基于Simulink輪邊二級減速系統動力學特性分析

路新惠

（河南工業貿易職業學院 機電工程系，河南 鄭州 451191）

1 引言

輪邊行星減速系統是動力傳遞減速增扭的重要環節，其安裝使用，使礦用自卸車后橋更加緊湊，減小其尺寸，提高車輛的通過性能和整車的裝備質量，應用越來越普遍[1]。目前，對齒輪傳動所用的靜態設計方法逐漸不能適應運行的要求，因而必須采用現代的分析方法和手段。對輪邊減速系統的動力學特性研究，重要是建立準確的數學模型和分析方程。對行星齒輪傳動系統動力學模型的研究，研究人員多采用純扭轉模型進行分析。文獻[2]采用純扭轉建模與平移-扭轉耦合動力學建模，通過二者的對比，發現前者的優勢更為明顯；文獻[3]對輪邊減速系統進行純扭轉模型建模，并對齒面動載荷進行了分析；文獻[4]建立封閉行星齒輪傳動系統的動力學分析模型，采用數值解析法多系統在不同激勵下的動態響應進行分析。文獻[5]在純扭轉模型建模基礎上，對模型改進，研究了系統的固有特性。

以電動輪礦用自卸車二級輪邊減速器為研究對象，建立二級減速系統動力學模型和方程。首先對行星齒輪傳動系統中的非線性因素進行數學描述，進而運用集中質量法建立了純扭轉非線性動力學模型，并在推導了構件相對位移的基礎上，運用牛頓力學方程得到運動微分方程。基于Simulink軟件建立了二級減速系統模型，模型中包括了扭矩、剛度、阻尼、位移和誤差模塊。在模型的基礎上，分析了負載扭矩、時變嚙合剛度、阻尼系數對系統動態特性的影響。

2 二級系統非線性模型和方程

2.1 動力學模型

所研究的電動輪礦用自卸車其路邊減速系統為二級系統，其結構模型，如圖1所示。系統的動力學模型，如圖2所示。

圖1 二級輪邊減速系統Fig.1 Secondary Wheel Gear System

圖2 二級系統動力學模型Fig.2 Dynamic Model

圖中：θas、θap、θac、θar—太陽輪、行星輪、行星架、內齒圈的扭轉角位移；xas、xap、xac、xar—太陽輪、行星輪、行星架、內齒圈的扭轉線位移分別，其值為扭轉角位移與標準安裝下基圓半徑之積；ras、rap、rar—太陽輪、行星輪、內齒圈的基圓半徑；rac—行星架半徑，其值為太陽輪與行星輪的節圓半徑之和，標準安裝下亦即太陽輪與行星輪的分度圓半徑之和；kasp、casp、basp、easp—太陽輪與行星輪組成的外嚙合副的嚙合剛度、嚙合阻尼系數、齒側間隙、綜合嚙合誤差；karp、carp、barp、ersp—行星輪與內齒圈組成的內嚙合副的嚙合剛度、嚙合阻尼系數、齒側間隙、綜合嚙合誤差。

嚙合阻尼系數的計算，如式（1）所示。

式中：ζ1、ζ2—外、內嚙合副相對阻尼比；ms、mp、mr—太陽輪、行星輪、內齒圈的質量，kg。

2.2 構件相對位移

齒輪結構在嚙合線上的相對位移，是組成單元在此方向的線位移的代數和，是準確建模的基礎[6]，根據圖2獲得各組成單元的相對位移為：

（1）第一級太陽輪sa1與第一級行星輪pa1沿嚙合線方向的相對位移

（2）第一級行星輪pa1與第一級內齒圈ra1沿嚙合線方向的相對位移：

（3）第二級太陽輪sa2與第二級行星輪pa2沿嚙合線方向的相對位移

（4）第二級行星輪pa2與第二級內齒圈ra2沿嚙合線方向的相對位移：

2.3 運動微分方程

采用牛頓力學方法建立系統純扭轉非線性運動微分方程。對于二級輪邊減速行星傳動系統，規定輸入轉矩作用下各個構件產生的運動方向為各自角位移相應的正方向，取θas、θap、θac、ar為廣義角坐標。動力從第一級行星傳動太陽輪輸入，系統的第一個嚙合副即為第一級太陽輪與第一級行星輪嚙合副。方程輸入扭矩為電機輸出扭矩Ts，通過第一級太陽輪與第一級行星輪嚙合副輸出扭矩，另一部分克服第一級太陽輪慣性力。由于系統采用齒輪綜合時變剛度所以嚙合變形的定義也隨之變化，xasp1第一級太陽輪與第一級行星輪嚙合變形在齒輪分度圓切向的分量，也就是第一級太陽輪與第一級行星輪嚙合點的線位移之差，故，第一個齒輪嚙合副的受力平衡方程為：

系統第二個齒輪嚙合副受到第一級太陽輪的嚙合力輸入，通過第一級行星輪與第一級內齒圈嚙合副輸出，同時通過第一級行星架輸出扭矩到第二級行星傳動，另一部分克服第一級行星輪慣性力：

