五軸數控機床旋轉軸轉角定位誤差建模及補償

黃奕喬，馮文龍，沈牧文，楊建國

（上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240）

1 引言

隨著現代制造業的不斷發展，對具有復雜幾何形狀的高精度機械零件的需求量大幅增加。由于五軸數控機床具有可加工各種曲面、裝夾簡便、生產高效、靈活性強等特點，越來越多的五軸數控機床被應用于模具制造、航空部件制造等領域。然而，五軸數控機床的結構復雜，剛度較低，精度低于傳統的三軸機床[1]。

目前，五軸數控機床平動軸的定位誤差已經被廣泛研究[2]。ISO 230-3和ISO 1079-10給出了標準的旋轉軸變形測量與辨識方法。常見的旋轉軸誤差直接檢測法有激光干涉儀測量轉角定位誤差；常見的聯動檢測方法有球桿儀法[3]、平面光柵法[4]和R-test裝置法[5]。旋轉軸的各項誤差元素中，轉角定位誤差對加工精度的影響最大[6]。針對旋轉軸除轉角定位誤差之外的與位置相關誤差，文獻[7]提出了相應的數學模型并補償，但轉角定位誤差建模與補償問題并未涉及。

對旋轉軸轉角定位誤差進行測量，對測量所得的誤差值，運用插值節點自適應選擇的三次樣條插值進行建模，該模型具有擬合精度高、計算簡便直觀的優點。建立基于數控系統外部坐標原點偏置功能和以太網通訊的誤差實時補償系統，在VMC0656型五軸數控機床上進行補償實驗，驗證了模型的正確性和有效性，機床的轉角定位精度得到明顯提升。

2 基于三次樣條插值的轉角定位誤差建模

運用Renishaw激光干涉儀XR20-W對五軸機床VMC0656旋轉軸轉角定位誤差進行測量，其數據曲線，如圖1所示。轉角定位誤差曲線呈現非線性、變化波動大、正反向形狀不同的特點，需要建立相應的數學模型，對其進行擬合。三次樣條曲線的光滑性好，通過插值節點的自適應選擇，用較少的插值節點實現對非線性、波動大的誤差數據的高精度擬合。

圖1 C軸轉角定位誤差測量值Fig．1 Measured Rotary Positioning Error of C-Axis

2.1 三次樣條插值模型

在實際工程中，形狀曲線由一些離散的數據點來描述大致走向。為了進一步分析曲線，保證一定的光滑性要求，工程中普遍采用樣條插值擬合[8]。對曲線參數域［a，b］分段 Δu：a=u0＜u1＜…＜un=b，若實值函數 s（u）滿足條件：

（1）每個小區間［ui，ui+1］（i=0，1，…，n-1）上是三次多項式；

則稱s（u）是f（u）的三次樣條插值函數。第i段三次多項式樣條插值函數表達式為：

式中：ui≤u≤ui+1，i=0，1，…，n-1；。將連續性條件：

代入三次多項式樣條插值函數，得：

式中：hi=ui+1-ui；gi=（Pi+1-Pi）/hi；Pi—第 i個插值節點函數值，Pi=f（ui）。

由式（3）、式（4）和式（5）可解得：

將自然邊界條件 s″（u0）=s″（un）=0 代入式（6），可解得三次樣條插值函數表達式。

2.2 插值節點自適應選擇

運用樣條插值的方法進行數據處理時，要求在給定的逼近容差范圍內，用盡可能少的插值節點逼近數字化數據描述的原始幾何，因此要求作為插值節點的數據點能很好地表達數據的幾何信息[9]。

對旋轉軸轉角定位誤差測量獲得的誤差數據點Pi（i=0，1，…，m）運用均勻參數化法進行參數化，獲得參數值ui，以及各數據點的曲率信息ki。三次樣條插值節點自適應選擇算法選用兩個端點和局部最大曲率點作為插值根節點。局部最大曲率點[10]需要滿足要求：ki＞ki-1，且 ki＞ki+1。局部最大曲率點按照曲率 ki大小進行排序。兩個端點和曲率值最大的前n-1個局部最大曲率點作為n+1個插值節點，代入三次多項式樣條插值算法獲得初始插值函數s（u）。為了保證插值模型精度，令初始插值函數的預測殘差：

式中：i=0，1，…，m；s（ui）—模型預測誤差值；

Pi—誤差實際測量值；

ui—數據點Pi的參數化值；

ε—模型預測容許殘差。

若式（7）成立，即初始插值函數的預測殘差滿足容許殘差要求，則建模完成；若式（7）不成立，將殘差超過容許殘差的誤差數據點添加為新的插值節點，得到新的三次樣條插值模型，并根據式（7）對新模型進行精度判定。重復此過程直到模型殘差滿足精度要求，算法結束，獲得旋轉軸轉角定位誤差的三次樣條插值模型。三次樣條插值節點自適應選擇算法流程圖，如圖2所示。

圖2 三次樣條插值節點自適應選擇算法流程圖Fig．2 Algorithm Flow Chart of Cubic Spline Interpolation Nodes Adaptive Selection

2.3 正反雙向轉角定位誤差模型

由圖1可知，在旋轉運動方向不同時，正、反向轉角定位誤差曲線形狀相差較大，并存在交叉點，僅通過反向間隙補償效果不佳。需要對正、反向誤差曲線分別進行三次樣條插值建模，以此進行雙向補償。

