粘彈性層厚度對復合材料夾芯梁自由振動的影響

翟彥春，王紹清，梁 森

（青島理工大學 機械工程學院，山東 青島 266520）

1 引言

在當今的工業領域，比如帆桅桿以、機器人手臂及直升飛機機翼等等，復合材料結構在其整體結構中的使用比例正變得越來越高。這是因為復合材料的大量應用在最大化的降低結構的重量的同時還能極大地提高結構的強度、可設計性以及疲勞壽命。帆桅桿、機器人手臂、風力發電機葉片及直升飛機機翼等類似結構可以近似的看成是復合材料層合梁結構[1-3]。

國內外許多學者專家對這一結構進行了研究。文獻[4]在高階剪切理論的基礎上基于有限元模型研究了不同邊界條件和邊長比下的復合材料梁的自由振動；文獻[5]基于Kirchhoff-Love理論和C1型有限元模型研究了梁的彎曲振動；在文獻[5]的基礎上，考慮橫向剪切變形影響的基礎上，又研究了梁的自由振動[6]。文獻[7]基于漸進數值方法結合有限元模型對復合材料結構進行了研究；文獻[8]基于有限元模型，采用一階折線理論對五層復合材料梁的阻尼特性進行了研究；文獻[9]應用三節點有限元模型分析了層合梁的自由振動，使用正弦函數表征了沿厚度方向振動位移的變化規律，使用余弦功能函數表征了橫向剪切應變，得到了正弦振動模型。文獻[10]建立了復合材料薄壁梁的模型及非線性平衡方程，得到了在不同鋪層角度下時間位移曲線和非線性振動幅度隨鋪層角的變化情況；文獻[11]分別使用FSDT和HSDT對四邊簡支矩形復合材料三明治板的自然振動進行研究，結果表明這兩種理論對于分析中厚三明治板的動態特性具有較高的準確性。文獻[12]使用擴展哈密爾頓原理和瑞利-里茲法研究了包含增強型主動約束阻尼層的對邊簡支梁的模型頻率和損耗因子。

由于經典的歐拉-伯努利梁理論忽略了梁在振動過程中的剪切變形的影響，使得對于中厚板的振動計算中精度不夠，因此，考慮剪切變形影響的鐵木辛柯梁理論被采用。在之前研究的基礎上，基于鐵木辛柯梁理論結合哈密爾頓原理推導了粘彈性復合材料梁的振動平衡方程，并通過與公開發表的文獻的計算數據對比，驗證方程推導的正確性，最后研究了粘彈性層厚度對阻尼層復合材料梁的振動平衡方程的影響，即對構件的頻率和損耗因子的影響，得到的結論可為工程人員設計復合材料梁提供參考。

圖1 粘彈性復合材料梁結構Fig．1 Structure of Viscoelastic Layer Composite Beam

2 振動平衡方程的推導

鐵木辛柯梁理論位移模型：

根據彈性體動力學的哈密爾頓原理，粘彈性復合材料梁結構的自由振動的變分方程為：

由于面內位移較橫向位移小得多，為簡化計算，只考慮橫向位移的動能。將式（2）、帶入式（3），整理可得振動平衡方程。

3 振動分析

3.1 模型驗證

采用Navier型解法，使用MATLAB軟件對滿足對邊簡支邊界條件的（0°/90°/0°）鋪設的阻尼層復合材料梁的振動平衡方程進行求解。文獻[13]中的模型尺寸為：長度為300mm，表層和底層梁的厚度分別為 0．5mm 和 5mm，他們的密度都是 7．8×103kg/m3，并且他們的彈性模量同為E=207×109Pa；阻尼層厚度hc=2．5mm，密度為 2×103kg/m3，剪切模量 G*=0．2615MPa，損耗因子 0．38。經計算得到的固有頻率和損耗因子的對照結果，如表1、表2所示。

從表1和表2可以看出，固有頻率的計算誤差都在5%以內，損耗因子的誤差都在9%以內，說明所推導的公式是正確的。之所以存在一定的誤差，在于和文獻[13]采用的計算方法不同，采用Navia型解法，而文獻中采用的是廣義微分積分法。

表1 固有頻率對照表Tab.1 Contrast of Inherent Frequency

表2 損耗因子對照表Tab.2 Contrast of Loss Factor

3.2 彈性層厚度不定，阻尼層厚度對自振的影響

保持彈性層梁的厚度不變，通過改變粘彈性層梁的厚度來探究阻尼層厚度對頻率和損耗因子的影響，如表3和表4所示。

從表3和表4可以看出，隨著阻尼層厚度的增大，損耗因子值逐漸增大，而固有頻率的值逐漸減小。并且一階固有頻率和四階損耗因子的變化區間最大，而四階固有頻率和一階損耗因子的變動最小，基本趨于直線狀態。