系統第三個齒輪嚙合副為第二級太陽輪與第二級行星輪嚙合副，此嚙合副受到第一級太陽輪的嚙合力、第一級內齒圈嚙合力共同通過第一級行星輪經第一級行星架輸入第二級太陽輪。這一部分輸入經過第二級太陽輪與第二級行星輪嚙合副輸出嚙合力至第二級行星輪，另一部分克服第二級太陽輪慣性力和第一級行星架慣性力[7]。

依次類推，系統第四個齒輪嚙合副方程為：

系統第五個齒輪嚙合副方程為：

式中：Jas1、Jas2—二級輪邊減速器第一、二級太陽輪轉動慣量，kg·m2；

Jap1、Jap2—二級輪邊減速器第一、二級行星輪轉動慣量，kg·m2；

Jac1—二級輪邊減速器第一級行星架轉動慣量，kg·m2；

Jar12—二級輪邊減速器第一、二級內齒圈及連接件等效轉動慣量，kg·m2；θar12—二級輪邊減速器第一、二級內齒圈及連接件等效扭轉角位移；Tas—二級輪邊減速器輸入轉矩，根據具體工況由電機輸入，N．m；Tar—二級輪邊減速器負載轉矩，由車輛行駛阻力計算得出，N．m。

綜合式（6）～式（9），建立二級輪邊減速行星齒輪系統純扭轉運動微分方程。

2.4 方程無量綱化

定義無量綱時間自變量τ和無量綱激勵頻率Ω分別為τ=ωant、Ω==ωa/ωan。其中，ωan=（kmasp1/meq1）0．5，meq1=mas1map1/（mas1+map1），kmasp1為第一級太陽輪與行星輪外嚙合副剛度均值，ωa為二級輪邊減速系統激勵頻率。

則式（6）～式（9）可以改寫為無量綱方程。

3 基于Simulink系統模型

根據數學模型所建立的二級輪邊減速器Simulink模型，如圖3所示。該模型各有4個矩陣模塊、剛度模塊、阻尼模塊、位移模塊和誤差分析模塊。根據建立的Simulink模型，采用solidworks軟件建立了減速器的三維模型。二級輪邊減速器主要結構三維，如圖4所示。

圖3 系統Simulink模型Fig．3 Simulink Model of the System

圖4 系統三位模型Fig．4 3D Model of the System

4 參數對系統動態特性的影響

4.1 負載扭矩的影響

根據實際運行中常用工作狀況，滿載爬坡、滿載水平路面、空載運輸等三種運行狀態，分別取3km/h、25km/h、35 km/h三種情況研究負載扭矩對二級級系統動態特性的影響。二級系統3 km/h時輸出扭矩1318758N．m，輸入扭矩即電機輸出扭矩26323N．m；25km/h 時輸出扭矩 158251N．m，輸入扭矩 3158．7N．m；35 km/h 時輸出扭矩 113036N．m，輸入扭矩 2256．2N．m；此時無量綱間隙 b=2，剛度波動系數為 0．2，阻尼系數為 0．03，誤差幅值為2[8]。

試驗表明，對于第一級太陽輪與行星輪嚙合副而言，無量綱間隙從1增大3時，幅值隨之減少，而且振動特性變化比較明顯；對于第一級行星輪與內齒圈嚙合副而言，隨著無量綱間隙的增大，嚙合副振動的無量綱幅值先減少后增大，振動特性幅值變化明顯；對于第二級太陽輪與行星輪嚙合副而言，無量綱間隙的增大，嚙合副的幅值隨著減少，無量綱幅值越大，嚙合副在低頻區振動情況越復雜；對于第二級行星輪與內齒圈而言，隨著無量綱間隙的增大，嚙合副幅值隨之減少，而且當無量綱的幅值較大時，振動情況越復雜。

綜合可知，齒側間隙存在使系統出現跳躍現象等典型非線性特征。當車輛負載較小時，其為影響系統動力學特性的主要因素；而載荷較小時，其的影響很小。

4.2 時變嚙合剛度的影響

由于齒輪副剛度隨嚙合位置的變化近似呈拋物線形式，取剛度波動系數分別為 0．1、0．2、0．3 三種情況研究時變嚙合剛度的影響，此時車速25km/h輸出扭矩158251N·m，輸入扭矩3158．7N·m，無量綱間隙b=2，阻尼系數0．03，誤差幅值為2。

試驗表明，對于第一級太陽輪與行星輪嚙合副而言，剛度波動系數從0．1增加到0．2時，無量綱幅值隨之增加，而且振動跳躍現象更明顯復雜，剛度波動系數從0．2增加到0．3時，無量綱幅值隨之減少，振動跳躍現象變化不明顯；對于第一級行星輪與內齒圈嚙合副而言，無量綱幅值隨著剛度波動系數的增大，呈現一個先增加后減少的趨勢，振動跳躍現象隨之復雜并趨于不變；對于第二級來說均與第一級變化類似。綜合可知，在系統存在齒側間隙的情況下，系統均出現了跳躍的現象，說明嚙合剛度不能改變系統的沖擊特性。

