得不同行不同列的N個采樣點。此方法的采樣點比較均勻，可獲得充分的模型信息。

采用拉丁超立方試驗設計方法，獲取100組樣本點。即得到100組板簧長度厚度參數，由于篇幅原因僅列出一些樣本，數據所列，如表2所示。

表2 板簧參數樣本點Tab.2 Parameters of Leaf Spring Sample Points

根據100組樣本點，分別建立100組板簧的數學模型，計算出各自的質量，并得到每組的最大工作應力值和空載偏頻。

3.2 二次多項式響應面模型

近似模型的基本思想是，通過數理統計和試驗設計的方法，在設計變量和相應值之間建立一種現實的函數關系來近似復雜的實際問題或函數。常用的近似模型方法有Kriging響應面法、徑向基函數法、多項式響應面法及移動最小二乘法等。

求解復雜問題時通常需要更高階次的多項式函數來提高擬合精度，此時響應面模型的回歸系數也會隨之大幅增加，尤其對于多變量的問題，其計算量很大且計算時間長，難以滿足工程需求。研究表明，二階多項式響應面模型基本能滿足絕大多數工程問題的求解，有較好的計算精度和求解效率，因此，采用二次多項式響應面模型來構造目標與變量之間的函數關系，其對目標估計的基本形式可以表示為[9]：

式中：x∈Rm—設計變量；m—x 的維數；β0、βi、βm-1+i+j—常數項系數、一次項系數、二次項系數。

由樣本點得到二次多項式近似模型的關鍵是求解系數矩陣β，該矩陣可通過最小二乘法求得：

質量fm本身就是關于x的二次多項式響應面函數，其系數矩陣β1為：

β1=［0，0，0.4592，0.6217，0，-0.0812，0.0812，0，0，0，0，0，0，0.0007，

-0.0007，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0.0007，0.0007，0］。

對于應力的二次多項式響應面函數σmax的系數矩陣，系數矩陣β2取如下值時，二階多項式響應面模型與采樣點擬合最好。

對于空載偏頻的二次多項式響應面函數fk的系數矩陣，系數矩陣β3取如下值時，二階多項式響應面模型與采樣點擬合最好。

3.3 基于粒子群算法的優化設計

粒子群優化算法源于對鳥類群體覓食行為的研究，有學者觀察到鳥類在尋覓食物的時候會經常變換尋找方向，并且有時聚攏、有時分散，飛行軌跡難以猜測，但是全體鳥群卻總是能夠持續同步，鳥群中每個個體之間同樣能夠維持適當的距離，學者們對這種生物種群進行了深入的研究，他們發現在種群活動時群體內會進行信息傳遞與溝通，這就為種群的共同進化創造了條件，這便是PSO優化算法形成的基礎。該種理論的核心便是個體間的溝通和交流，這是在全局范圍內尋找最優解的基礎，通過群體中每個個體之間的相互協作和信息交流來尋求問題的全局最優解。

對于多數的多目標尋優問題，其各目標往往不可比較，有時甚至會互相沖突，提升一個目標的性能往往會導致其它目標性能的下降，因此，此類問題無法找到確定的最優解來同時滿足所有目標，但我們能夠尋求滿足如下條件的解：其中的某個或者多個目標無法獲得更優值，而其余所有目標的性能也不會惡化，我們通常利用這種Pareto非劣解集來指導工程中的優化設計[10-12]。利用多目標粒子群算法對鋼板彈簧三個目標函數尋找平衡解，設置粒子群算法控制參數：取慣性權值w=0.7，加速因子c1=c2=1.5，種群規模nPop=100，存儲大小nRep=100，最大迭代次數MaxIt=100，經過100代優化計算，得到滿足設計要求的Pareto非劣解集。根據設計需求從Pareto解集中選取期望的設計參數，最后選取的一組優化目標值：質量為31kg，最大工作應力為629.7MPa，空載偏頻為3.173Hz。對應板簧設計參數為 X=［149.5，14.1，24.7，498.4，9.1，19.2］。

3.4 優化結果分析

將優化后的板簧設計參數代入到數學模型中計算得到空載偏頻為2.998Hz，滿載偏頻為1.865Hz，質量為31kg，最大工作應力為654.6MPa。在MATLAB中畫出最大工作應力，如圖3所示。

圖3 MATLAB工作應力圖Fig.3 Stress Drawing in MATLAB

利用優化后得到的板簧設計參數擬合出板簧自由狀態曲線，在三維軟件中建模，通過專業的有限元前處理軟件Hypermesh和ANSYS后處理功能，得到新的結構應力云圖，如圖4所示。結果顯示板簧的最大工作應力為644.4MPa。對比近似模型的優化結果和圖3、圖4可以看出：優化后利用理論數學模型與有限元模型都驗證了結果的可靠性。其最大工作應力值（均在650MPa左右）遠低于其材料的抗拉強度1350MPa，安全系數為2.1，可以滿足材料應力要求。由多目標粒子群算法優化所得的板簧性能參數與優化前的設計對比，如表3所示。

圖4 ANSYS工作應力云圖Fig.4 Stress Drawing in ANSYS

表3 優化前后懸架性能對比Tab.3 The Performance of Suspension Before and After Optimization

4 結論

針對某牽引車鋼板彈簧的優化問題，建立該車型的兩片變剛度全嚙合鋼板彈簧數學模型，對鋼板彈簧質量、最大工作應力和空載偏頻進行多目標粒子群優化設計，再通過仿真和有限元分析驗證了結果的可靠性。變剛度全嚙合鋼板彈簧保證了主副簧每一點都充分接觸，由圖4可知，板簧材料的利用率非常高，大部分區域應力都按等強度分布。兩種仿真應力預測結果相對誤差在5%以下。由表3可知，在保證可靠性的前提下，空滿載偏頻分別從3.5Hz和1.91Hz降到了2.998Hz和1.865Hz，空滿載平順性能得到了較大改善，同時，板簧質量在少片簧的基礎上由37kg減少到了31kg，又減輕了16.2%，實現了輕量化。

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