圖3 正、反向轉角定位誤差模型預測值與測量值比較Fig．3 Comparison Between Measured and Predicted Rotary Positioning Error of Forward and Backward Direction

運用節點自適應選擇的三次樣條插值算法對正、反向轉角定位誤差曲線進行建模。正、反向誤差曲線的預測誤差值、測量誤差值以及兩者相減所得的建模殘差，如圖3所示。可見正、反向轉角定位誤差模型的擬合精度非常高，分別為1.2″和-0.86″。

3 補償實施及其結果

利用數控系統的外部坐標原點偏置功能和以太網數據通訊功能，自主研發了誤差補償系統，并在雙轉臺五軸機床VMC0656上進行試驗，對轉角定位誤差進行補償，并將三次樣條插值模型與其他常見的誤差擬合模型進行了對比分析。

3.1 誤差補償系統

開發的誤差補償系統結構，如圖4所示。補償系統的硬件平臺使用嵌入式計算機，通過數控機床以太網接口與Fanuc 31i數控系統進行通訊。數控系統可編程機床控制器（PMC）中的原點偏移功能將與實際誤差大小相等、方向相反的誤差補償值信號疊加到伺服控制信號中，實現誤差補償。一個補償循環可以在8ms之內完成，Fanuc 31i數控系統的以太網數據交互速度為100Mbps，可以滿足誤差誤差補償實時性的要求。補償系統的結構，如圖8所示。

圖4 補償系統結構框架圖Fig.4 Schematic Diagram of Compensation System

補償流程為：

（1）將測量儀器獲得的誤差測量文件導入補償軟件；

（2）補償軟件通過以太網交互方式讀取PMC中的機床旋轉軸坐標值和伺服運動方向信息；

（3）誤差預測模型以誤差測量值、機床坐標值和伺服運動方向作為輸入，輸出誤差預測值；

（4）通過以太網交互方式向PMC輸出誤差預測值；（5）PMC模塊通過外部坐標系原點偏移功能將誤差補償值與NC程序疊加，誤差補償值與誤差預測值大小相等、方向相反。PMC將原點偏移疊加后的NC程序輸出到伺服控制器中，實現旋轉軸轉角定位誤差的正反向實時補償。

3.2 實驗驗證與模型對比

在VMC0656型五軸數控機床上進行了誤差補償實驗。目前數控系統自帶的螺距誤差補償功能可實現平動軸和旋轉軸的定位誤差補償，輸入測量點的測量誤差值即可實現補償；但由于旋轉軸正、反向轉角定位誤差曲線形狀差異較大，并存在交叉點，螺距誤差補償功能無法實現對正、反向轉角誤差分別進行誤差補償值輸入，因此補償效果較差。使用開發的誤差補償系統進行實驗，安裝，如圖5所示。為了比較三次樣條插值建模方法和其他常用誤差建模方法的差異，分別使用六次多項式模型、斜線插值模型、非均勻有理B樣條（NURBS）插值模型和三次樣條插值模型進行補償，四種模型的補償結果，如圖10、表1所示。其中三次樣條插值和非均勻有理B樣條插值模型的補償精度最高，斜線插值模型和六次多項式模型補償效果較差。

圖5 誤差補償系統安裝圖Fig.5 Installation of Compensation System

圖6 不同模型轉角定位誤差補償前后對比Fig.6 Comparison of Rotary Errors with and without Compensation by Different Models

表1 不同模型補償前后轉角定位誤差值Tab.1 Rotary Errors with and without Compensation by Different Models

多項式模型通過最小二乘法對誤差數據進行擬合，其優點是可以保證轉角定位誤差擬合曲線二階導數的連續性，避免速度和加速度突變；但多項式模型的擬合精度較低，并存在高階過擬合現象，不易獲得較高的補償精度。

斜線插值使用各測量點的測量誤差值進行補償，各測量點之間使用直線連接，插值曲線在插值點處導數不連續，補償時會導致速度和加速度的突變，影響補償效果。

NURBS插值模型使用B曲線作為基函數進行分段插值，其優點是插值點處可以保證誤差擬合曲線二階導數連續，避免速度加速度突變，補償效果好；但其求解過程復雜，計算量較大。

三次樣條插值模型可以保證誤差曲線的二階導數連續，避免速度和加速度突變；每段插值曲線為三次多項式，表達式簡潔直觀；通過自適應插值節點的選取，在滿足插值精度的前提下，盡可能減少插值節點數，減少了計算量；結合旋轉軸轉動方向進行雙向補償，解決了正、反向誤差曲線差異大、有交叉的問題。通過補償實驗驗證，轉角定位誤差降低了94%，補償效果很好。

4 結論

（1）建立了基于Fanuc數控系統外部坐標原點偏移功能和以太網通訊的誤差實時補償系統，結合三次樣條插值誤差預測模型對五軸數控機床旋轉軸轉角定位誤差進行了補償。

（2）建立了基于三次樣條插值的旋轉軸轉角定位誤差預測模型，通過插值節點的自適應選擇，保證模型擬合精度和計算速度；

（3）結合旋轉軸運動方向，對轉角定位誤差進行正反雙向建模與補償，補償結果表明：轉角誤差降低了94%。

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