4.3 阻尼系數的影響

對于齒輪傳動系統而言，在國際標準單位制下，阻尼比在（10-4～10-1）之間，根據實際潤滑方式，這里取阻尼系數ζ=0．01、0．03、0．05三種情況研究阻尼系數對系統動態特性的影響[10]。此時車速25km/h輸出扭矩158251N．m，輸入扭矩即電機輸出扭矩3158．7N．m，無量綱間隙 b=2，剛度波動系數 μ=0．2，誤差幅值為 2。

試驗表明，對于第一級太陽輪與行星輪嚙合副而言，阻尼系數從0．01增加到0．03時，無量綱幅值隨之減少，且減少幅值較大，阻尼系數從0．03增加到0．05時，無量綱幅值減少的節奏較慢，變化不明顯，而且振動特性情況變化不大；對于第一級行星輪與內齒圈嚙合副而言，隨著阻尼系數的增大，齒輪副傳動的無量綱幅值逐漸減少；對于第二級太陽輪與行星輪嚙合副而言，阻尼系數從0．01增加到 0．03，從 0．03 增加到 0．05 時，明顯觀察出，無量綱幅值逐漸減少；對于第二級行星輪與內齒圈嚙合副而言，隨著阻尼系數的增大，無量綱幅值隨之減少，振動跳躍現象趨于平穩。

5 實驗分析

在某款安裝有二級行星減速器的車輛進行實測，根據實際運行中常用工作狀況，滿載工況，車速為20km/h的各級齒輪嚙合變形，車速在不同工況下變化時，一級太陽輪-行星輪嚙合變形。當車速為20km/h，驅動電機1800轉/分時，各級齒輪嚙合變形。

圖5 行星傳動嚙合變形Fig.5 Meshing Deformation of Planetary Transmission

一級太陽輪—行星輪嚙合變形，一級行星輪—內齒圈嚙合變形如下圖，嚙合頻率784Hz。二級太陽輪—行星輪嚙合變形，二級行星輪—內齒圈嚙合變形如下圖，嚙合頻率228Hz。

由圖可知，輪邊減速器在輸入轉速1800轉/分工況下穩定運行時，輸入和負載基本不發生變化，齒輪嚙合變形大小由齒輪傳遞的力矩決定，符合輪邊減速器傳動比規律。齒輪嚙合形變在1e-4mm的振幅內波動，波形與齒輪嚙合綜合時變剛度波形有很強的相似性。但一級太陽輪高速輸入端的一級太陽輪—行星輪嚙合副嚙合變形受電機輸入影響為主要因素，只有這一對齒輪的嚙合變形出現負值，表明在勻速工況下只有輸入齒輪會發生嚙合—分離現象。可以推斷在多級行星傳動穩定地勻速運轉時，其中的齒輪副嚙合變形大小由它傳遞的力矩決定，受齒輪嚙合時變剛度影響在穩定值周圍波動。

當轉速為1000r/m、1500r/m、2000r/m時，嚙合頻率分別為436Hz、653Hz、871Hz時，一級太陽輪—行星輪嚙合變形。

圖6 一級太陽輪-行星輪嚙合變形Fig.6 Meshing Deformation of a Solar Wheel and a Planetary Wheel

由圖可知，齒輪同一個嚙合副，由于驅動轉速增加，齒輪嚙合頻率增大，齒輪綜合時變剛度變化加快，則齒輪嚙合變形波形變化也更加明顯，當齒輪嚙合頻率較大時，齒輪嚙合變形在較短的時間內呈現于剛度變化相似的波形。當齒輪嚙合頻率降低時，齒輪嚙合綜合剛度變化較慢，使得齒輪嚙合變形的波動也隨之減小。

6 結論

針對礦用自卸車二級輪邊減速器，建立二級行星齒輪系統的非線性純扭轉模型，基于運動微分方程搭建二級減速系統Simulink模型。分析了齒輪副的齒側間隙、時變嚙合剛度和綜合嚙合誤差等對系統的動態特性影響變化規律，并通過試驗對仿真分析進行了驗證。通過分析可知：（1）齒側間隙的存在使系統出現跳躍現象等典型非線性特征；當系統的負載較小時，其是影響系統動力學特性的主要因素，隨負載的增加，其影響逐漸減小。（2）在系統存在齒側間隙的情況下，系統均出現了跳躍的現象，說明嚙合剛度不能改變系統的沖擊特性。（3）系統的阻尼系數增加，會伴隨著齒輪副穿傳動誤差的幅值逐漸減小，當前者達到一定的數值時，后者的誤差幅值的跳躍現象將會消失。（4）試驗分析可知，仿真分析結果的可靠性，二者變化趨勢一致，仿真結果可作為優化設計的參考依據。

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