表3 阻尼層厚度對損耗因子的影響Tab.3 Influence of Damping Layer Thickness on Loss Factor

表4 阻尼層厚度對固有頻率的影響Tab.4 Influence of Damping Layer Thickness on Inherent Frequency

3.3 總厚度不定，阻尼層厚度對自振的影響

在保持粘彈性復合材料梁總厚度不變的前提下，逐漸增大阻尼層的厚度，同時復合材料層的厚度會逐漸減小。在此種計算情況下，梁的結構參數如下：總厚度=80mm，底層和表層的厚度相等，性能參數不變，計算結果，如表5、表6所示。

從表5和表6中可以看出，前四階固有頻率的變化趨勢隨厚度的增大而減小，變化趨勢與上一種情形相同，但是變動區間更大，呈現急劇下降的趨勢。

損耗因子變化趨勢在阻尼層厚度值小于0，005時基本不變，變化較平緩，但是當厚度大于0.005時，整體構件的損耗因子值急劇增大，并且越接近阻尼層的損耗因子值。

表5 阻尼層厚度對固有頻率的影響Tab.5 Influence of Damping Layer Thickness on Inherent Frequency

表6 阻尼層厚度對損耗因子的影響Tab.6 Influence of Damping Layer Thickness on Loss Factor

4 結論

基于鐵木辛柯梁理論位移模型，推導了阻尼層復合材料梁的振動平衡方程，使用Navier型解法驗證了所推導方程的正確性，其次分兩種情況研究了阻尼層厚度對復合材料梁的自由振動的影響，結果表明：

（1）分別保持梁的復合材料層厚度不變和總厚度不變的情況下，都是隨著阻尼層厚度的增大，前四階固有頻率逐漸降低，損耗因子值逐漸增大。

（2）梁的總厚度不變時，前四階固有頻率隨阻尼層厚度的增大而減小，變動區間較大，呈現急劇下降的趨勢；損耗因子在阻尼層厚度值小于總厚度的一半時基本不變，變化較平緩，但是當厚度大于總厚度的一半時，整體構件的損耗因子值急劇增大，并且越接近阻尼層的損耗因子值。

［1］Mead D J.The effect of a damping compound on jet-efflux excited vibrations：an article in two parts presenting theory and results of experimental investigation part i the structural damping due to the compound［J］.Aircraft Engineering and Aerospace Technology，1960，32（3）：64-72.

［2］曹巖，沈冰，劉紅軍.某太陽能無人機復合材料機身結構梁選型與優化［J］.機械設計與制造，2016（7）：205-208.（Cao Yan，Shen Bing，Liu Hong-jun.Selection and optimization of new solar uav composite fuselage structural beams［J］.Mechinery Design&Manufacture，2016（7）：205-208.）

［3］江舒揚，蔡晶，傅潔.夾芯復合材料風力機葉片的結構設計方法［J］.機械設計與制造，2014（1）：33-36.（Jiang Shu-yang，Cai Jing，Fu Jie.Structural design method of sandwich composite wind turbine blade［J］.Mechinery Design&Manufacture，2014（1）：33-36.）

［4］Marur S R，Kant T.Free vibration analysis of fiber reinforced composite beams using higher order theories and finite element modelling［J］.Journal of Sound&Vibration，1996，194（3）：337-351.

［5］Ahmed K M.Free vibration of curved sandwich beams by the method of finite elements［J］.Journal of Sound&Vibration，1971，18（1）：61-74.

［6］Ahmed K M.Dynamic analysis of sandwich beams［J］.Journal of Sound&Vibration，1972，21（3）：263-276.

［7］Akoussan K，Boudaoud H，Carrera E M E.Vibration modeling of multilayer composite structures with viscoelastic layers［J］.Mechanics of Advanced Materials&Structures，2015，22（1-2）：136-149.

［8］Adessina A，Hamdaoui M，Xu C.Damping properties of bi-dimensional sandwich structures with multi-layered frequency-dependent viscoelastic cores［J］.Composite Structures，2016（154）：334-343.

［9］Vidal P，Polit O.Vibration of multilayered beams using sinus finite elements with transverse normal stress ［J］.Steel Construction，2010，92（6）：1524-1534.

［10］朱由鋒，薛風先.復合材料薄壁箱梁的非線性自由振動分析［J］.機械設計與制造，2015（1）：7-10.（Zhu You-feng，Xue Feng-xian.Non-linear free vibration analysis of composite thin-walled box beams［J］.Mechinery Design&Manufacture，2015（1）：7-10.）

［11］Meunier M，Shenoi R A.Free vibration analysis of composite sandwich plates［J］.ARCHIVE Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part C Journal of Mechanical Engineering Science，1999，213（7）：715-727.

［12］Gao J X，Liao W H.Vibration analysis of simply supported beams with enhanced self-sensing active constrained layer damping treatments［J］.Journal of Sound&Vibration，2005，280（1-2）：329-357.

［13］Arikoglu A，Ozkol I.Vibration analysis of composite sandwich beams with viscoelastic core by using differential transform method［J］.Composite Structures，2010，92（12）：3031-3039.